第１問
原点をＯとする座標空間に、３点
Ａ(１，０，０)、Ｂ(０，０，２)、Ｃ(－２，１，３)
がある。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) △ＡＢＣにおいて、∠Ｂは $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より大きいことを示せ。
(２) 点Ａから直線ＢＣに下ろした垂線と直線ＢＣとの交点をＨとする。
点Ｈの座標を求めよ。
(３) △ＯＡＨの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Ｂを始点とするベクトルを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}=(1,0,-2)\ \ ,\ \ \ \overrightarrow{\sf BC}=(-2,1,1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=|\overrightarrow{\sf BA}||\overrightarrow{\sf BC}|\cos\angle B=-2+0-2=-4<0\end{align*}}$．
cos∠Ｂ＜０となるので、∠Ｂは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より大きい。
(２)
Ｈの座標をＨ(Ｘ，Ｙ，Ｚ)とおくと、ＨはＢＣ上にあるので、実数ｋを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BH}=k\overrightarrow{\sf BC}\ \ \Leftrightarrow\ \ (X,Y,Z-2)=k(-2,1,1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (X,Y,Z)=(-2k\ ,\ k\ ,\ k+2)\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=(-2k-1\ ,\ k\ ,\ k+2)\end{align*}}$ ････①
一方、、ＢＣ⊥ＡＨなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot \overrightarrow{\sf AH}=-2(-2k-1)+k+(k+2)=0\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-\frac{2}{3}\end{align*}}$
よって、Ｈの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{4}{3}\ ,\ -\frac{2}{3}\ ,\ \frac{4}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
(３)
Ｏを始点とするベクトルで考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf OA}\ |=1\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf OH}\ |=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left( -\frac{2}{3}\right)^2+\left( \frac{4}{3}\right)^2}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot \overrightarrow{\sf OH}=-frac{4}{3}\end{align*}}$
なので、△ＯＡＨの面積Ｓは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OA}|^2|\overrightarrow{\sf OH}|^2-(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OH})^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot 2^2-\left(\frac{4}{3}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt5}{3}\ \ }\end{align*}}$
計算さえ気をつければ問題ないでしょう。
(３)で用いた面積の公式は必須です！
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第３問
100人の団体がある区間を列車で移動する。このとき、乗車券が７枚
入った480円のセットＡと、乗車券が３枚入った220円のセットＢを購入
して、利用することにした。以下の問いに答えよ。
(１) ｘが０以上の整数であるとき、次のことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ (100-7x)\end{align*}}$
は、ｘを３で割ったときの余りが１の場合に整数であり、それ以外の
場合は整数ではない。
(２) 購入した乗車券は、余らせずすべて利用するものとする。このとき、
セットＡとセットＢの購入の仕方をすべて挙げよ。
(３) 購入した乗車券は余ってよいものとする。このとき、Ａのみ、あるいは
Ｂのみを購入する場合も含めて、購入金額が最も低くなるのは、Ａ、Ｂ
をそれぞれ何セットずつ購入するときか。またそのときの購入金額は
いくらか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
導関数を求めると、
ｆ’(ｘ)＝３ｘ2＋６ｘ＋１
接線の傾きがｔ（≧０）になるのは、
３ｘ2＋６ｘ＋１＝ｔ
⇔ ３ｘ2＋６ｘ＋１－ｔ＝０ ････①
判別式を考えると、
D/4＝９－３(１－ｔ)＝６＋３ｔ＞０ （∵ｔ≧０）
よって、①は異なる２解をもつので、
傾きがｔのＣの接線は２本存在する。
(２)
ｐ、ｑは、傾きがｔである２接線の接点のｘ座標なので、
①の２解となる。よって、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-2\ \ ,\ \ pq=\frac{1-t}{3}\end{align*}}$ ････②
Ｐ(ｐ，ｆ(ｐ))、Ｑ(ｑ，ｆ(ｑ))の中点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{p+q}{2}\ ,\ \frac{f(p)+f(q)}{2}\right)\end{align*}}$
となり、
ｘ座標は②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q}{2}=\frac{-2}{2}=-1\end{align*}}$
ｙ座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f(p)+f(q)}{2}=\frac{(p^3+q^3)+3(p^2+q^2)+(p+q)-2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(p+q)^3-3pq(p+q)+3\{(p+q)^2-2pq\}+(p+q)-2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-8+6pq+12-6pq-2-2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
よって、ＰＱの中点はＡ(－１，０)に一致するので、
２点Ｐ、Ｑは点Ａに関して対称である。
(３)
Ｌ＝ＰＱ2とおくと、
Ｌ＝(ｑ－ｐ)2＋{ｆ(ｑ)－ｆ(ｐ)}2
＝(ｑ－ｐ)2＋{(ｑ3－ｐ3)＋３(ｑ2－ｐ2)＋(ｑ－ｐ)}2
＝(ｑ－ｐ)2＋(ｑ－ｐ)2{(ｑ2＋ｐｑ＋ｐ2)＋３(ｐ＋ｑ)＋１}2
ここで、②を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (q-p)^2=(p+q)^2-4pq=(-2)^2-\frac{4(1-t)}{3}=\frac{4(2+t)}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^2+pq+p^2=(p+q)^2-pq=(-2)^2-\frac{1-t}{3}=\frac{11+t}{3}\end{align*}}$
これらを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{4(2+t)}{3}+\frac{4(2+t)}{3}\left\{\frac{11+t}{3}-6+1\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{27}\ (t^3-6t^2+9t+50)\end{align*}}$
ｔで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L'=\frac{4}{27}\ (3t^2-12t+9)=\frac{4}{9}\ (t-1)(t-3)\end{align*}}$
増減表は下の通り。
よって、ＰＱが最小になるのは、ｔ＝０、３のときで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{200}{27}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PQ_{min}=\frac{10\sqrt6}{9}\ \ }\end{align*}}$
ｔ＝０のとき、３ｘ2＋６ｘ＋１＝０を解くと、ｐ＜ｑより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{-3-\sqrt{6}}{3}\ \ ,\ \ q=\frac{-3+\sqrt6}{3}\ \ }\end{align*}}$
ｔ＝３のとき、３ｘ2＋６ｘ－２＝０を解くと、ｐ＜ｑより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{-3-\sqrt{15}}{3}\ \ ,\ \ q=\frac{-3+\sqrt{15}}{3}\ \ }\end{align*}}$
(３)の計算が少し面倒なことを除けば、いたって標準的な問題ですね。
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第４問
いくつかの玉の入った箱Ａと箱Ｂがあるとき、次の試行Ｔを考える。
<試行Ｔ> 箱Ａから２個の玉を取り出して箱Ｂに入れ、その後、
箱Ｂから２個の玉を取り出して箱Ａに入れる。
最初に箱Ａに黒玉３個、箱Ｂに白玉２個入っているとき、以下の問い
に答えよ。
(１) 試行Ｔを１回行ったときに、箱Ａに黒玉がｎ個入っている確率ｐn
（ｎ＝１，２，３）を求めて、既約分数で表せ。
(２) 試行Ｔを２回行ったときに、箱Ａに黒玉がｎ個入っている確率ｑn
（ｎ＝１，２，３）を求めて、既約分数で表せ。
(３) 試行Ｔを３回行ったときに、箱Ａの中がすべて黒玉になっている
確率を求めて、既約分数で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ｋ回目（ｋ＝０，１，２，･･･）の試行Ｔの後、箱Ａにｎ個（ｎ＝１，２，３）の
黒玉が入っている状況をＳ(ｋ，ｎ)、その確率をＸ(ｋ，ｎ)と表すことにすると、
Ｘ(０，１)＝Ｘ(０，２)＝０ 、 Ｘ(０，３)＝１ ････①
また、１回の試行Ｔにおいて、箱Ａから箱Ｂに入れた途中段階では、
箱Ａに白玉１個が残っている状態(Ⅰとする）または、黒玉が１個残って
いる状態(Ⅱとする)のいずれかである。
ｋ回目試行の途中で状態Ⅰ、Ⅱになる確率をそれぞれ、Ｙ(ｋ，１)、Ｙ(ｋ、２)
とおく。
Ｓ(ｋ，ｎ)から途中段階ⅠまたはⅡを経てＳ(ｋ＋１，ｎ)になる過程、
およびその確率を表したものが下の図である。
例えば、Ｓ(ｋ，１)からⅠになるためには、白黒１個ずつ移動すればよいので、
その確率は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\cdot_1C_1}{_3C_2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ となる。
よって、
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,1)=\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,2)=\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ Y(k,1)+\frac{1}{6}\ Y(k,2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{18}\ X(k,1)+\frac{5}{18}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$
他も同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,2)=\frac{5}{9}\ X(k,1)+\frac{11}{18}\ X(k,2)+\frac{2}{3}\ X(k,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,3)=\frac{1}{18}\ X(k,1)+\frac{1}{9}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$
(１)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=X(1,1)=\frac{7}{18}\ X(0,1)+\frac{5}{18}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=X(1,2)=\frac{5}{9}\ X(0,1)+\frac{11}{18}\ X(0,2)+\frac{2}{3}\ X(0,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=X(1,3)=\frac{1}{18}\ X(0,1)+\frac{1}{9}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$
であり、これらに①を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{6}\ \ ,\ \ p_2=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ p_3=\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
(２)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1=X(2,1)=\frac{7}{18}\ X(1,1)+\frac{5}{18}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_2=X(2,2)=\frac{5}{9}\ X(1,1)+\frac{11}{18}\ X(1,2)+\frac{2}{3}\ X(1,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_3=X(2,3)=\frac{1}{18}\ X(1,1)+\frac{1}{9}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$
であり、これらに(１)を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_1=\frac{5}{18}\ \ ,\ \ q_2=\frac{11}{18}\ \ ,\ \ q_3=\frac{1}{9}\ \ }\end{align*}}$
(３)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(3,1)=\frac{7}{18}\ X(2,1)+\frac{5}{18}\ X(2,2)+\frac{1}{6}\ X(2,3)\end{align*}}$
であり、これらに(２)を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ X(3,1)=\frac{11}{108}\ \ }\end{align*}}$
文型でこれは厳しいでしょうね＾＾；；
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