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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016京都府立医科大 数学4



第4問

  xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。すべての整数$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$、mに対し、
  直線x=$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$ と直線y=mを引き、xy平面を格子点を頂点とする一辺の長さが1の正方形の集
  まりに分割する。その一つ一つの正方形(格子点を頂点とする1辺の長さが1の正方形)の
  内部を区画と呼ぶ。正の実数kに対して原点を通る直線Lk: y=kxをとり、Lkが通る区画
  について考える。ここでLkが区画を通るとは、直線Lkと区画が共有点をもつことをいう。
  自然数nに対して、不等式n-1<x<nで表されるxy平面上の領域をDnとする。Dnに含まれ、
  直線Lkが通る区画の個数をanとおく。

 以下kは無理数とする。

 (1) 直線Lkは原点以外に格子点を通らないことを証明せよ。

 (2) k<an<k+ 2であることを証明せよ。

 (3) Nを自然数とするとき、極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n\end{align*}}$ を求めよ.

 (4) 0<k<1とする。自然数Nに対し、N以下の自然数nで an≧k+1 となるnの個数を
    ANとおく。極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{A_N}{N}\end{align*}}$ を求めよ。





テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/01/31(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2016
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