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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪府立大 前期理系 数学1




第1問

  サイコロをn回ふって、数列a1、a2、・・・・、anを次のように定める。
  ただし、n≧3とする。
   (ⅰ) 1回目に1の目が出たときはa1=0、それ以外の目が出たときは、
      a1=1とする。
    k≧2のとき、
   (ⅱ) k回目に1の目が出たときは、ak=0とする。
   (ⅲ) k回目に6の目が出たときは、ak=ak-1+kとする。
   (ⅳ) k回目に1と6以外の目が出たときは、ak=ak-1+1とする。
    自然数k(1≦k≦n)に対して、ak=kとなる確率をpkとするとき、
    次の問いに答えよ。

 (1) p1、p2、p3を求めよ。

 (2) pk (2≦k≦n)をpk-1を用いて表せ。

 (3) pk (1≦k≦n)をkの式で表せ。



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  1. 2012/06/23(土) 23:57:00|
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2012大阪府立大 前期理系 数学2



第2問

  kとaを正の定数とする。曲線
          $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{x}{x+k}\ \ \ (x\geqq0)\end{align*}}$
  と直線x=aおよびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
  回転体の体積をV1とする。また、曲線Cと直線
          $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a}{a+k}\end{align*}}$
  およびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
  V2とする。
  このとき、比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2012/06/24(日) 23:57:00|
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2012大阪府立大 前期理系 数学3



第3問

  行列A、Bを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a-b &\sf -b\\ \sf b &\sf a+b\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf -b &\sf -b\\ \sf b&\sf b\end{pmatrix}\end{align*}}$
  によって定める。ただし、a、bは定数でb≠0とする。行列AおよびBで
  表される1次変換をそれぞれf、gとする。また、点P(1,2)のgによる像
  をQとし、点Pを通り、方向ベクトルが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ である直線をLとする。ただし、
  Oは原点を表す。

 (1) 点Qのgによる像を求めよ。

 (2) 点Pのf による像Rが直線L上にあれば、a=1であることを示せ。

 (3) a=1のとき、直線L上のすべての点はf によりL上に移ることを示せ。



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  1. 2012/06/25(月) 23:57:00|
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2012大阪府立大 前期理系 数学4



第4問

 (1) 次の等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\sin t\cos(x-t)\ dt=a\sin x+b\cos x\end{align*}}$
    が成り立つように定数a、bの値を求めよ。

 (2) 連続な関数f(x)と0でない実数$\small\sf{\alpha}$ は
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2\pi}f\ (t)\cos(x-t)\ dt=\alpha\ f(x)\end{align*}}$
    を満たしている。f(0)=f’(0)=1であるとき、$\small\sf{\alpha}$ とf(x)を求めよ。



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  1. 2012/06/26(火) 23:57:00|
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