青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2012

2012大阪大　理系数学１

今日は関西中央高校の説明会でした。

第１問

　　ａ＞０とする。
　　Ｃ₁を曲線
　　　　　　　　　 $\rm x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$ 　、
　　Ｃ₂を直線
　　　　　　　　　 $\rm y=2ax-3a$ 　
　　とする。このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) 点ＰがＣ₁上を動き、点ＱがＣ₂上を動くとき、線分ＰＱの長さの
　　　最小値をｆ(ａ)とする。ｆ(ａ)をａを用いて表せ。

　(２) 極限値
　　　　　　　 $\rm \lim_{a\rightarrow\infty}\ f\ (a)$
　　　を求めよ。

解答はこちら↓

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2012/06/18(月) 23:57:00|

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2012大阪大　理系数学２

台風が関西を直撃するみたいです。昼間は結構激しい雨でしたが、
夕方には止んだので、いつも通りの授業です。
警報なんて無視です！！！

第２問

　　次の２つの条件(ⅰ)、(ⅱ)をみたす自然数ｎについて考える。
　　　　(ⅰ) ｎは素数ではない。
　　　　(ⅱ) L、ｍを１でもｎでも正の約数とすると、必ず
　　　　　　　　　　|L－ｍ|≦２
　　　　　　である。
　　このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) ｎが偶数のとき、(ⅰ)、(ⅱ)をみたすｎをすべて求めよ。

　(２) ｎが７の倍数のとき、(ⅰ)、(ⅱ)をみたすｎをすべて求めよ。

　(３) ２≦ｎ≦1000の範囲で、(ⅰ)、(ⅱ)をみたすｎをすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　条件(ⅰ)より、ｎの約数は３個以上あり、そのうちで
　　　　　　　２番目に小さい数をＡ
　　　　　　　２番目に大きい数をＢ
　　　とすると、
　　　　　　　ＡＢ＝ｎ　････①
　　　である。また、条件(ⅱ)より、
　　　　　　　Ｂ－Ａ＝０、１、２　････②
　　　となる。
　　　
　　　ここで、Ａが合成数であるとすると、Ａより小さい１以外の約数が
　　　存在することになり、Ａが２番目に小さいことに矛盾するので、
　　　Ａは素数である。

　(１)
　　　ｎが偶数のとき、Ａ＝２となるので、②より
　　　　　　　Ｂ＝２、３、４．
　　　これと①より、
　　　　　　　ｎ＝４、６、８

　(３)
　　　(ア)Ｂ＝Ａのとき
　　　　　　①より、ｎ＝Ａ²であり、Ａは素数なので
　　　　　　ｎ＝2²、3²、5²、7²、11²、13²、17²、19²、23²、29²、31²、･･･
　　　　　　このうち、２≦ｎ≦1000を満たすものは、
　　　　　　ｎ＝4、9、25、49、121、169、289、361、529、841、961

　　　(イ)Ｂ＝Ａ＋１のとき
　　　　　　①より、ｎ＝Ａ(Ａ＋１)であり、連続２整数の積は偶数なので、
　　　　　　ｎは偶数。
　　　　　　条件を満たすものは、(１)より、
　　　　　　　　　Ａ＝２、Ｂ＝３
　　　　　　のみであり、このときのｎは、
　　　　　　　　　ｎ＝６

　　　(ウ)Ｂ＝Ａ＋２のとき
　　　　　　Ａは素数なので、Ａ、Ｂの組として考えられるのは、
　　　　　　(Ａ，Ｂ)＝(2，4)、(3，5)、(5，7)、(7，9)、(11，13)、(13，15)、
　　　　　　　　　　　(17，19)、(19，21)、(23，25)、(29，31)、(31，33)、
　　　　　　　　　　　(37，39)、(41，43)、････
　　　　　　このうちで、ＢがＡよりも小さい約数をもつと、
　　　　　　Ａが２番目に小さいという条件に反するので、
　　　　　　そのようなものを除くと、
　　　　　　(Ａ，Ｂ)＝(2，4)、(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)、
　　　　　　　　　　　(29，31)、(31，33)、(41，43)、････
　　　　　　①と２≦ｎ≦1000より、
　　　　　　　　　ｎ＝8、15、35、143、323、899

　　　以上より、(ⅰ)、(ⅱ)を満たすｎは、
　　　　　　　　4、6、8、9、15、25、35、49、121、143、
　　　　　　　　169、289、323、361、529、841、899、961

　(２)
　　　(３)より、ｎが７の倍数となるのは、
　　　　　　　　ｎ＝35、49

　　面倒なので、(３)を先にやっちゃいました。　　

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2012/06/19(火) 23:57:00|

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2012大阪大　理系数学３

本日、塾のＨＰを更新しました。
夏期講座の要項についてのページを追加しています。

http://www.aozemi.com/

第３問

　　ｘｙｚ空間に３点Ｏ(０，０，０)、Ａ(１，０，１)、Ｂ(０， $\rm \sqrt3$ ，１)がある。
　　平面ｚ＝０に含まれ、中心がＯ、半径が１の円をＷとする。点Ｐが
　　線分ＯＡ上を、点Ｑが円Ｗの周および内部を動くとき、
　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}$
　　をみたす点Ｒ全体がつくる立体をＶ_Ａとおく。同様に点Ｐ線分ＯＢ上を、
　　点Ｑが円Ｗの周および内部を動くとき、
　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}$
　　をみたす点Ｒ全体がつくる立体をＶ_Ｂとおく。さらにＶ_ＡとＶ_Ｂの重なり
　　合う部分をＶとする。このとき、次の問いに答えよ。

　(１) 平面ｚ＝cosθ （０≦θ≦π/2）による立体Ｖの切り口の面積を
　　　求めよ。

　(２) 立体Ｖの体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　平面α：ｚ＝cosθと線分ＯＡ、ＯＢとの交点をそれぞれＰ_１、Ｐ_２とすると、
　　　Ｐ_１、Ｐ_２はＯＡ、ＯＢをそれぞれcosθ：(１－cosθ)の比に内分する点なので、
　　　　　　　　Ｐ_１(cosθ，０，cosθ)
　　　　　　　　Ｐ_２(０， $\rm \sqrt3$ cosθ，cosθ)
　　　となる。

　　　点Ｑは円Ｗの周および内部を動き、
　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OR}=\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}$
　　　より、ＲはＱを $\rm \overrightarrow{\rm OP}$ だけ平行移動した点なので、
　　　ＲはＰを中心とする半径１の円の周および内部を
　　　動くことになる。

　　　よって、Ｖ_Ａは、Ａを中心とする半径１の円とＷを
　　　上面、底面とする斜円柱となり、これを平面αで
　　　切った断面は、点Ｐ_１を中心とする半径１の円になる。
　　　（この円の周および内部をこれをＣ_１とおく）

　　　同様に考えると、Ｖ_Ｂを平面αで切った断面は、
　　　点Ｐ_２を中心とする半径１の円になり、
　　　この円の周および内部をＣ₂とおくと、
　　　Ｖ_ＡとＶ_Ｂの共通部分Ｖを平面αで切った断面は、
　　　２つの領域Ｃ₁、Ｃ₂の共通部分である。
　
　　　右図より、この共通部分の面積Ｓ(θ)は、
　　　　　　　　Ｓ(θ)＝(扇形Ｐ_１ＳＴ－△Ｐ_１ＳＴ)×２
　　　で求めることができる。

　　　ここで、Ｐ_１Ｐ_２とＳＴの交点をＭとすると、
　　　ＭはＰ_１Ｐ_２の中点なので、
　　　　　　　　 $\rm P_1M=\frac{1}{2}\sqrt{(\cos\theta)^2+(\sqrt3\cos\theta)^2}=\cos\theta$
　　　これと、∠Ｐ_１ＭＴ＝90°、Ｐ_１Ｔ＝１より、
　　　　　　　　∠ＴＰ’Ｍ＝θ
　　　となる。よって、
　　　　　　　　 $\rm S\ (\theta)=2\left(\ \pi\cdot\frac{2\theta}{2\pi}-\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\sin2\theta\right)$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 2\theta-\sin2\theta\ \ }$

　(２)
　　　求める体積をＶとすると、
　　　　　　　　 $\rm V=\int_0^1\ S\ (\theta)\ dz$
　　　　　　　　　 $\rm =\int_0^1\ (2\theta-\sin2\theta)\ dz$
　　　ここで、ｚ＝cosθなので、
　　　ｚ：０→１のとき θ：π/2→０　であり、
　　　　　　　　 $\rm \frac{dz}{d\theta}=-\sin\theta$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm V=\int_{\pi/2}^0\ (2\theta-\sin2\theta)(-\sin\theta)\ d\theta$
　　　　　　　　　 $\rm =2\int_0^{\pi/2}\theta\sin\theta\ d\theta-\int_0^{\pi/2}\sin2\theta\sin\theta\ d\theta$
　　　部分積分法を用いて、
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^{\pi/2}\theta\sin\theta\ d\theta=\left[\ -\theta\cos\theta\right]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\ \cos\theta\ d\theta$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\left[\ \sin\theta\right]_0^{\pi/2}=1$
　　　また、積→和の公式より
　　　　　　　　　 $\rm \int_0^{\pi/2}\sin2\theta\sin\theta\ d\theta=-\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\left(\ \cos3\theta-\cos\theta\right)\ d\theta$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =-\frac{1}{2}\left[\ \frac{1}{3}\sin3\theta-\sin\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac{2}{3}$
　　　以上より、
　　　　　　　　 $\rm V=2\cdot1-\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{4}{3}\ \ }$

　　共通部分Ｖの形がどうなるかはイメージしにくいと思いますが、
　　まぁ普通に計算していくだけです。
　　阪大は　この手の問題がよく出てきますね。　　

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2012/06/20(水) 23:57:00|

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2012大阪大　理系数学４

第４問

　　５次式ｆ(ｘ)＝ｘ⁵＋ｐｘ⁴＋ｑｘ³＋ｒｘ²＋ｓｘ＋ｔ（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔは実数）
　　について考える。このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) 数列ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)が等差数列であることと、
　　　　　　ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)＋Lｘ＋ｍ
　　　（L、ｍは実数）と書けることは互いに同値であることを示せ。

　(２) ｆ(ｘ)は(１)の条件をみたすものとする。αを実数、ｋを３以上の自然数
　　　の自然数とする。ｋ項からなる数列
　　　　　　ｆ(α)、ｆ(α＋１)、ｆ(α＋２)、････、ｆ(α＋ｋ－１)
　　　が等差数列となるようなα、ｋの組をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　ｆ(０)＝ｔなので、等差数列の初項はｔであり、公差をｄとおくと、
　　　　　　　　　ｆ(１)＝ｔ＋ｄ、　ｆ(２)＝ｔ＋２ｄ、　
　　　　　　　　　ｆ(３)＝ｔ＋３ｄ、　ｆ(４)＝ｔ＋４ｄ　　･･･①　
　　　ここで、
　　　　　　　　　ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｔ＋ｄｘ)
　　　とおくと、
　　　　　　　　　ｇ(０)＝ｇ(１)＝ｇ(２)＝ｇ(３)＝ｇ(４)＝０
　　　となるので、ｇ(ｘ)はｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)を因数にもつ。
　　　ｆ(ｘ)はｘ⁵の係数が１の５次式なので、ｇ(ｘ)もｘ⁵の係数が１の
　　　５次式となる。
　　　よって、
　　　　　　　　　ｇ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)　
　　　より、
　　　　　　　　　ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)＋ｔ＋ｄｘ
　　　を得る。
　　　この式において、ｄ＝L、ｔ＝ｍとおくと、題意を満たすことになる。

　　　逆に、ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)＋Lｘ＋ｍのとき、
　　　　　　　　　ｆ(０)＝ｍ、　ｆ(１)＝L+m、　ｆ(２)＝２L＋ｍ
　　　　　　　　　ｆ(３)＝３L＋ｍ、　ｆ(４)＝４L＋ｍ
　　　となるので、
　　　ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)は公差Lの等差数列である。

　(２)
　　　３数ｆ(α)、ｆ(α＋１)、ｆ(α＋２)が等差数列をなすとする。
　　　　　　　　ｆ(α)＝α(α－１)(α－２)(α－３)(α－４)＋Lα＋ｍ
　　　　　　　　ｆ(α＋１)＝(α＋１)α(α－１)(α－２)(α－３)＋L(α＋１)＋ｍ
　　　　　　　　ｆ(α＋２)＝(α＋２)(α＋１)α(α－１)(α－２)＋L(α＋２)＋ｍ
　　　より、２項間の差は、
　　　　　　　　ｆ(α＋１)－ｆ(α)＝５α(α－１)(α－２)(α－３)＋L
　　　　　　　　ｆ(α＋２)－ｆ(α－１)＝５(α＋１)α(α－１)(α－２)＋L
　　　となり、等差数列なので、これらが等しい。
　　　　　　　５α(α－１)(α－２)(α－３)＋L＝５(α＋１)α(α－１)(α－２)＋L　
　　　　　⇔　20α(α－１)(α－２)＝０
　　　　　⇔　α＝０、１、２　　　　

　　　一方、
　　　　　　　ｆ(３)＝３L＋ｍ
　　　　　　　ｆ(４)＝４L＋ｍ
　　　　　　　ｆ(５)＝５L＋ｍ＋120
　　　となるので、
　　　　　　　ｆ(５)－ｆ(４)≠ｆ(４)－ｆ(３)
　　　なので、３数ｆ(３)、ｆ(４)、ｆ(５)が等比数列をなすことはない。

　　　以上より、等差数列になるのは、
　　　　　　　ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)
　　　以外には存在しないので、
　　　ｋ＝３のとき
　　　　　　　ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)　または　ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)　または　
　　　　　　　ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)
　　　ｋ＝４のとき
　　　　　　　ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)　または　ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)
　　　ｋ＝５のとき
　　　　　　　ｆ(０)、ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(４)

　　　よって、求めるαとｋの値の組は、
　　　　　　　(α，ｋ)＝(０，３)、(１，３)、(２，３)、(０，４)、(１，４)、(０，５)
　　　の６組である。

　　阪大は、去年の問題が前代未聞の難しさだったので、
　　その反動か、今年は普通にとっつきやすい問題ばかりです。
　　その中で唯一、難しめなのが本問。　　

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2012/06/21(木) 23:57:00|

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2012大阪大　理系数学５

忙しさもピークに達しようとしていますが、
今朝からどうも喉が痛い・・・・・＞＜

第５問

　　１個のさいころを３回続けて投げるとき、１回目に出る目をL、２回目に
　　出る目をｍ、３回目に出る目をｎで表すことにする。このとき、以下の
　　問いに答えよ。

　(１) 極限値
　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{Lx^2+mx+n}{x+1}$
　　　が存在する確率を求めよ。

　(２) 関数
　　　　　　　 $\rm f\ (x)=\frac{Lx^2+mx+n}{x+1}$
　　　が、ｘ＞－１の範囲で極値をとる確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　極限値の値を
　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{Lx^2+mx+n}{x+1}=A$ 　
　　　とすると、
　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow -1}\ (Lx^2+mx+n)=\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{Lx^2+mx+n}{x+1}\times\lim_{x\rightarrow -1}\ (x+1)$
　　　　　　　⇔　L－ｍ＋ｎ＝A・０＝０
　　　　　　　⇔　ｍ＝L＋ｎ　････①

　　　L＋ｎの値について整理したものが左の表である。
　　　①を満たすような(L，ｎ)の組は、
　　　　　ｍ＝１のとき････０通り
　　　　　ｍ＝２のとき････１通り
　　　　　ｍ＝３のとき････２通り
　　　　　ｍ＝４のとき････３通り
　　　　　ｍ＝５のとき････４通り
　　　　　ｍ＝６のとき････５通り
　　　以上の合計15通りあるので、求める確率は、
　　　　　　　　　 $\rm \frac{15}{216}=\underline{\ \frac{5}{72}\ \ }$

　(２)
　　　ｆ(ｘ)の導関数を求めると、
　　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=\frac{(2Lx+m)(x+1)-(Lx^2+mx+n)\cdot1}{(x+1)^2}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{Lx^2+2Lx+m-n}{(x+1)^2}$
　　　
　　　ｆ(ｘ)がｘ＞－１の極値をもつためには、ｘ＞－１の範囲にｆ’(ｘ)＝０となる
　　　ｘが存在し、かつそのｘの前後でｆ’(ｘ)の符号が変化すればよい。
　　　
　　　ｆ’(ｘ)の分子をｇ(ｘ)とおくと、
　　　　　　　　　ｇ(ｘ)＝L(ｘ＋１)²－L＋ｍ－ｎ
　　　と変形できるので、ｙ＝ｇ(ｘ)のグラフは軸がｘ＝－１の放物線となる。
　　　ｇ(ｘ)＝０がｘ＞－１に実数解をもつためには
　　　　　　　　　ｇ(－１)＝L－２L＋ｍ－ｎ＜０
　　　　　　　⇔　ｍ＜L＋ｎ　････②
　　　である必要があり、
　　　逆にこのとき、ｘ＝－１の前後でｇ(ｘ)の符号が変化するので、
　　　ｆ(ｘ)がｘ＞－１の極値をもつためには②を満たせばよい。
　　
　　　②の余事象は、ｍ＝L＋ｎ　または　ｍ＞L＋ｎであり、
　　　ｍ＞L＋ｎとなるような(L，ｎ)の組は、(１)の表より
　　　　　ｍ＝１のとき････０通り
　　　　　ｍ＝２のとき････０通り
　　　　　ｍ＝３のとき････１通り
　　　　　ｍ＝４のとき････３通り
　　　　　ｍ＝５のとき････６通り
　　　　　ｍ＝６のとき････ 10通り
　　　以上の合計１＋３＋６＋10＝20通りある。
　　　よって、②を満たす(L，ｍ，ｎ)の組は、
　　　　　　　　216－15－20＝181通りあるので、
　　　求める確率は、
　　　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ \frac{181}{216}\ \ }$

　　あれやこれや下手に考える暇があれば、実際に数え上げた方が早いし確実です！　　

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2012/06/22(金) 23:57:00|

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