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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012九州大 文系数学1



第1問

  原点をOとする座標空間に、3点
     A(1,0,0)、B(0,0,2)、C(-2,1,3)
  がある。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) △ABCにおいて、∠Bは $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より大きいことを示せ。

 (2) 点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする。
    点Hの座標を求めよ。

 (3) △OAHの面積を求めよ。




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2012九州大 文系数学2



第2問

  関数f(x)=x3+3x2+x-1を考える。曲線C:y=f(x)について、
  以下の問いに答えよ。

 (1) t≧0のとき、曲線Cは傾きはtである接線を2本持つことを示せ。

 (2) (1)において、傾きがtである2本の接線と曲線Cとの接点を、
    それぞれP(p,f(p))、Q(q,f(q))とする(ただし、p<q)。
    このとき、点Pと点Qは点A(-1,0)に関して対称の位置にある
    ことを示せ。

 (3) t≧0のとき、2点P、Qの間の距離の最小値を求めよ。また、
    最小値を与えるときのP、Qのx座標p、qもそれぞれ求めよ。




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2012九州大 文系数学3



第3問

  100人の団体がある区間を列車で移動する。このとき、乗車券が7枚
  入った480円のセットAと、乗車券が3枚入った220円のセットBを購入
  して、利用することにした。以下の問いに答えよ。

 (1) xが0以上の整数であるとき、次のことを示せ。
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ (100-7x)\end{align*}}$
    は、xを3で割ったときの余りが1の場合に整数であり、それ以外の
    場合は整数ではない。

 (2) 購入した乗車券は、余らせずすべて利用するものとする。このとき、
    セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ。

 (3) 購入した乗車券は余ってよいものとする。このとき、Aのみ、あるいは
    Bのみを購入する場合も含めて、購入金額が最も低くなるのは、A、B
    をそれぞれ何セットずつ購入するときか。またそのときの購入金額は
    いくらか。


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2012九州大 文系数学4






第4問

  いくつかの玉の入った箱Aと箱Bがあるとき、次の試行Tを考える。

   <試行T> 箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ、その後、
         箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる。

  最初に箱Aに黒玉3個、箱Bに白玉2個入っているとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) 試行Tを1回行ったときに、箱Aに黒玉がn個入っている確率pn
    (n=1,2,3)を求めて、既約分数で表せ。

 (2) 試行Tを2回行ったときに、箱Aに黒玉がn個入っている確率qn
    (n=1,2,3)を求めて、既約分数で表せ。

 (3) 試行Tを3回行ったときに、箱Aの中がすべて黒玉になっている
    確率を求めて、既約分数で表せ。



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