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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012九州大 理系数学1




第1問

  円 x2+(y-1)2=4で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる
  立体の体積を求めよ。




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  1. 2018/10/15(月) 01:06:00|
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2012九州大 理系数学2



第2問

  2次の正方行列A、Bはそれぞれ
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{-3}{5}=\binom{0}{-1}\ \ \ \ ,\ \ \ \ A\binom{7}{-9}=\binom{8}{-11}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{0}{-1}=\binom{-5}{6}\ \ \ \ ,\ \ \ \ b\binom{8}{-11}=\binom{-7}{10}\end{align*}}$
  をみたすものとする。このとき、以下の問いに答えよ。
  ただし、Eは2次の単位行列を表すものとする。

 (1) 行列A、B、A2、B2を求めよ。

 (2) (AB)2=Eであることを示せ。

 (3) 行列Aから始めて、BとAを交互に右からかけて得られる行列
      A、 AB、 ABA、 ABAB、 ・・・・・
    および
    行列Bから始めて、AとBを交互に右からかけて得られる行列
      B、 BA、 BAB、 BABA、 ・・・・・
    を考える。これらの行列の内で、相異なるものをすべて成分を
    用いて表せ。
 

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2012九州大 理系数学3

今日からずっと雨みたいですね。このまま梅雨入りなのかな?




第3問

  実数aと自然数nに対して、xの方程式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a\ (x^2+\left|x+1\right|+n-1)=\sqrt n\ (x+1)\end{align*}}$
  を考える。以下の問いに答えよ。

 (1) この方程式が実数解をもつようなaの範囲を、nを用いて表せ。

 (2) この方程式が、すべての自然数nに対して実数解をもつような
    aの値の範囲を求めよ。



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2012九州大 理系数学4



第4問

  pとqはともに整数であるとする。2次方程式 x2+px+q=0
  が実数解$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を持ち、条件(|$\small\sf{\alpha}$ |-1)(|$\small\sf{\beta}$ |-1)≠0を満たし
  ている。このとき、数列{an}を
        an=($\small\sf{\alpha}$ n-1)($\small\sf{\beta}$ n-1)  (n=1,2,・・・・)
  によって定義する。以下の問いに答えよ。

 (1) a1、a2、a3は整数であることを示せ。

 (2) (|$\small\sf{\alpha}$ |-1)(|$\small\sf{\beta}$ |-1)>0のとき、極限
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|\end{align*}}$
    は整数であることを示せ。

 (3)     $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ \right|=\frac{1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
    となるとき、pとqの値をすべて求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ が無理数
    であることは証明なしに用いてもよい。



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2012九州大 理系数学5



第5問

  いくつかの玉の入った箱Aと箱Bがあるとき、次の試行Tを考える。

   <試行T> 箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ、その後、
         箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる。

  最初に箱Aに黒玉3個、箱Bに白玉2個入っているとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) 試行Tを1回行ったときに、箱Aに黒玉がn個入っている確率pn
    (n=1,2,3)を求めて、既約分数で表せ。

 (2) 試行Tを2回行ったときに、箱Aに黒玉がn個入っている確率qn
    (n=1,2,3)を求めて、既約分数で表せ。

 (3) 試行Tを3回行ったときに、箱Aの中がすべて黒玉になっている
    確率を求めて、既約分数で表せ。



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