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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  数列$\small\sf{\{a_n\}\ ,\ \{b_n\}\ ,\ \{c_n\} }$ を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{3}\ ,\ \ b_1=5a_1a_2\ ,\ \ \end{align*}}$ $\small\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sf a_n-a_{n+1}=2a_na_{n+1}\\ \sf b_{n+1}-b_n=4a_na_{n+1}a_{n+2} \\ \sf c_n=\frac{1}{a_n} \end{array} \right.\end{eqnarray}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
  このとき、次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{b_1=}$  ①  である。

 (2) $\small\sf{c_{n+1}=c_n+}$  ②  と表される。また、$\small\sf{\begin{align*}\sf S=c_1^2+c_2^2+c_3^2+\cdots +c_n^2\end{align*}}$ をnを用いて表すと、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{n}{3}\big(\end{align*}}$  ③  $\small\sf{\big)}$ である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{30}a_ka_{k+1}=\end{align*}}$  ④  である。

 (4) $\small\sf{a_na_{n+1}a_{n+2}=}$  ⑤  $\small\sf{\left(a_na_{n+1}-a_{n+1}a_{n+2}\right)}$ を利用すると、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{30}b_k=\end{align*}}$  ⑥  である。