青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2009

2009京都大　文系数学１(１)

７月ですな。
今日からは京大です。

第１問

　　次の各問いにそれぞれ答えよ。

　(１) ｘｙｚ空間上の２点Ａ(－３，－１，１)、Ｂ(－１，０，０)を通る直線Lに
　　　点Ｃ(２，３，３)から下ろした垂線の足Ｈの座標を求めよ。

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2012/07/01(日) 23:54:00|

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2009京都大　文系数学１（２）

月が変わると、また頑張ろうって気になりますよね！

第１問

　　次の各問いにそれぞれ答えよ。

　(２) 白球と赤球の入った袋から２個の球を同時に取り出すゲームを考える。
　　　取り出した２球がともに白球ならば｢成功｣でゲームを終了し、そうで
　　　ないときは｢失敗｣とし、取り出した２球に赤球を１個加えた３個の球を
　　　袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が２個、赤球が
　　　１個袋に入っていたとき、ｎ－１回まで失敗しｎ回目に成功する確率
　　　を求めよ。ただしｎ≧２とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(２)
　　　初めの状態(白２、赤１)から１回目に失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_3C_2}$
　　　１回目に失敗した後(白２、赤２)に、２回目も失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_4C_2}$
　　　････
　　　n-2回目に失敗した後(白２、赤n-1)に、n-1回目も失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_{n+1}C_2}$
　　　n-1回目に失敗した後(白２、赤n-1)に、ｎ回目に成功する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}$

　　　求める確率ｐは、これらの積になるので、
　　　　　 $\rm p=\left(1-\frac{_2C_2}{_3C_2}\right)\left(1-\frac{_2C_2}{_4C_2}\right)\left(1-\frac{_2C_2}{_5C_2}\right)\ldots\left(1-\frac{_2C_2}{_{n+1}C_2}\right)\cdot\frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}$
　　　となる。
　　　ここで、一般に
　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_{k}C_2}=\frac{k(k-1)-2}{k(k-1)}=\frac{(k-2)(k+1)}{k(k-1)}\ \ (k=3,4,\ldots ,n+1)$
　　　であり、
　　　　　　　 $\rm \frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}=\frac{2}{(n+2)(n+1)}$
　　　なので、
　　　　　 $\rm p=\frac{1\cdot 4}{3\cdot 2}\times\frac{2\cdot 5}{4\cdot 3}\times\frac{3\cdot 6}{5\cdot 4}\times\ldots\times\frac{(n-2)(n+1)}{n(n-1)}\times\frac{(n-1)(n+2)}{(n+1)n}\times\frac{2}{(n+2)(n+1)}$
　　　　　　 $\rm \underline{\ =\frac{2}{3n(n+1)}\ \ }$

　　最後の計算は、このように約分できます。

　　　　　　　　

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2012/07/01(日) 23:57:00|

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2009京都大　文系数学２

第２問

　　整式ｆ(ｘ)と実数Ｃが
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ \int_0^1(x+y)^2\ f\ (y)\ dy\ =\ x^2+C$
　　を満たすとき、このｆ(ｘ)とＣを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与式の左辺は、
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ \int_0^1(x+y)^2\ f\ (y)\ dy$
　　　　　　　　 $\rm =\int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ \int_0^1(x^2+2xy+y^2)\ f\ (y)\ dy$
　　　　　　　　 $\rm =\int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ x^2\int_0^1\ f\ (y)\ dy\ +\ 2x\int_0^1\ f\ (y)\ dy\ +\ \int_0^1\ y^2f\ (y)\ dy$
　　　と変形でき、定積分の値を
　　　　　　　　　 $\rm A=\int_0^1\ f\ (y)\ dy\ \ ,\ \ B=\int_0^1\ f\ (y)\ dy$ 　････①
　　　とおくと、
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ Ax^2\ +\ 2B\ x\ +\ \int_0^1\ y^2f\ (y)\ dy=x^2+C$ 　････②
　　　これにｘ＝０を代入すると、
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^1\ y^2f\ (y)\ dy=C$ 　････③
　　　となるので、②は
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^x\ f\ (x)\ dx\ +\ Ax^2\ +\ 2B\ x=x^2$ 　････②’
　　　と変形できる。
　　　②’の両辺をｘで微分すると、
　　　　　　　　　ｆ(ｘ)＋２Ａｘ＋２Ｂ＝２ｘ
　　　　　　　⇔　ｆ(ｘ)＝２(１－Ａ)ｘ－２Ｂ　････④

　　　④を①に代入すると、
　　　　　　　　　 $\rm A=\int_0^1\left\{2(1-A)y-2B\right\}dy$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left[\ (1-A)y^2-2By\ \right]_0^1$
　　　　　　　　　　 $\rm =1-A-2B$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 2A+2B=1$ 　････⑤

　　　　　　　　　 $\rm B=\int_0^1\ y\left\{2(1-A)y-2B\right\}dy$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left[\ \frac{2}{3}(1-A)y^3-By^2\ \right]_0^1$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2}{3}(1-A)-B$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ A+3B=1$ 　････⑥

　　　⑤、⑥を連立させて解くと、
　　　　　　　　　 $\rm A=B=\frac{1}{4}$
　　　となるので、④に代入して、
　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ f\ (x)=\frac{3}{2}\ x-\frac{1}{2}\ \ }$

　　　これを③に代入して、
　　　　　　　　　 $\rm C=\int_0^1\ y^2\left(\frac{3}{2}\ y-\frac{1}{2}\right)\ dy$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left[\ \frac{3}{8}\ y^4-\frac{1}{6}\ y^3\ \right]_0^1$
　　　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{5}{24}\ \ }$

　　すこしゴチャゴチャしていますが、④ぐらいまでたどり着けば、あとは問題ないでしょう。　　

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2012/07/02(月) 23:57:00|

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2009京都大　文系数学３

今日から面談です。

第３問

　　ｘ、ｙはｘ≠１、ｙ≠１を満たす正の数で、不等式
　　　　　　　log_xｙ＋log_ｙｘ＞２＋(log_x２)(log_ｙ２)
　　を満たすとする。このときｘ、ｙの組(ｘ，ｙ)の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与式の底を２に変換すると、　
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{\log_2y}{\log_2x}+\frac{\log_2x}{\log_2y}>2+\frac{1}{\log_2x}\cdot\frac{1}{\log_2y}$
　　　となり、
　　　　　　　　　　Ｘ＝log₂ｘ、　Ｙ＝log₂ｙ
　　　とおくと、
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{Y}{X}+\frac{X}{Y}>2+\frac{1}{XY}$ 　････①

　　(ⅰ) ＸＹ＞０のとき
　　　　このようになるのは、次の２つの場合がある。
　　　　　　・Ｘ、Ｙ＞０　
　　　　　　　　すなわち　ｘ、ｙ＞１　のとき
　　　　　　・Ｘ、Ｙ＜０　
　　　　　　　　すなわち　０＜ｘ＜１、０＜ｙ＜１　のとき　
　　　　このとき①の両辺にＸＹをかけると、
　　　　　　　　　　Ｘ²＋Ｙ²＞２ＸＹ＋１
　　　　　　　　⇔　(Ｘ－Ｙ)²＞１
　　　　　　　　⇔　Ｘ－Ｙ＜－１　または　１＜Ｘ－Ｙ
　　　　　　　　⇔　log₂ｙ＞１＋log₂ｘ＝log₂２ｘ　または
　　　　　　　　　　log₂ｘ＞１＋log₂ｙ＝log₂２ｙ
　　　　　　　　⇔　ｙ＞２ｘ　または　ｘ＞２ｙ
　　　　これを図示したものが右図１

　　(ⅱ) ＸＹ＜０のとき
　　　　このようになるのは、次の２つの場合がある。
　　　　　　・Ｘ＞０、Ｙ＜０　
　　　　　　　　すなわち　１＜ｘ、０＜ｙ＜１　のとき
　　　　　　・Ｘ＜０、Ｙ＞０　
　　　　　　　　すなわち　０＜ｘ＜１、１＜ｙ　のとき　
　　　　(ⅰ)と同様にすると
　　　　　　　　　　(Ｘ－Ｙ)²＜１
　　　　　　　　⇔　ｙ＜２ｘ　かつ　ｘ＜２ｙ
　　　　これを図示したものが右図２

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、求める(ｘ，ｙ)の範囲を図示すると、下図のようになる。
　　（ただし、境界線上の点は含まない）

　　　　　　　　　

　　分母を払う際に、ＸＹの符号で場合分けです。　　

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2012/07/03(火) 23:57:00|

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2009京都大　文系数学４

第４問

　　平面上で、鋭角三角形△ＯＡＢを辺ＯＢに関して折り返して得られる
　　三角形を△ＯＢＣ、△ＯＢＣを辺ＯＣに関して折り返して得られる三角
　　形を△ＯＣＤ、△ＯＣＤを辺ＯＤに関して折り返して得られる三角形を
　　△ＯＤＥとする。
　　△ＯＡＢと△ＯＢＥの面積比が２：３のとき、sin∠AOBの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　
　　△ＯＡＢ≡△ＯＣＢ≡△ＯＣＤ≡△ＯＥＤより
　　　　　　　　ＯＡ＝ＯＥ　････①
　　　　　∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ＝∠ＣＯＤ＝∠ＥＯＤ
　　ここで、
　　　　　　　　∠ＡＯＢ＝θ　（θは鋭角）
　　とおく。

　　(ⅰ) 0°＜θ＜60°のとき
　　　　　　　　∠ＢＯＥ＝３θ
　　　　であり、△ＯＡＢ：△ＯＢＥ＝２：３なので、
　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\cdot \sin\theta\ :\ \frac{1}{2}\cdot OE \cdot OB\cdot \sin3\theta\ =2\ :\ 3$
　　　　 ①より、
　　　　　　　　sinθ：sin３θ＝２：３
　　　　　　⇔　３sinθ＝２sin３θ　
　　　　となり、３倍角の公式を用いると、
　　　　　　　　３sinθ＝２(３sinθ－４sin³θ)　
　　　　　　⇔　sinθ(８sin²θ－３)＝０
　　　　0°＜θ＜60°なので、
　　　　　　　　　　 $\rm \sin\theta=\frac{\sqrt6}{4}\ (<\sin 60^{\circ})$

　　(ⅱ) 60°≦θ＜90°のとき
　　　　　　　　∠ＢＯＥ＝２πー３θ
　　　　であり、△ＯＡＢ：△ＯＢＥ＝２：３なので、
　　　　 (ⅰ)と同様にすると、
　　　　　　　　sinθ：sin(２π－３θ)＝２：３
　　　　　　⇔　３sinθ＝－２sin３θ ．
　　　　これに３倍角の公式を用いると、　　　　
　　　　　　　　３sinθ＝－２(３sinθ－４sin³θ)
　　　　　　⇔　sinθ(８sin²θ－９)＝０
　　　　これを満たすようなθは、60°≦θ＜90°の
　　　　範囲に存在しない。

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、題意を満たすようなsin∠ＡＯＢの値は、
　　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ \sin\angle AOB=\frac{\sqrt6}{4}\ }$
　　となる。

　　なるほど、場合分けが必要なんですね。　　

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2012/07/04(水) 23:57:00|

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2009京都大　文系数学５

ここのところ面談と体験授業が続いて、なにかと神経をすり減らしています・・・・・

第５問

　　ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐⁿ)！はｐで何回割り切れるか。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　これは非常に有名な問題で、中学入試あたりでは頻出問題なんですね。
　　まぁ、とりあえず具体的な数で実験してみることにしましょう。
　　ｐ＝２、ｋ＝４とすると、(ｐ^ｋ)！＝16！で、
　　これが２で何回割り切れるかを考えてみます。
　　１～16のそれぞれの数が、何回２で割り切れるか、すなわち、素因数として
　　２を何個持つかをまとめたのが下の図で、素因数２の個数を赤丸で表しています。

　　　　　
　　２は１個、４は２²なので２個、６は１個、８は２³なので３個、･･･
　　といった感じです。
　　この赤丸が全部でいくつあるかを考えればよいので、
　　　　　赤丸が１つの数････２、６、10、14　←２²の倍数でない２の倍数
　　　　　赤丸が２つの数････４、12　　　　　←２³の倍数でない２²の倍数
　　　　　赤丸が３つの数････８　　　　　　　←２⁴の倍数でない２³の倍数
　　　　　赤丸が４つの数････ 16　　　　　　　←２⁴の倍数
　　なので、赤丸の総数は、
　　　　　１×４＋２×２＋３×１＋４×１＝15個
　　よって、16！は15回２で割り切れることになる。　　
　　
　　この考え方で解いたのが下の解答です。
　　　

　　１～ｐ^ｎの中にある
　　　　ｐの倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ＝ｐ^n-1個
　　　　ｐ^２の倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ^２＝ｐ^n-2個
　　　　････
　　　　ｐ^n-1の倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ＝ｐ個
　　　　ｐの倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ^ｎ＝１個
　　なので、
　　　　ｐの倍数ではあるがｐ^２の倍数ではない数、すなわち
　　　　素因数ｐを１つだけもつ数は、ｐ^n-1－ｐ^n-2個
　　　　同様に考えると、
　　　　素因数ｐを２つだけもつ数は、ｐ^n-2－ｐ^n-3個
　　　　････
　　　　素因数ｐをｎ－２個だけもつ数は、ｐ^２－ｐ個
　　　　素因数ｐをｎ－１個だけもつ数は、ｐ－１個
　　　　素因数ｐをｎ個もつ数は、１個
　　
　　よって、(ｐ^ｎ)！の中にある素因数ｐの総数をＮとすると、
　　　　　 $\rm N=(p^{n-1}-p^{n-2})+2(p^{n-2}-p^{n-3})+3(p^{n-3}-p^{n-4})+\ldots$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ldots +(n-2)(p^{2}-p)+(n-1)(p-1)+n\cdot 1$
　　　　　　 $\rm =p^{n-1}+p^{n-2}+p^{n-3}+p^{n-4}+\ldots +p^2+p+1$
　　これは、初項１、公比ｐ（≠１）の等比数列の和に等しいので、
　　　　　 $\rm \underline{\ N=\frac{p^n-1}{p-1}\ \ }$

　　上の計算で等比数列が出てきましたが、実は赤丸の数を
　　下の図のように横に数えていくと非常に楽なのです！
　　まぁ、知っている人は知っている解法ですね。

　　　　

　　

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2012/07/05(木) 23:57:00|

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