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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  4つのチームA、B、C、Dが参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは、
  2つのチームが対戦し、必ず勝敗は決まり、引き分けはないとしている。
  A、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は次の①~④の
  とおりである。
   ① AがBに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
   ② AがCに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
   ③ AがDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
   ④ B、C、Dの3チームにおけるどの組合わせも互いに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。

 [1] 春の大会ではA、B、C、Dから選ぶすべての組合わせについて1回ずつ試合を行い、
    最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし、複数のチームの勝ち数が最大である
    場合は、勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
    すべての試合数は ア  である。Aが全勝する確率は イ  である。AがCのみに
    負けるが、Cが全勝しない確率は ウ  である。春の大会で、Aが優勝する確率は
     エ  である。

 [2] 秋の大会では、くじで2チームずつに分かれて1回戦を行い、1回戦の勝者同士で
    2回戦を行ってその勝者を優勝とする。Aが1回戦でBと対戦し、かつ2回戦でCと
    対戦する確率は オ  である。秋の大会で、Aが優勝する確率は カ  である。

 [3] AがA'チームと交代して、A'、B、C、Dが大会に参加する。大会のルールは
    変わらず、A'、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は、
    A'については次の①'~③'の通りであり、その他については④のままである。

     ①' A'がBに勝つ確率はpである。
     ②' A'がCに勝つ確率はqである。ただし、q$\small\sf{\begin{align*}\sf\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
     ③' A'がDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
    春の大会でA'が優勝する確率が$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{49}{100}\end{align*}}$ であり、秋の大会でA'が優勝する確率が
    $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{23}{75}\end{align*}}$ であるならば、p= キ  である。