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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  nを3以上の自然数、aを正の実数とする。x≧0において定義された関数
  $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^n\ ,\ \ g(x)=a^2x^{n-2}\end{align*}}$ に対して$\small\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{y=f(x)}$ と$\small\sf{y=g(x)}$ はnの値によらずx= ア  で共有点をもつ。また、$\small\sf{f(x)}$ の第2次
    導関数$\small\sf{f''(x)}$ が関数$\small\sf{g(x)}$ に等しくなるのは、a= イ  のときである。

 (2) $\small\sf{n=3}$ とし、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ とする。このとき、Sをaを用いて表すと、S= ウ  である。
    また、$\small\sf{0\leqq x\leqq 1}$ の範囲において、$\small\sf{g(x)-f(x)}$ は、x= エ  のとき、最大値 オ  をとる。

 (3) Sをa、nを用いて表すと、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ であるとき、S= カ  、$\small\sf{a\geqq 1}$ であるとき、
    S= キ  である。各nに対して、Sを最小にするaをnを用いて表すと、a= ク  である。