第1問
ｔを正の定数とする。次の問いに答えよ。
(1) 正の実数xに対して定義された関数ｇ(x)=ｅxx－ｔについて、ｇ(x)の
最小値をｔを用いて表せ。
(2) すべての正の実数xに対して、ｅx＞xｔが成り立つための必要十分条件は、
ｔ＜ｅであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｇ(x)の導関数を求めると、
ｇ’(x)=ｅxx-t+ｅx･(－ｔ)x-t-1
=ｅxx-t-1(x－ｔ)
これより、x＞0の範囲で増減表を書くと、
よって、
ｇ(x)はx=ｔのとき最小値 ｅtｔ-t をとる。
(2)
すべての正の実数xに対してｅx＞xｔ
⇔ すべての正の実数xに対してｅxx-t＞1 （∵ xｔ＞0）
⇔ すべての正の実数xに対して ｇ(x)＞1
⇔ x＞0における ｇ(x)の最小値＞1
⇔ ｅtｔ-t＞1 ←(1)より
⇔ ｅt＞ｔt （∵ ｔt＞0）
⇔ ｅ＞ｔ （∵ ｔ＞0）
(2)は変な答案になってしまいました（笑）
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- 2012/06/27(水) 23:57:00|
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第2問
三角形ABCの頂点A、B、Cは反時計回りに並んでいるものとする。
点Pはいずれかの頂点の位置にあり、1枚の硬貨を1回投げるごとに、
表が出れば時計回りに隣の頂点へ、裏が出れば反時計回りに隣の頂
点へ、移動するものとする。点Pは最初、頂点Aの位置にあったとする。
硬貨をｎ回投げたとき、点Pが頂点Aの位置に戻る確率をanで表す。
次の問いに答えよ。
(1) ｎ≧2に対しanをan-1を用いて表せ。
(2) anを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
硬貨をｎ回（ｎ=0，1，2，････）投げたとき、点Pが頂点A、B、Cの
位置にある確率をそれぞれ an、bn、cnとおくと、
a0=1 、 b0=c0=0 ････①
コインを投げて点Pが頂点Aに来るのは、
「Bに位置する状態から表を出す」または、
「Cに位置する状態から裏を出す」場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{2}\ b_{n-1}+\frac{1}{2}\ c_{n-1}\end{align*}}$
ここで、an-1+bn-1+cn-1=1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{2}\left(1- a_{n-1}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a_{n-1}-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_{n}-\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列となる。
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(a_0-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
これもよくある問題ですね
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- 2012/06/28(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2012
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第3問
$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ の範囲で二つの曲線$\small\sf{\sf y=\sin x}$ と$\small\sf{\sf y=ｋ\cos x}$を考える。
ただし、ｋ＞0とする。この二つの曲線の交点のx座標を$\small\sf{\alpha,\ \beta}$
$\small\sf{\sf （0\leqq\alpha\lt\beta\leqq 2\pi)}$ とし、$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲でこの二つの曲線に
囲まれた図形の面積をSとする。次の問いに答えよ。
(1) ｋと$\small\sf{\beta}$ を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(2) Sをｋを用いて表せ。
(3) S=4のとき、$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\theta}$ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた
図形の面積が2となるような$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
二曲線の交点のx座標が$\scriptsize\sf{\alpha,\ \beta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\sf \sin\alpha=ｋ\cos\alpha}$ ････①
$\scriptsize\sf{\sin\beta=ｋ\cos\beta}$ ････②
まず、①において、$\scriptsize\sf{\sf \cos\alpha=0}$ のときは等式を満たさないので、
$\scriptsize\sf{\sf \cos\alpha\ne 0}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\end{align*}}$ ････③
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\sf k=\tan\alpha=\tan\beta}$
となり、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\alpha\lt\beta\leqq 2\pi}$ より、
$\scriptsize\sf{\beta}$ =$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\pi}$ ････④
(2)
右図より、$\scriptsize\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で常に
$\scriptsize\sf{\sf \sin x\leqq ｋ\cos x}$
となるので、囲まれる部分の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\alpha}^{\beta}\ (\sin x-k\cos x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ -\cos x-k\sin x\ \right]_{\alpha}^{\beta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos\beta-k\sin\beta+\cos\alpha+k\sin\alpha\end{align*}}$
ここで、④より
$\scriptsize\sf{\sf \cos\beta=\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha}$
$\scriptsize\sf{\sf \sin\beta=\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha}$
なので、
$\scriptsize\sf{\sf S=2(\cos\alpha+ｋ\sin\alpha)}$ ．
また、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=1+k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\cos\alpha\ \tan\alpha=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=tkase2\left(\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}+\frac{k^2}{\sqrt{1+k^2}}\right)=\underline{\ 2\sqrt{1+k^2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
S=4のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\sqrt{1+k^2}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\sqrt3\ \ (>0)\end{align*}}$ ････⑤
このとき③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ ･････⑥
ここで、$\scriptsize\sf{\alpha\leqq x\leqq\theta}$ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の
面積をS’とすると、⑤、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'=\int_{\pi/3}^{\theta}\ (\sin x-\sqrt3\cos x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos\theta-\sqrt3\sin\theta+\cos\frac{\pi}{3}+\sqrt3\sin\frac{\pi}{3}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta+\sqrt3\sin\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=-\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \theta=\frac{5\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
特に難しいところはないと思います。
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- 2012/06/29(金) 23:57:00|
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第4問
|a2－2b2|=1を満たす整数a、bによって、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 2b\\ \sf b&\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
と表される2次の正方行列全体の集合をＵとする。このとき、
Ｕに属する行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
に対して、ｆ(A)=a+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ bとおく。次の問いに答えよ。
(1) 二つの行列AとBがＵに属するならば、積ABもＵに属することを示し、
さらに ｆ(AB)=ｆ(A)ｆ(B)が成り立つことを示せ。
(2) Ｕに属する行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
について、ｆ(A)≧1ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a-\sqrt2\ b\leqq 1\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) Ｕに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq f(A)\lt 1+ \sqrt2\end{align*}}$ ならば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
であることを示せ。
(4) Ｕに属する行列Aについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt2\leqq f(A)\lt (1+\sqrt2)^2\end{align*}}$ ) ならば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &2\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
行列A、BはともにＵに属するので、
|a2－2b2|=|c2－2d2|=1 ････①
となる整数a、b、c、dを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf c &\sf 2d\\ \sf d &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
と表せる。このとき、積ABは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 2b\\ \sf b &\sf a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf c&\sf 2d\\ \sf d &\sf c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf ac+2bd &\sf 2(ad+bc)\\ \sf ad+bc&\sf ac+2bd\end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、ac+2bd、ad+bcはともに整数。
また、
|(ac+2bd)2－2(ad+bc)2|
=|a2c2－2b2c2－2a2d2+4b2d2|
=|a2－2b2||c2－2d2|
=1 ←①より
となるので、積ABはＵに属する。
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sfｆ(AB)=(ac+2bd)+ \sqrt2(ad+bc)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sfｆ(A)ｆ(B)=(a+\sqrt2\ b)(c+ \sqrt2\ d)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(ac+2bd)+\sqrt2(ad+bc)\end{align*}}$
なので、ｆ(AB)=ｆ(A)ｆ(B) も成立する。
(2)
条件式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |a^2-2b^2|=|a+\sqrt2\ b||a－\sqrt2\ b|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |a-\sqrt2 b|=\frac{1}{|\ f\ (A)\ |}\end{align*}}$ ････②
よって、ｆ(A)≧1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |a－ \sqrt2\ b|\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq a-\sqrt2\ b\leqq 1\end{align*}}$
となる。
(3)
②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq ｆ(A)\lt 1+ \sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq a+\sqrt2\ b\lt 1+ \sqrt2\end{align*}}$ ････③
のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+\sqrt2}< |\ a-\sqrt2 b\ |\leqq 1\end{align*}}$
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2-1\lt a- \sqrt2\ b\leqq 1\end{align*}}$ ････④ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a-\sqrt2\ b\lt 1-\sqrt2\end{align*}}$ ････⑤
③、④の辺々を加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\lt 2a\lt 2+\sqrt2\end{align*}}$
となり、これを満たす整数は、a=1のみ。
このとき③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \sqrt2\ b\lt \sqrt2\end{align*}}$
となり、これを満たす整数は、b=0のみ。
これらは、④も満たすのでOK。
一方、③、⑤の辺々を加えると、
0≦2a＜2
となり、これを満たす整数は、a=0であるが、
このとき |a2－2b2|=1を満たす整数bが存在しないので不適。
以上より、条件を満たすのは、a=1、b=0のときであり、このときの行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
である。
(4)
②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+ \sqrt2\leqq ｆ(A)\lt (1+ \sqrt2)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+ \sqrt2\leqq a+\sqrt2\ b\lt 3+2\sqrt2\end{align*}}$ ････⑥
のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3+2\sqrt2}< |\ a-\sqrt2 b\ |\leqq \frac{1}{1+\sqrt2}\end{align*}}$
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3－2\sqrt2\\lt a-\sqrt2\ b\leqq \sqrt2-1\end{align*}}$ ････⑦ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\sqrt2\leqq a- \sqrt2\ b\lt 2\sqrt2-3\end{align*}}$ ････⑧
⑥、⑦の辺々を加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4- \sqrt2\lt 2a\lt 2+3\sqrt2\end{align*}}$
となり、これを満たす整数は、a=2のみであるが、
このとき |a2－2b2|=1を満たす整数bが存在しないので不適。
一方、⑥、⑧の辺々を加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq 2a\lt 4 \sqrt2\end{align*}}$
となり、これを満たす整数は、a=1またはa=2。
a=2のときは、上と同様に不適なので、a=1である。
このとき⑧は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt2\leqq -\sqrt2\ b\lt 2\sqrt2-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt2-2\lt b\leqq 1\end{align*}}$
となり、これを満たす整数は、b=1のみ。
これらは、⑦も満たすのでＯＫ。
以上より、条件を満たすのは、a=1、b=1のときであり、このときの行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ 1&1\end{pmatrix}\end{align*}}$
である。
(1)は(2)以降とぜんぜん関係ないですね・・・・
(3)と(4)は数値が違うだけで、実質同じ問題だし・・・・
イマイチですな・・・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/06/30(土) 23:57:00|
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