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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪市立大 理系数学1



第1問

  tを正の定数とする。次の問いに答えよ。

 (1) 正の実数xに対して定義された関数g(x)=exx-tについて、g(x)の
    最小値をtを用いて表せ。

 (2) すべての正の実数xに対して、ex>xが成り立つための必要十分条件は、
    t<eであることを示せ。




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  1. 2012/06/27(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2012
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2012大阪市立大 理系数学2



第2問

  三角形ABCの頂点A、B、Cは反時計回りに並んでいるものとする。
  点Pはいずれかの頂点の位置にあり、1枚の硬貨を1回投げるごとに、
  表が出れば時計回りに隣の頂点へ、裏が出れば反時計回りに隣の頂
  点へ、移動するものとする。点Pは最初、頂点Aの位置にあったとする。
  硬貨をn回投げたとき、点Pが頂点Aの位置に戻る確率をanで表す。
  次の問いに答えよ。

 (1) n≧2に対しanをan-1を用いて表せ。

 (2) anを求めよ。



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  1. 2012/06/28(木) 23:57:00|
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2012大阪市立大 理系数学3



第3問

  $\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ の範囲で二つの曲線$\small\sf{\sf y=\sin x}$ と$\small\sf{\sf y=k\cos x}$を考える。
  ただし、k>0とする。この二つの曲線の交点のx座標を$\small\sf{\alpha,\ \beta}$
  $\small\sf{\sf (0\leqq\alpha\lt\beta\leqq 2\pi)}$ とし、$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲でこの二つの曲線に
  囲まれた図形の面積をSとする。次の問いに答えよ。

 (1) kと$\small\sf{\beta}$ を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (2) Sをkを用いて表せ。

 (3) S=4のとき、$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\theta}$ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた
    図形の面積が2となるような$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




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  1. 2012/06/29(金) 23:57:00|
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2012大阪市立大 理系数学4



第4問

  |a2-2b2|=1を満たす整数a、bによって、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 2b\\ \sf b&\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
  と表される2次の正方行列全体の集合をUとする。このとき、
  Uに属する行列
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
  に対して、f(A)=a+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ bとおく。次の問いに答えよ。


 (1) 二つの行列AとBがUに属するならば、積ABもUに属することを示し、
    さらに f(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ。

 (2) Uに属する行列
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
    について、f(A)≧1ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a-\sqrt2\ b\leqq 1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (3) Uに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq f(A)\lt 1+ \sqrt2\end{align*}}$ ならば、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (4) Uに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt2\leqq f(A)\lt (1+\sqrt2)^2\end{align*}}$ ) ならば、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &2\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    であることを示せ。



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  1. 2012/06/30(土) 23:57:00|
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