第1問
サイコロをｎ回ふって、数列a1、a2、････、anを次のように定める。
ただし、ｎ≧3とする。
(ⅰ) 1回目に1の目が出たときはa1=0、それ以外の目が出たときは、
a1=1とする。
ｋ≧2のとき、
(ⅱ) ｋ回目に1の目が出たときは、ak=0とする。
(ⅲ) ｋ回目に6の目が出たときは、ak=ak-1+ｋとする。
(ⅳ) ｋ回目に1と6以外の目が出たときは、ak=ak-1+1とする。
自然数ｋ(1≦ｋ≦ｎ)に対して、ak=ｋとなる確率をpkとするとき、
次の問いに答えよ。
(1) p1、p2、p3を求めよ。
(2) pk （2≦ｋ≦ｎ）をpk-1を用いて表せ。
(3) pk （1≦ｋ≦ｎ）をｋの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ak=0となるのは、ｋ回目に1の目が出るときなので、
その確率はｋの値によらず $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ である。
a1=1となるのは、2回目に1以外の目が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{5}{6}\ \ }\end{align*}}$
a2=2となるのは、
・a1=0で、2回目に6の目が出る
・a1=1で、2回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_1=\underline{\ \frac{7}{12}\ \ }\end{align*}}$
a3=3となるのは、
・a2=0で、3回目に6の目が出る
・a2=2で、3回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_2=\underline{\ \frac{5}{12}\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｋ≧2のとき、aｋ=ｋとなるのは、
・ak-1=0で、ｋ回目に6の目が出る
・ak-1=ｋ－1で、ｋ回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_k=\frac{2}{3}\ p_{k-1}+\frac{1}{36}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)の漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k-\frac{1}{12}=\frac{2}{3}\left(p_{k-1}-\frac{1}{12}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_k-\frac{1}{12}\right\}\end{align*}}$ は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k-\frac{1}{12}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\ p_1-\frac{1}{12}\right)\end{align*}}$
これに(1)で求めたp1の値を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_k=\frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}+\frac{1}{12}\ \ }\end{align*}}$
ルールさえ把握できれば問題ないと思います。
まぁ、文系との共通問題ですから。
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- 2012/06/23(土) 23:57:00|
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第2問
ｋとaを正の定数とする。曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{x}{x+k}\ \ \ (x\geqq0)\end{align*}}$
と直線x=aおよびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積をV1とする。また、曲線Cと直線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a}{a+k}\end{align*}}$
およびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を
V2とする。
このとき、比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた2直線をそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ x=a\ \ ,\ \ L_2:\ y=\frac{a}{a+k}\end{align*}}$
とおく。
曲線Cの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x}{x+k}=1-\frac{k}{x+k}\end{align*}}$
と変形できるので、
Cは、2直線$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-k\ ,\ \ y=1\end{align*}}$ を漸近線とする双曲線となる。
CとL1との交点をPとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(a\ ,\ \frac{a}{a+k}\right)\end{align*}}$ ････①
なので、直線L2もこの点を通る。
よって、曲線Cおよび2直線L1、L2の位置関係は下図のようになる。
V1は、上図の青色部分をx軸回転させてできる回転体の体積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^a\ y^2\ dx=\pi\int_0^a\left(\frac{x}{x+k}\right)^2dx\end{align*}}$
一方、V2は、上図の赤色部分をy軸回転させてできる回転体の体積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^{\frac{a}{a+k}}\ x^2\ dy\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x}{x+k}\end{align*}}$
と置換する。①より両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{k}{(x+k)^2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y:\ 0\ \rightarrow\ \frac{a}{a+k}\end{align*}}$
に対応するxは、x：0→a なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^a\ x^2\cdot\frac{k}{(x+k)^2}\ dx=\pi\ k\int_0^a\left(\frac{x}{x+k}\right)^2\ dx\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{V_2}{V_1}=k\ \ }\end{align*}}$
ちょっとキレイに解きすぎてしまいましたね・・・・
普通は、定積分を計算してしまうでしょうね。
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- 2012/06/24(日) 23:57:00|
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第3問
行列A、Bを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a-b &\sf -b\\ \sf b &\sf a+b\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf -b &\sf -b\\ \sf b&\sf b\end{pmatrix}\end{align*}}$
によって定める。ただし、a、bは定数でb≠0とする。行列AおよびBで
表される1次変換をそれぞれｆ、ｇとする。また、点P(1，2)のｇによる像
をQとし、点Pを通り、方向ベクトルが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ である直線をLとする。ただし、
Ｏは原点を表す。
(1) 点Qのｇによる像を求めよ。
(2) 点Pのｆ による像Rが直線L上にあれば、a=1であることを示せ。
(3) a=1のとき、直線L上のすべての点はｆ によりL上に移ることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Qは点P(1，2)のｇによる像なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -b&\sf -b\\ \sf b&\sf b\end{pmatrix}\binom{1}{2}=\binom{-3b}{3b}\end{align*}}$
となるので、Q(－3b，3b)のｇによる像は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a-b &\sf -b\\ \sf b &\sf a+b\end{pmatrix}\binom{-3b}{4b}=\binom{0}{0}\end{align*}}$．
よって、求める像は(0，0)となる。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=(-3b\ ,\ 3b)=3b(-1\ ,\ 1)\end{align*}}$
b≠0より、このベクトルは(－1，1)と平行なので、
直線Lの傾きは－1となる。よって、直線Lの方程式は、
y－2=－(x－1) ⇔ y=－x+3 ････①
一方、Pのｆ による像Rは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\begin{pmatrix}\sf a-b &\sf -b\\ \sf b &\sf a+b\end{pmatrix}\binom{1}{2}=\binom{a-3b}{2a+3b}\end{align*}}$
であり、このRが直線L上にあるので、
2a+3b=－(a－3b) ⇔ a=1
(3)
a=1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1-b &\sf -b\\ \sf b &\sf 1+b\end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、L上の点をS(p，－p+3)とおくと、Sのｆ による像S’(x，y)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\begin{pmatrix}\sf 1-b &\sf -b\\ \sf b &\sf 1+b\end{pmatrix}\binom{1}{2}=\binom{(1-b)t-b(-t+3)}{bt+(1+b)(-t+3)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{t-3b}{-t+3b+3}\end{align*}}$
より、
S’(x，y)=(ｔ－3b，－ｔ+3b+3)
となる。
この(x，y)は①を満たすので、点S’は直線L上にある。
このことは、任意のｔに対して成り立つので、
L上の任意の点はｆ によってL上の点に移る。
ひたすら計算していくだけです。
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- 2012/06/25(月) 23:57:00|
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第4問
(1) 次の等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\sin t\cos(x-t)\ dt=a\sin x+b\cos x\end{align*}}$
が成り立つように定数a、bの値を求めよ。
(2) 連続な関数ｆ(x)と0でない実数$\small\sf{\alpha}$ は
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2\pi}f\ (t)\cos(x-t)\ dt=\alpha\ f(x)\end{align*}}$
を満たしている。$\small\sf{\sf f(0)=ｆ'(0)=1}$ であるとき、$\small\sf{\alpha}$ とｆ(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた定積分をＩ1とする。
積→和の公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin t\cos(x-t)=\frac{1}{2}\left\{\sin x+\sin(2t-x)\right\}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left\{\sin x+\sin(2t-x)\right\}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\ t\sin x-\frac{1}{2}\cos(2t-x)\right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{\ (2\pi-0)\sin x-\frac{1}{2}\left(\cos(4\pi-x)-\cos(-x)\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\sin x\end{align*}}$ ．
与式の右辺と係数比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\pi\ ,\ \ b=0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue}\sf \cos(x-ｔ)}\end{align*}}$ を加法定理で展開してもOKです。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue}\sf (\cos x)\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\ dt\ +\ (\sin x)\int_0^{2\pi}\sin^2 t\ dt}\end{align*}}$
となるので、あとは倍角公式を使って計算してください。
(2)
加法定理を用いると、左辺の定積分は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}f\ (t)\cos(x-t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}f\ (t)(\cos x\cos t+\sin x\sin t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(\cos x)\int_0^{2\pi}f\ (t)\cos t\ dt+(\sin x)\int_0^{2\pi}f\ (t)\sin t\ dt\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\int_0^{2\pi}f\ (t)\cos t\ dt\ \ ,\ \ B=\int_0^{2\pi}f\ (t)\sin t\ dt\end{align*}}$ ････①
とおくと、与式は
$\scriptsize\sf{A\cos x+B\sin x=\alpha\ f(x)}$ ････②
と表せ、これに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\end{align*}}$ を代入すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=1\end{align*}}$ なので
$\scriptsize\sf{A=\alpha}$
を得る。また、②の両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{-A\sin x+B\cos x=\alpha\ f'(x)}$
となり、これに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=0\end{align*}}$ を代入すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f'(0)=1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{B=\alpha}$
を得る。これらより、②は
$\scriptsize\sf{\alpha\cos x+\alpha\sin x=\alpha\ f(x)}$
となるので、両辺を$\scriptsize\sf{\alpha\ (\ne 0)}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{f(x)=\sin x+\cos x}\end{align*}}$
これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\int_0^{2\pi}(\sin x+\cos x)\cos t\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin 2x\ +\ \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos 2x)\ dx\end{align*}}$ ←倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{2\pi}\ +\ \frac{1}{2}\left[\ x+\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\end{align*}}$ ．
よって、 $\scriptsize\sf{\underline{\alpha=\pi\ }}$
まぁ計算するだけですかな。ｆ’(0)=1と言う条件が与えられているので、
②の両辺をxで微分をするのも自然です。
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- 2012/06/26(火) 23:57:00|
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