第5問 (生活環境学部)
以下の問いに答えよ。
(1) 2つの不等式3x+y≧36とx2+y≦36を同時にみたす自然数の組(x,y)
の個数を求めよ。
(2) nを自然数とする。2つの不等式nx+y≧4n2とx2+y≦4n2を同時にみたす
自然数の組(x,y)の個数をnを用いて表せ。
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【解答】
(2)
直線 $\scriptsize\sf{y=-nx+4n^2}$ と放物線$\scriptsize\sf{y=-x^2+4n^2}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -nx+4n^2=-x^2+4n^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-nx=\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=0,\ n \end{align*}}$
であり、2つの不等式の表す領域は下図のようになる。
この領域内にある格子点でx=k (1≦k≦n)であるものの個数は
$\scriptsize\sf{\left(-k^2+4n^2\right)-\left(-nk+4n^2\right)+1=-k^2+nk+1}$ 個
なので、格子点の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left(-k^2+nk+1\right)&=\sf -\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+n\cdot\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+n\\ &=\sf \frac{1}{6}n^3+\frac{5}{6}n+1\\ &=\sf \underline{\frac{1}{6}n\left(n^2+5\right)}\end{align*}}$
(1)
(2)において、n=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\cdot 3\cdot\left(3^2+5\right)=\underline{7} \end{align*}}$ 個
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/07/20(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2018
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