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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010京都府立医大 数学4



第4問

 (1) p、qを1<p<qをみたす実数とし、3辺の長さが1、p、qの直方体
    Vを考える。長さqの辺と垂直な平面でVを2つに分割して、3辺の長
    さが1、p、1の直方体と3辺の長さが1、p、q-1の直方体Uを作る。
    p、qが条件q-1<1、q=p2、p(q-1)=1を満たすならば、VとU
    は相似であることを示せ。


  p、qを(1)の条件を満たす実数とし、座標空間の8点
    A1(0,0,0)  A2(0,1,0)  A3(0,1,p)  A4(0,0,p)
    B1(q,0,0)  B2(q,1,0)  B3(q,1,p)  B4(q,0,p)
  を頂点とする直方体をV0とする。点P0をP0=Aとおく。次に、1以上の
  整数nに対して、直方体Vnとその頂点Pnを以下のようにして順に定める。

   k≧0とし、直方体Vkとその頂点Pkが定まったとする。頂点Pkを含む
  Vkの3つの面のうち、Vkの最短辺と最長辺を含む面を考える。この面内で、
  Pkを頂点として含み、この面の最短辺を一辺とする正方形を考える。この
  正方形の、Pkを端点とする対角線を考え、その対角線のPkと異なる方の
  端点をPk+1とする。Pk+1を通りVkの最長辺と垂直な平面でVkを分割し、
  Pkを含まない方の直方体をVk+1とする。

 (2) n≧0のとき、直方体Vnの3辺の長さは
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{p^n}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-1}}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-2}}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (3) P1、P2、P3、P4、P5、P6の座標をpを用いて表せ。

 (4) P6n (n≧0)のz座標をznとするとき、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ z_n\end{align*}}$
    の値をpを用いて表せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 06:04:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2010
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