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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  座標平面と座標空間において、点の座標すべてが整数である点を格子点と呼ぶことにする。
  mを正の整数とする。座標平面においてm=1,2,・・・に対して、連立不等式x+y≦m、
  x≧0、 y≧0で表される領域に含まれる格子点(x,y)の個数をamで表す。m=1のとき、
  a1 ①  である。x+y=m+1、 x≧0、 y≧0で表される線分上の格子点の個数は
   ②  個だから、am+1をamとmで表すと、am+1= ③  である。この漸化式から
  amを求めると、am= ④  である。
  nを正の整数とする。座標空間において、x+y+z≦n、 x≧0、 y≧0、 z≧0で定義された
  立体をVnで表す。0≦k≦nである整数kに対して、xy平面と平行な平面z=k上の格子点
  であり、かつVnに含まれる
  格子点(x,y,z)の個数は ⑤  である。よってVnに含まれる格子点の個数bnはnの
  1次式の積で表せて、bn=(n+1)・ ⑥  であることが分かる。このとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots +\frac{1}{b_n}+\cdots \end{align*}}$
  の値は ⑦  である。