第１問
円 ｘ2＋(ｙ－１)2＝４で囲まれた図形をｘ軸のまわりに１回転してできる
立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ｘ2＋(ｙ－１)2＝４ を円Ｃとする。
この式をｙについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=1\pm\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{ 1}(x)=1+\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{ 2}(x)=1-\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$
とおくと、
曲線ｙ＝ｆ1(ｘ)は円Ｃの上半分（ｙ≧１の部分）を表し、
曲線ｙ＝ｆ2(ｘ)は円Ｃの下半分（ｙ≦１の部分）を表すことになる。
Ｃで囲まれた図形をｘ軸の周りに回転させてできる立体は、
曲線ｙ＝ｆ1(ｘ)によってできる回転体から、曲線ｙ＝ｆ2(ｘ)のｙ≧０の部分によって
できる回転体を除いたものである。
（下図において、赤色部分の回転体－緑色部分の回転体）
よって、求める体積Ｖは、図形がｙ軸対称であることを考慮に入れて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\int_0^2\ \{\ f_{1}(x)\ \}^2\ dx-2\pi\int_{\sqrt3}^2\ \{\ f_{2}(x)\ \}^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\int_0^2\left\{5-x^2+2\sqrt{4-x^2}\right\}^2dx-2\pi\int_{\sqrt3}^2\left\{5-x^2-2\sqrt{4-x^2}\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\int_0^{\sqrt3}\ (5-x^2)\ dx\ +\ 4\pi\int_0^2\sqrt{4-x^2}\ dx\ +\ 4\pi\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\ dx\end{align*}}$
と求めることができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\sqrt3}\ (5-x^2)\ dx\ =\left[\ 5x-\frac{1}{3}x^3\ \right]_0^{\sqrt3}=4\sqrt3\end{align*}}$
であり、２つの定積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=\int_0^2\sqrt{4-x^2}\ dx\ \ ,\ \ I_2=\int_{\sqrt3}^2\sqrt{4-x^2}\ dx\end{align*}}$
の値はそれぞれ、下図の面積に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=2^2\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}=\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_2=2^2\cdot\pi\cdot\frac{1}{12}-1\cdot\sqrt3\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\cdot4\sqrt3+4\pi\cdot\pi+4\pi\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 6\sqrt3\ \pi+\frac{16}{3}\ \pi^2\ \ }\end{align*}}$
まぁ、よくある問題ですね。
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第２問
２次の正方行列Ａ、Ｂはそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{-3}{5}=\binom{0}{-1}\ \ \ \ ,\ \ \ \ A\binom{7}{-9}=\binom{8}{-11}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{0}{-1}=\binom{-5}{6}\ \ \ \ ,\ \ \ \ b\binom{8}{-11}=\binom{-7}{10}\end{align*}}$
をみたすものとする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、Ｅは２次の単位行列を表すものとする。
(１) 行列Ａ、Ｂ、Ａ2、Ｂ2を求めよ。
(２) (ＡＢ)2＝Ｅであることを示せ。
(３) 行列Ａから始めて、ＢとＡを交互に右からかけて得られる行列
Ａ、 ＡＢ、 ＡＢＡ、 ＡＢＡＢ、 ･････
および
行列Ｂから始めて、ＡとＢを交互に右からかけて得られる行列
Ｂ、 ＢＡ、 ＢＡＢ、 ＢＡＢＡ、 ･････
を考える。これらの行列の内で、相異なるものをすべて成分を
用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与えられた条件式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix}\sf -3&\sf 7\\ \sf 5&\sf -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf8\\ \sf 1&\sf -11\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B\begin{pmatrix}\sf 0&\sf 8\\ \sf -1&\sf -11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -5 &\sf -7\\ \sf 6&\sf 10\end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\begin{pmatrix}\sf -3&\sf 7\\ \sf 5&\sf -9\end{pmatrix}=-8\ne 0\ \ ,\ \ det\begin{pmatrix}\sf 0&\sf 8\\ \sf -1&\sf -11\end{pmatrix}=8\ne 0\end{align*}}$
なので、それぞれの逆行列を右からかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 8 \\ \sf 1& \sf -11 \end{pmatrix}\times\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 9&\sf 7 \\ \sf 5 & \sf 3 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 5&\sf 3 \\ \sf -8 & \sf -5 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf -5&\sf -7 \\ \sf 6 & \sf 10 \end{pmatrix}\times\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf -11&\sf -8 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 6&\sf 5 \\ \sf -7 & \sf -6 \end{pmatrix} \ }\end{align*}}$
ハミルトン・ケーリーの定理より、
Ａ2－(５－５)Ａ＋(－25＋24)Ｅ＝Ｏ ⇔ Ａ2＝Ｅ
Ｂ2－(６－６)Ｂ＋(－36＋35)Ｅ＝Ｏ ⇔ Ｂ2＝Ｅ
(２)
Ｐ＝ＡＢとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix}\sf 5&\sf 3\\ \sf -8&\sf -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 6&\sf 5\\ \sf -7&\sf -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 9&\sf 7\\ \sf -13&\sf -10\end{pmatrix}\end{align*}}$
ハミルトン・ケーリーの定理より、
Ｐ2－(9－10)Ｐ＋(－90＋91)Ｅ＝Ｏ
⇔ Ｐ2＝－Ｐ－Ｅ ････①
よって、
(ＡＢ)2＝Ｐ3
＝Ｐ(－Ｐ－Ｅ) ←①より
＝－Ｐ2－Ｐ
＝－(－Ｐ－Ｅ)－Ｐ ←①より
＝Ｅ
(３)
Ａから始まる行列は、(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 5&\sf 3\\ \sf -8&\sf -5\end{pmatrix}\ \ ,\ \ AB=P=\begin{pmatrix}\sf 9&\sf 7\\ \sf -13&\sf -10\end{pmatrix}\end{align*}}$
順次計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ABA=PA=\begin{pmatrix}\sf 9&\sf 7\\ \sf -13&\sf -10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 5&\sf 3\\ \sf -8&\sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -11&\sf -8\\ \sf 15&\sf 11\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ABAB=P^2=-P-E=-\begin{pmatrix}\sf 9&\sf 7\\ \sf -13&\sf -10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -10&\sf -7\\ \sf 13&\sf 9\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ABABA=P^2A=\begin{pmatrix}\sf -10&\sf -7\\ \sf 13&\sf 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 5&\sf 3\\ \sf -8&\sf -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 6&\sf 5\\ \sf -7 &\sf -6\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ABABAB=P^3=E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
以下は、
ＡＢＡＢＡＢＡ＝ＥＡ＝Ａ
ＡＢＡＢＡＢＡＢ＝ＥＡＢ＝ＡＢ
ＡＢＡＢＡＢＡＢＡ＝ＥＡＢＡ＝ＡＢＡ
･･････
のように繰り返す。
一方、Ｂから始まる行列を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 6&\sf 5\\ \sf -7&\sf -6\end{pmatrix}=ABABA\end{align*}}$
なので、
ＢＡ＝ＡＢＡＢＡ･Ａ＝ＡＢＡＢ （∵Ａ2＝Ｅ）
ＢＡＢ＝ＡＢＡＢ･Ｂ＝ＡＢＡ （∵Ｂ2＝Ｅ）
ＢＡＢＡ＝ＡＢＡ･Ａ＝ＡＢ （∵Ａ2＝Ｅ）
ＢＡＢＡＢ＝ＡＢ･Ｂ＝Ａ （∵Ｂ2＝Ｅ）
ＢＡＢＡＢＡ＝Ａ･Ａ＝Ｅ （∵Ａ2＝Ｅ）
となり、すべて上で求めたＡから始まる行列と一致する。
以下も、
ＢＡＢＡＢＡＢ＝ＥＢ＝Ｂ
ＢＡＢＡＢＡＢＡ＝ＥＢＡ＝ＢＡ
ＢＡＢＡＢＡＢＡＢ＝ＥＢＡＢ＝ＢＡＢ
･････
のように繰り返す。
よって、現れる行列は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \begin{pmatrix}\sf 5&\sf 3\\ \sf -8&\sf -5\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 9&\sf 7\\ \sf -13&\sf -10\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -11 &\sf -8\\ \sf 15&\sf 11\end{pmatrix}\ \ ,}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \begin{pmatrix}\sf -10&\sf -7\\ \sf 13&\sf 9\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 6&\sf 5\\ \sf -7&\sf -6\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}}\end{align*}}$
の６種類である。
行列の成分計算は慎重に！
１つでも間違えると、その後は全部おかしくなってしまいます＾＾；；
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今日からずっと雨みたいですね。このまま梅雨入りなのかな？
第３問
実数ａと自然数ｎに対して、ｘの方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a\ (x^2+\left|x+1\right|+n-1)=\sqrt n\ (x+1)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) この方程式が実数解をもつようなａの範囲を、ｎを用いて表せ。
(２) この方程式が、すべての自然数ｎに対して実数解をもつような
ａの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ａ＝０のときは、明らかにｘ＝－１を解にもつのでＯＫ。
以下は、ａ≠０の場合を考える。
まず、与式を変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2+|x+1|+n-1}{x+1}=\frac{\sqrt{n}}{a}\end{align*}}$ ････(※)
となり、左辺をｆ(ｘ)とおく。
(ⅰ) ｘ＞－１のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2+(x+1)+n-1}{x+1}=\frac{x^2+x+n}{x+1}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+n)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-n}{(x+1)^2}\end{align*}}$
となり、ｆ’(ｘ)＝０となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-1+\sqrt n\ (>-1)\end{align*}}$
のときである。
(ⅱ) ｘ＜－１のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2-(x+1)+n-1}{x+1}=\frac{x^2-x+n-2}{x+1}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x+n-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-n}{(x+1)^2}\end{align*}}$
となり、ｆ’(ｘ)＝０となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-1-\sqrt n\ (<-1)\end{align*}}$
のときである。
これらより、ｆ(ｘ)の増減表およびｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは、下図のようになる。
よって、(※)が実数解をもつためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (0\lt )-1+2\sqrt n\leqq\frac{\sqrt n}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\leqq \frac{\sqrt n}{-1+2\sqrt n}\end{align*}}$
または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt n}{a}\leqq -3-2\sqrt n\ (<0)\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\sqrt n}{3+2\sqrt n}\leqq a<0\end{align*}}$
であればよい。ａ＝０のときも条件を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{\sqrt n}{3+2\sqrt n}\ \leqq\ a\ \leqq\ \frac{\sqrt n}{-1+2\sqrt n}\ \ }\end{align*}}$
(２)
ｘ≧１の範囲で関数ｇ1(ｘ)、ｇ2(ｘ)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1(x)=-\frac{\sqrt x}{3+2\sqrt x}\ \ ,\ \ g_2(x)=\frac{\sqrt x}{-1+2\sqrt x}\end{align*}}$
と定めると、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1'(x)=-\frac{\frac{1}{2\sqrt x}\left(3+2\sqrt x\right)-\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt x}}{(3+2\sqrt x)^2}=-\frac{3}{2\sqrt x(3+2\sqrt x)^2}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_2'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt x}(-1+2\sqrt x)-\sqrt x\cdot\frac{1}{\sqrt x}}{(-1+2\sqrt x)^2}=-\frac{3}{2\sqrt x(-1+2\sqrt x)^2}<0\end{align*}}$
となり、ともに単調減少関数である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_1(1)=-\frac{1}{5}\ \ ,\ \ g_2(1)=1\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ g_1(x)=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \lim_{x\rightarrow +\infty}\ g_2(x)=\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、ｙ＝ｇ1(ｘ)および、
ｙ＝ｇ2(ｘ)のグラフは右図のようになる。
(２)で求めた条件は
ｇ1(ｎ)≦ａ≦ｇ2(ｎ)
と表せるので、すべての自然数ｎに対して、
これを満たすようなａの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{5}\ \leqq a\ \leqq \ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
である。
これは難しいんじゃないですかねぇ。
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第４問
ｐとｑはともに整数であるとする。２次方程式 ｘ2＋ｐｘ＋ｑ＝０
が実数解$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を持ち、条件(|$\small\sf{\alpha}$ |－１)(|$\small\sf{\beta}$ |－１)≠０を満たし
ている。このとき、数列{ａn}を
ａn＝($\small\sf{\alpha}$ n－１)($\small\sf{\beta}$ n－１) （ｎ＝１，２，････）
によって定義する。以下の問いに答えよ。
(１) ａ1、ａ2、ａ3は整数であることを示せ。
(２) (|$\small\sf{\alpha}$ |－１)(|$\small\sf{\beta}$ |－１)＞０のとき、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|\end{align*}}$
は整数であることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|=\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
となるとき、ｐとｑの値をすべて求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ が無理数
であることは証明なしに用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝－ｐ 、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＝ｑ ････①
これを用いて、ａ1、ａ2、ａ3を計算すると、
ａ1＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ －１)($\scriptsize\sf{\beta}$ －１)
＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )＋１
＝－ｐ＋ｑ＋１ ←①より
ａ2＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－１)($\scriptsize\sf{\beta}$ 2－１)
＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2$\scriptsize\sf{\beta}$ 2－($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2＋$\scriptsize\sf{\beta}$ 2)＋１
＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )2－{($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )2－２$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ }＋１
＝－ｐ2＋ｑ2＋２ｑ＋１ ←①より
ａ3＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ 3－１)($\scriptsize\sf{\beta}$ 3－１)
＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2$\scriptsize\sf{\beta}$ 2－($\scriptsize\sf{\alpha}$ 3＋$\scriptsize\sf{\beta}$ 3)＋１
＝($\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )3－{($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )3－３$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ )}＋１
＝－ｐ3＋ｑ3＋３ｐｑ＋１ ←①より
となる。
ここで、ｐ、ｑは整数なので、ａ1、ａ2、ａ3はすべて整数である。
(２)
条件式 (|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |－１)(|$\scriptsize\sf{\beta}$ |－１)＞０ より
(ⅰ) |$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜１ かつ |$\scriptsize\sf{\beta}$ |＜１
(ⅱ) |$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＞１ かつ |$\scriptsize\sf{\beta}$ |＞１
の２つの場合が考えられる。
求める極限をＬとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{(\alpha^{n+1}-1)(\beta^{n+1}-1)}{(\alpha^{n}-1)(\beta^{n}-1)}\ \right|\end{align*}}$
(ⅰ)のとき
ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ n→０ かつ $\scriptsize\sf{\beta}$ n→０ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(0-1)(0-1)}{(0-1)(0-1)}\ \right|=1\end{align*}}$
(ⅱ)のとき
極限Ｌは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{\left(\alpha-\frac{1}{\alpha^n}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta^n}\right)}{\left(1-\frac{1}{\alpha^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{\beta^{n}}\right)}\ \right|\end{align*}}$
と変形でき、
ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ n→∞ かつ $\scriptsize\sf{\beta}$ n→∞ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(\alpha-0)(\beta-0)}{(1-0)(1-0)}\ \right|=|\alpha\beta|=|q|\end{align*}}$
以上より、(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も、極限Ｌは整数となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$ は整数ではないので、(２)の対偶を考えると、
(|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |－１)(|$\scriptsize\sf{\beta}$ |－１)＜０
となる。
ここで、|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜|$\scriptsize\sf{\beta}$ |としても一般性を失わないので、
|$\scriptsize\sf{\alpha}$ |＜１ かつ |$\scriptsize\sf{\beta}$ |＞１
となる。
このとき、極限Ｌは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{\left(\alpha^{n+1}-1\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta^n}\right)}{\left(\alpha^{n}-1\right)\left(1-\frac{1}{\beta^{n}}\right)}\ \right|\end{align*}}$
と変形でき、
ｎ→∞のとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ n→０ かつ $\scriptsize\sf{\beta}$ n→∞ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left|\ \frac{(0-1)(\beta-0)}{(0-1)(1-0)}\ \right|=|\beta|=\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\beta}$ は、方程式ｘ2＋ｐｘ＋ｑ＝０の解なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2\pm\frac{1+\sqrt5}{2}\cdot p+q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3\pm p+2q)+\sqrt5\ (1\pm p)=0\end{align*}}$ （複号同順）
ｐ、ｑは有理数、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ は無理数なので、
３＋ｐ＋２ｑ＝１＋ｐ＝０ または ３－ｐ＋２ｑ＝１－ｐ＝０
これらを解くと、
(ｐ，ｑ)＝(－１，－１)、(１，－１)
(１)は、(２)以降とは全く無関係ですね・・・・
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第５問
いくつかの玉の入った箱Ａと箱Ｂがあるとき、次の試行Ｔを考える。
<試行Ｔ> 箱Ａから２個の玉を取り出して箱Ｂに入れ、その後、
箱Ｂから２個の玉を取り出して箱Ａに入れる。
最初に箱Ａに黒玉３個、箱Ｂに白玉２個入っているとき、以下の問い
に答えよ。
(１) 試行Ｔを１回行ったときに、箱Ａに黒玉がｎ個入っている確率ｐn
（ｎ＝１，２，３）を求めて、既約分数で表せ。
(２) 試行Ｔを２回行ったときに、箱Ａに黒玉がｎ個入っている確率ｑn
（ｎ＝１，２，３）を求めて、既約分数で表せ。
(３) 試行Ｔを３回行ったときに、箱Ａの中がすべて黒玉になっている
確率を求めて、既約分数で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ｋ回目（ｋ＝０，１，２，･･･）の試行Ｔの後、箱Ａにｎ個（ｎ＝１，２，３）の
黒玉が入っている状況をＳ(ｋ，ｎ)、その確率をＸ(ｋ，ｎ)と表すことにすると、
Ｘ(０，１)＝Ｘ(０，２)＝０ 、 Ｘ(０，３)＝１ ････①
また、１回の試行Ｔにおいて、箱Ａから箱Ｂに入れた途中段階では、
箱Ａに白玉１個が残っている状態(Ⅰとする）または、黒玉が１個残って
いる状態(Ⅱとする)のいずれかである。
ｋ回目試行の途中で状態Ⅰ、Ⅱになる確率をそれぞれ、Ｙ(ｋ，１)、Ｙ(ｋ、２)
とおく。
Ｓ(ｋ，ｎ)から途中段階ⅠまたはⅡを経てＳ(ｋ＋１，ｎ)になる過程、
およびその確率を表したものが下の図である。
例えば、Ｓ(ｋ，１)からⅠになるためには、白黒１個ずつ移動すればよいので、
その確率は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\cdot_1C_1}{_3C_2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ となる。
よって、
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,1)=\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(k,2)=\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ Y(k,1)+\frac{1}{6}\ Y(k,2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\ X(k,1)+\frac{1}{3}\ X(k,2)\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\ X(k,1)+\frac{2}{3}\ X(k,2)+X(k,3)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{18}\ X(k,1)+\frac{5}{18}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$
他も同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,2)=\frac{5}{9}\ X(k,1)+\frac{11}{18}\ X(k,2)+\frac{2}{3}\ X(k,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(k+1,3)=\frac{1}{18}\ X(k,1)+\frac{1}{9}\ X(k,2)+\frac{1}{6}\ X(k,3)\end{align*}}$
(１)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=X(1,1)=\frac{7}{18}\ X(0,1)+\frac{5}{18}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=X(1,2)=\frac{5}{9}\ X(0,1)+\frac{11}{18}\ X(0,2)+\frac{2}{3}\ X(0,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=X(1,3)=\frac{1}{18}\ X(0,1)+\frac{1}{9}\ X(0,2)+\frac{1}{6}\ X(0,3)\end{align*}}$
であり、これらに①を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{6}\ \ ,\ \ p_2=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ p_3=\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
(２)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1=X(2,1)=\frac{7}{18}\ X(1,1)+\frac{5}{18}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_2=X(2,2)=\frac{5}{9}\ X(1,1)+\frac{11}{18}\ X(1,2)+\frac{2}{3}\ X(1,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_3=X(2,3)=\frac{1}{18}\ X(1,1)+\frac{1}{9}\ X(1,2)+\frac{1}{6}\ X(1,3)\end{align*}}$
であり、これらに(１)を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_1=\frac{5}{18}\ \ ,\ \ q_2=\frac{11}{18}\ \ ,\ \ q_3=\frac{1}{9}\ \ }\end{align*}}$
(３)
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X(3,1)=\frac{7}{18}\ X(2,1)+\frac{5}{18}\ X(2,2)+\frac{1}{6}\ X(2,3)\end{align*}}$
であり、これらに(２)を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ X(3,1)=\frac{11}{108}\ \ }\end{align*}}$
これは面倒ですね＾＾；； 状況把握がタイヘンです・・・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/15(月) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2012
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