青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2012

2012京都大　文系数学１（１）

さぁ今日から６月です。水無月です。
ちょど今日から京大文系の問題。

第１問

　　次の問いに答えよ。

　(１) ２つの曲線ｙ＝ｘ⁴とｙ＝ｘ²＋２とによって囲まれる図形の面積を求めよ。

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2012/06/01(金) 23:54:00|

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2012京都大　文系数学１（２）

今から思えば５月は、
東大→東工大→一橋大→名大→京大
となかなかヘビーでしたね・・・・

第１問

　　次の問いに答えよ。

　(２) ｎを３以上の整数とする。１からｎまでの番号をつけたｎ枚の札の組が
　　　２つある。これら２ｎ枚の札をよく混ぜ合わせて、札を１枚ずつ３回取り
　　　出し、取り出した順にその番号をＸ₁、Ｘ₂、Ｘ₃とする。
　　　Ｘ₁＜Ｘ₂＜Ｘ₃となる確率を求めよ。ただし一度取り出した札は元に戻さ
　　　ないものとする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(２)
　　　札の取り出し方の総数は、
　　　　　　　_2nＰ₃ 通り

　　　１～ｎの中から異なる３数の選び方は_nＣ₃通りあり、
　　　それぞれの札は２枚ずつあるので、
　　　　　　　_nＣ₃・２³ 通り
　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　 $\rm \frac{_{n}C_3\cdot 2^3}{_{2n}P_3}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot2\cdot1}\cdot2^3}{2n(2n-1)(2n-2)}=\underline{\ \frac{n-2}{3(2n-1)}\ \ }$

　　これも簡単ですね。　　

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2012/06/01(金) 23:57:00|

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2012京都大　文系数学２

これは理系との共通問題です。

第２問

　　正四面体ＯＡＢＣにおいて、点Ｐ、Ｑ、Ｒをそれぞれ辺ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ
　　上にとる。ただし、Ｐ、Ｑ、Ｒ四面体ＯＡＢＣの頂点とは異なるとする。
　　△ＰＱＲが正三角形ならば、３辺ＰＱ、ＱＲ、ＲＰはそれぞれ３辺ＡＢ、
　　ＢＣ、ＣＡに平行であることを証明せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　ＯＰ＝ｐ、ＯＱ＝ｑ、ＯＲ＝ｒとおく。（ただし、ｐ、ｑ、ｒ≠０）　

　　　△ＯＰＱにおいて余弦定理より
　　　　　　　ＰＱ²＝ｐ²＋ｑ²－２ｐｑcos60°
　　　　　　　　　　＝ｐ²＋ｑ²－ｐｑ
　　　同様に、
　　　　　　　ＱＲ²＝ｑ²＋ｒ²－ｑｒ
　　　　　　　ＲＰ²＝ｒ²＋ｐ²－ｒｐ
　　　△ＰＱＲは正三角形なので、
　　　　　　　ＰＱ＝ＱＲ
　　　　　⇔　ｐ²＋ｑ²－ｐｑ＝ｑ²＋ｒ²－ｑｒ
　　　　　⇔　ｐ²－ｒ²－ｐｑ＋ｑｒ＝０
　　　　　⇔　(ｐ－ｒ)(ｐ－ｑ＋ｒ)＝０
　　　　　⇔　ｐ＝ｒ　または　ｑ＝ｐ＋ｒ
　　　同様に、ＱＲ＝ＲＰより
　　　　　　　(ｐ－ｑ)(ｐ＋ｑ－ｒ)＝０　････①

　　　ｑ＝ｐ＋ｒのとき、①に代入すると、
　　　　　　　{ｐ－(ｐ＋ｒ)}{ｐ＋(ｐ＋ｒ)－ｒ}＝０
　　　　　⇔　－２ｒｐ＝０
　　　となるが、ｐ≠０、ｒ≠０に反するので不適。

　　　よって、ｐ＝ｒであり、このとき①は
　　　　　　　(ｒ－ｑ)ｑ＝０
　　　となるが、ｑ≠０なので、ｒ＝ｐ

　　　以上より、ｐ＝ｑ＝ｒ．
　　　よって、△ＯＡＢ∽△ＯＰＱなので、ＡＢ//ＰＱ．
　　　他についても同様に、ＢＣ//ＱＲ、ＣＡ//ＲＰ
　　　

　　これは易しいですね。　　

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2012/06/02(土) 23:57:00|

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2012京都大　文系数学３

これまた理系との共通問題。
コピペだけで終わるので楽です（笑）

第３問

　　実数ｘ、ｙが条件ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²＝６を満たしながら動くとき、
　　　　　　ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ
　　がとり得る値の範囲を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　条件式は、
　　　　　　ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²＝６　⇔　(ｘ＋ｙ)²－ｘｙ＝６
　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　ｘｙ＝(ｘ＋ｙ)²－６　････①
　　と変形することができる。
　　　　　　ｐ＝ｘ＋ｙ
　　とおいて、①よりｙを消去すると、
　　　　　　ｘ(ｐ－ｘ)＝ｐ²－６　⇔　ｘ²－ｐｘ＋ｐ²－６＝０．
　　ｘは実数なので、判別式を考えると、
　　　　　　Ｄ＝ｐ²－４(ｐ²－６)≧０．
　　これを解いて
　　　　　　－２ $\rm \sqrt2$ ≦ｐ≦２ $\rm \sqrt2$ 　････②

　　一方、
　　　　　　　ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ
　　　　　　＝ｘｙ(ｘ＋ｙ)－(ｘ＋ｙ)²＋(ｘ＋ｙ)
　　　　　　＝{ｐ²－６}ｐ－ｐ²＋ｐ　　　　　←①より
　　　　　　＝ｐ³－ｐ²－５ｐ．
　　この右辺をｐの関数とみなして
　　　　　ｆ(ｐ)＝ｐ³－ｐ²－５ｐ
　　とおくと、その導関数は、
　　　　　ｆ’(ｐ)＝３ｐ²－２ｐ－５
　　　　　　　　　＝(３ｐ－５)(ｐ＋１)．
　　②の範囲でｆ(ｐ)の増減表を書くと下の通り。

　　　　　

　　ここで、
　　　　　　 $\rm f\ \left(\frac{5}{3}\right)-f\ \left(-2\sqrt2\right)=6\sqrt2+\frac{41}{27}\ >0$
　　　　　　 $\rm f\ (-1)-f\ \left(2\sqrt2\right)=11-6\sqrt2=\sqrt{121}-\sqrt{72}\ >0$
　　なので、
　　　　　　－６ $\rm \sqrt2$ －８≦ｆ(ｐ)≦３．
　　よって、
　　　　　　－６ $\rm \sqrt2$ －８≦ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ≦３

　　対称式なので、基本対称式であるｘ＋ｙとｘｙに着目です。　　

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2012/06/03(日) 23:57:00|

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2012京都大　文系数学４

昨日は朝から梅田でセミナーでした。
夕方まで全部で６時間。参考になることは多かったのですが、
やはり疲れました・・・・・

第４問

　　次の命題(ｐ)、(ｑ)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。
　　正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを
　　説明せよ。

　(ｐ) 正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の１つが60°である三角形を
　　　作ることができるならば、ｎは３の倍数である。

　(ｑ) △ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’において、ＡＢ＝Ａ’Ｂ’、ＢＣ＝Ｂ’Ｃ’、
　　　 ∠Ａ＝∠Ａ’ならば、これら２つの三角形は合同である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(ｐ) 正しい
　　　[証明]
　　　正ｎ角形のｎ個の頂点をＡ₁～Ａ_nとする。
　　　選んだ３点をＡ_ｉ、Ａ_ｊ、Ａ_ｋ（ｉ＜ｊ＜ｋ）とし、
　　　　　　　　　∠Ａ_ｊＡ_ｉＡ_ｋ＝60°　････①
　　　とする。
　　　また、正ｎ角形の外接円を考え、
　　　その中心をＯとすると、
　　　①より、
　　　　　　　　　∠Ａ_ｊＯＡ_ｋ＝120°．
　　　このとき、
　　　円Ｏにおいて、弧Ａ_ｊＡ_ｋは円周の３分の１になるため、
　　　　　　　　　 $\rm \frac{k-j}{n}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=3(k-j)$
　　　ｊ、ｋは整数なので、ｎは３の倍数である。

　(ｑ)正しくない
　　　[反例]
　　　下図のように、大きさが20°の角∠ＸＯＹ内に
　　　　　ＰＯ＝ＰＱ、∠ＰＯＱ＝∠ＰＱＯ＝20°の二等辺三角形ＯＰＱ
　　　　　ＱＰ＝ＱＲ、∠ＱＰＲ＝∠ＱＲＰ＝40°の二等辺三角形ＰＱＲ
　　　をつくる。
　　　　　　　　

　　　ここで、△ＯＱＰを△ＡＢＣ、△ＯＱＲを△Ａ’Ｂ’Ｃ’とみなすと、
　　　ＡＢ＝Ａ’Ｂ’、ＢＣ＝Ｂ’Ｃ’、∠Ａ＝∠Ａ’であるが、
　　　これら２つの三角形は合同ではない。
　　　よって、命題(ｑ)は正しくない。
　　　　　　　

　　(ｑ)は、そもそも三角形の合同条件を満たしていませんからね。
　　まぁ、正しくないのは当たり前なんですよ。

　　　　

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2012/06/04(月) 23:57:00|

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2012京都大　文系数学５

さて、そろそろ夏期講習のチラシをつくって行かなければ・・・

第５問

　　次の条件(※)を満たす正の実数の組(ａ，ｂ)の範囲を求め、
　　座標平面上に図示せよ。

　(※) cosａθ＝cosｂθかつ０＜θ≦πとなるθがちょうど１つある。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　cosａθ＝cosｂθ　････(Ａ)　　とおく。

　(ⅰ) ａ＝ｂのとき
　　　０＜θ≦πのすべてのθに対して(Ａ)を満たすので不適。

　(ⅱ) ａ＞ｂ＞０のとき
　　　(Ａ)を満たすのは、ｎを整数として
　　　　　　　　　　ａθ＝±ｂθ＋２ｎπ
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{2n\ \pi}{a\pm b}$
　　　θ＞０のものは、
　　　　　　　　　　 $\rm \theta=\frac{2\pi}{a+b}\ \ ,\ \ \frac{4\pi}{a+b}\ \ ,\ \ \frac{6\pi}{a+b}\ \ ,\ \ \ldots\ldots$ 　　　または、
　　　　　　　　　　 $\rm \theta=\frac{2\pi}{a-b}\ \ ,\ \ \frac{4\pi}{a-b}\ \ ,\ \ \frac{6\pi}{a-b}\ \ ,\ \ \ldots\ldots$
　　　であり、このうちで最小のものは、
　　　　　　　　　　 $\rm \theta=\frac{2\pi}{a+b}$ 　　　
　　　である。よって、０＜θ≦πにただ１つのθが存在するためには、
　　　　　　　 $\rm 0<\frac{2\pi}{a+b}\leq \pi$ 　かつ　 $\rm \pi<\frac{4\pi}{a+b}$ 　　かつ　 $\rm \pi<\frac{2\pi}{a-b}$
　　　すなわち、
　　　　　　　２≦ａ＋ｂ＜４　かつ　ａ－ｂ＜２
　　　であればよい。

　(ⅲ) ｂ＞ａ＞０のとき
　　　(ⅱ)と同様に考えると、
　　　　　　　２≦ａ＋ｂ＜４　かつ　ｂ－ａ＜２

　(ⅰ)～(ⅲ)より、(※)を満たす(ａ，ｂ)の存在領域を
　図示すると右図のようになる。
　ただし、境界は、
　　　直線ｂ＝－ａ＋４およびｂ＝ａ±２
　上の点は含まず、
　また、直線ｂ＝ａ上の点も含まない。
　　　

　　これはいい問題ですね。　　

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2012/06/05(火) 23:57:00|

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