第2問
原点をOとする座標空間において、$\small\sf{A\left(1,\ -4,\ 5\right)\ ,\ B\left(1,\ 2,\ -1\right)\ ,\ }$
$\small\sf{C\left(2,\ 1,\ -1\right)\ ,\ P\left(p,\ q,\ 4\right)}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、pとqの値をそれぞれ求めよ。
(2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が垂直であり、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|}$ が$\small{\sf x=-2}$ で最小となるとき、
pとqの値をそれぞれ求めよ。
(3) sとtがすべての実数を動くとき、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}=\left(p,q,4\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=\left(0,6,-6\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}=\left(1,-1,0\right)}$
なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=0+6q-24=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=4}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=p-q+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{p=q=4}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=p-4q+20=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=4q-20}$
なので、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}=\left(p,q,4\right)+x\left(1,2,-1\right)=\left(x+4q-20,2x+q,-x+4\right)}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|^2&=\sf \left(x+4q-20\right)^2+\left(2x+q\right)^2+\left(-x+4\right)^2 \\ &=\sf 6x^2+\left(12q-48\right)x+17q^2+16q+416\\ &=\sf 6\left(x+q-4\right)^2+11q^2+64q+320\end{align*}}$
これが最小となるのは、$\scriptsize\sf{x=-q+4}$ のときなので、題意より
$\scriptsize\sf{-q+4=-2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{q=6}}$
$\scriptsize\sf{p=4q-20=\underline{4}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}&=\sf \left(1,-4,5\right)+s\left(0,6,-6\right)+t\left(1,-1,0\right) \\ &=\sf \left(t+1,6s-t-4,-6s+5\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|^2&=\sf \left(t+1\right)^2+\left(6s-t-4\right)^2+\left(-6s+5\right)^2 \\ &=\sf 72s^2-\left(12t+108\right)s+2t^2+10t+42\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}t^2+t+\frac{3}{2}\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}\left(t+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\end{align*}}$
これは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s-\frac{t+9}{12}=t+\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{13}{18}\ ,\ \ t=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
のとき最小となり、その値は $\scriptsize\sf{\frac{4}{3}}$ である。
よって、$\scriptsize\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\frac{4}{3}}=\underline{\frac{2}{\sqrt3}}\end{align*}}$
全学部共通の問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/05/05(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2018(文系)
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