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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010東北大 文系数学4



第4問

  四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
  Nとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
    を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。

 (2) 点Qが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。

 (3) 点Rが等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
    を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
    一定であることを示せ。

 (4) (2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致する
    ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/26(金) 01:20:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2010
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