第4問
関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\ \ (x\gt 0)\end{align*}}$ について次の問いに答えよ。
(１) f(x)の極値を求めよ。また、曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ。
(２) 原点から曲線y=f(x)に引いた接線の方程式を求めよ。
(３) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx\ ,\ \ \int\frac{\log x}{x}\ dx\ ,\ \ \int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。
(４) 上の(２)で求めた接線、曲線y=f(x)およびx軸で囲まれた部分をTとするとき、
Tの面積Sを求めよ。また、Tをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
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【解説】
(１)
f(x)の第1次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\log x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e\end{align*}}$ のときである。
この値の前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\end{align*}}$ の符号が正から負に変わるので、
f(x)の極大値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(e)=\underline{\frac{1}{e}}\end{align*}}$
f(x)の第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{3}{2}}=e\sqrt{e}\end{align*}}$ のときである。
この値の前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)\end{align*}}$ の符号が負から正に変わるので、
y=f(x)の変曲点の座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(e\sqrt{e}\ ,\ \frac{3}{2e\sqrt{e}}\right)}\end{align*}}$
(２)
y=f(x)上の点(t，f(t))における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\frac{\log t}{t}=\frac{1-\log t}{t^2}\left(x-t\right)\end{align*}}$
これが原点を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\log t}{t}=\frac{1-\log t}{t^2}\cdot \left(-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{e}\end{align*}}$
よって、接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=\frac{1}{2e}x}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\log x\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e^t\ ,\ \ \ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int f(x)dx &=\sf\int\frac{\log x}{x}dx \\ &=\sf\int\frac{t}{x}\cdot xdt \\ &=\sf \frac{1}{2}t^2+C_1\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2+C_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\frac{\log x}{x}dx&=\sf\int\frac{t}{x^2}\cdot xdt \\ &=\sf\int te^{-t}dt \\ &=\sf -te^{-t}+\int e^{-t}dt\\ &=\sf -(1+t)e^{-t}+C_2\\ &=\sf \underline{-\frac{1+\log x}{x}+C_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx&=\sf\int\frac{t^2}{x^2}\cdot xdt \\ &=\sf \int t^2e^{-t}dt\\ &=\sf -t^2e^{-t}+2\int te^{-t}dt\\ &=\sf -t^2e^{-t}+2\cdot\left(-\frac{1+\log x}{x}\right)+C_3\\ &=\sf \underline{-\frac{(\log x)^2+2\log x+2}{x}+C_3}\end{align*}}$
C1、C2、C3は積分定数
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\end{align*}}$
なので、Tの概形は右図のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\cdot\sqrt{e}\cdot\frac{1}{2\sqrt{e}}-\int_1^{\sqrt{e}}\frac{\log x}{x}dx \\ &=\sf\frac{1}{4}-\left[\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2\right]_1^{\sqrt{e}} \\ &=\sf \underline{\frac{1}{8}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{e}}\right)^2\cdot \sqrt{e}-\pi\int_1^{\sqrt{e}} \left(\frac{\log x}{x}\right)^2dx \\ &=\sf \frac{\pi}{12\sqrt{e}}+\pi\left[\frac{\left(\log x\right)^2+2\log x+2}{x}\right]_1^{\sqrt{e}}\\ &=\sf \underline{\left(\frac{10}{3}\sqrt{e}-2\right)\pi}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/04(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2019(全学)
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