青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2012

2012京都大　理系数学１（１）

定期テストが終わって少しふぬけていますが、
今日から京大の問題です。

第１問

　　次の各問に答えよ。

　(１) ａが正の実数のとき
　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1+a^n\right)^{\frac{1}{n}}$
　　　を求めよ。

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2012/05/26(土) 23:54:00|

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2012京都大　理系数学１（２）

第１問

　　次の各問に答えよ。

　(２) 定積分
　　　　　　　 $\rm \int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2}\ \log\sqrt{1+x^2}\ dx$
　　　の値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(２)
　　　まず、
　　　　　　　 $\rm I=\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2}\ \log\sqrt{1+x^2}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2}\ \log\ (1+x^2)\ dx$
　　　と変形でき、部分積分法を用いると、
　　　　　　　 $\rm I=\frac{1}{2}\left[\left(-\frac{1}{x}\right)\ \log(1+x^2)\right]_1^{\sqrt3}-\frac{1}{2}\int_1^{\sqrt3}\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{2x}{1+x^2}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =-\frac{1}{2}\left(\frac{\log4}{\sqrt3}-\log2\right)+\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt3}\right)\ log2+\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\ dx$

　　　ここで、ｘ＝tanθとおくと、
　　　　　　　 $\rm \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$
　　　であり、
　　　ｘ：１→ $\rm \sqrt3$ のとき、θ：π/4→π/3のように対応するので、
　　　　　　　 $\rm \int_1^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\ dx=\int_{\pi /4}^{\pi/3}\ \frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot(1+\tan^2\theta)\ d\theta$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\int_{\pi /4}^{\pi/3}\ d\theta$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\left[\ \theta\ \right]_{\pi /4}^{\pi/3}$
　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{\pi}{12}$
　　　よって、
　　　　　　　 $\rm \underline{\ I=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt3}\right)\ log2+\frac{\pi}{12}\ \ }$

　　お手頃な計算題ですな。　　

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2012/05/26(土) 23:57:00|

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2012京都大　理系数学２

第２問

　　正四面体ＯＡＢＣにおいて、点Ｐ、Ｑ、Ｒをそれぞれ辺ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ
　　上にとる。ただし、Ｐ、Ｑ、Ｒ四面体ＯＡＢＣの頂点とは異なるとする。
　　△ＰＱＲが正三角形ならば、３辺ＰＱ、ＱＲ、ＲＰはそれぞれ３辺ＡＢ、
　　ＢＣ、ＣＡに平行であることを証明せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　ＯＰ＝ｐ、ＯＱ＝ｑ、ＯＲ＝ｒとおく。（ただし、ｐ、ｑ、ｒ≠０）　

　　　△ＯＰＱにおいて余弦定理より
　　　　　　　ＰＱ²＝ｐ²＋ｑ²－２ｐｑcos60°
　　　　　　　　　　＝ｐ²＋ｑ²－ｐｑ
　　　同様に、
　　　　　　　ＱＲ²＝ｑ²＋ｒ²－ｑｒ
　　　　　　　ＲＰ²＝ｒ²＋ｐ²－ｒｐ
　　　△ＰＱＲは正三角形なので、
　　　　　　　ＰＱ＝ＱＲ
　　　　　⇔　ｐ²＋ｑ²－ｐｑ＝ｑ²＋ｒ²－ｑｒ
　　　　　⇔　ｐ²－ｒ²－ｐｑ＋ｑｒ＝０
　　　　　⇔　(ｐ－ｒ)(ｐ－ｑ＋ｒ)＝０
　　　　　⇔　ｐ＝ｒ　または　ｑ＝ｐ＋ｒ
　　　同様に、ＱＲ＝ＲＰより
　　　　　　　(ｐ－ｑ)(ｐ＋ｑ－ｒ)＝０　････①

　　　ｑ＝ｐ＋ｒのとき、①に代入すると、
　　　　　　　{ｐ－(ｐ＋ｒ)}{ｐ＋(ｐ＋ｒ)－ｒ}＝０
　　　　　⇔　－２ｒｐ＝０
　　　となるが、ｐ≠０、ｒ≠０に反するので不適。

　　　よって、ｐ＝ｒであり、このとき①は
　　　　　　　(ｒ－ｑ)ｑ＝０
　　　となるが、ｑ≠０なので、ｒ＝ｐ

　　　以上より、ｐ＝ｑ＝ｒ．
　　　よって、△ＯＡＢ∽△ＯＰＱなので、ＡＢ//ＰＱ．
　　　他についても同様に、ＢＣ//ＱＲ、ＣＡ//ＲＰ
　　　

　　これは易しいですね。　　

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2012/05/27(日) 23:57:00|

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2012京都大　理系数学３

まだ５月だというのに、早くも暑いですね･･･････

第３問

　　実数ｘ、ｙが条件ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²＝６を満たしながら動くとき、
　　　　　　ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ
　　がとり得る値の範囲を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　条件式は、
　　　　　　ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²＝６　⇔　(ｘ＋ｙ)²－ｘｙ＝６
　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　ｘｙ＝(ｘ＋ｙ)²－６　････①
　　と変形することができる。
　　　　　　ｐ＝ｘ＋ｙ
　　とおいて、①よりｙを消去すると、
　　　　　　ｘ(ｐ－ｘ)＝ｐ²－６　⇔　ｘ²－ｐｘ＋ｐ²－６＝０．
　　ｘは実数なので、判別式を考えると、
　　　　　　Ｄ＝ｐ²－４(ｐ²－６)≧０．
　　これを解いて
　　　　　　－２ $\rm \sqrt2$ ≦ｐ≦２ $\rm \sqrt2$ 　････②

　　一方、
　　　　　　　ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ
　　　　　　＝ｘｙ(ｘ＋ｙ)－(ｘ＋ｙ)²＋(ｘ＋ｙ)
　　　　　　＝{ｐ²－６}ｐ－ｐ²＋ｐ　　　　　←①より
　　　　　　＝ｐ³－ｐ²－５ｐ．
　　この右辺をｐの関数とみなして
　　　　　ｆ(ｐ)＝ｐ³－ｐ²－５ｐ
　　とおくと、その導関数は、
　　　　　ｆ’(ｐ)＝３ｐ²－２ｐ－５
　　　　　　　　　＝(３ｐ－５)(ｐ＋１)．
　　②の範囲でｆ(ｐ)の増減表を書くと下の通り。

　　　　　

　　ここで、
　　　　　　 $\rm f\ \left(\frac{5}{3}\right)-f\ \left(-2\sqrt2\right)=6\sqrt2+\frac{41}{27}\ >0$
　　　　　　 $\rm f\ (-1)-f\ \left(2\sqrt2\right)=11-6\sqrt2=\sqrt{121}-\sqrt{72}\ >0$
　　なので、
　　　　　　－６ $\rm \sqrt2$ －８≦ｆ(ｐ)≦３．
　　よって、
　　　　　　－６ $\rm \sqrt2$ －８≦ｘ²ｙ＋ｘｙ²－ｘ²－２ｘｙ－ｙ²＋ｘ＋ｙ≦３

　　対称式なので、基本対称式であるｘ＋ｙとｘｙに着目です。　　

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2012/05/28(月) 23:57:00|

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2012京都大　理系数学４

久しぶりに昼寝しました・・・

第４問

　(１) $\rm \sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。

　(２) Ｐ(ｘ)は有理数を係数とするｘの多項式で、
　　　　　　　 $\rm P\ \left(\sqrt[3]{2}\right)=0$
　　　を満たしているとする。このときＰ(ｘ)はｘ³－２で割り切れることを
　　　証明せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　 $\rm \sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数ｐ、ｑを用いて
　　　　　　　　　 $\rm \sqrt[3]{2}=\frac{q}{p}$
　　　と表せる。この両辺を３乗して整理すると、
　　　　　　　　　２ｐ³＝ｑ³　･････①
　　　ｑ³は２の倍数になるので、ｑも２の倍数．
　　　　　　　　　ｑ＝２ｋ　（ｋ：自然数）
　　　とおいて、①に代入すると、
　　　　　　　　　２ｐ³＝(２ｋ)³　⇔　ｐ³＝４ｋ³
　　　ｐ³は２の倍数になるので、ｐも２の倍数となるが、
　　　これはｐとｑが互いに素であることに矛盾する。
　　　
　　　よって、 $\rm \sqrt[3]{2}$ は無理数である。

　(２)
　　　まず、α＝ $\rm \sqrt[3]{2}$ とおくと、
　　　　　　　α³＝２　･････②
　　　一方、
　　　Ｐ(ｘ)を３次式ｘ³－２で割ったときの商をＱ(ｘ)、余りをａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　（ａ、ｂ、ｃは有理数）とおくと、
　　　　　　　Ｐ(ｘ)＝(ｘ³－２)Ｑ(ｘ)＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　と表せ、条件Ｐ(α)＝０より、
　　　　　　　Ｐ(ｘ)＝(α³－２)Ｑ(α)＋ａα²＋ｂα＋ｃ＝０
　　　②より、
　　　　　　　ａα²＋ｂα＋ｃ＝０　････③
　　　両辺にαをかけると、②より、
　　　　　　　２ａ＋ｂα²＋ｃα＝０　････④
　　　α²を消すために、③×ｂ－④×ａを計算すると、
　　　　　　　(ａｃ－ｂ²)α＝ｂｃ－２ａ²　
　　　ここで、ａｃ－ｂ²≠０と仮定すると、
　　　　　　　 $\rm \alpha=\frac{bc-2a^2}{ac-b^2}$
　　　と変形でき、右辺は有理数なので(１)に矛盾する。
　　　よって、
　　　　　　　ａｃ－ｂ²＝０　････⑤
　　　このとき、
　　　　　　　ｂｃ－２ａ²＝０　････⑥
　　　となり、⑤、⑥より
　　　　　　　ａｂｃ＝ｂ³＝２ａ³
　　　②を用いて、両辺の３乗根をとると、
　　　　　　　ｂ＝αａ
　　　この式に対しても⑤、⑥と同様に考えると、
　　　　　　　ａ＝ｂ＝０
　　　これと③より
　　　　　　　ｃ＝０

　　　以上より余りは０となるので、
　　　　　　Ｐ(ｘ)はｘ³－２で割り切れる。

　　(２)の議論が少し難しいでしょうね。
　　とりあえずはジャマなα²を消す方向でもっていけば、
　　うまく(１)の結論が使えると思います。　　

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2012/05/29(火) 23:57:00|

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2012京都大　理系数学５

せっかく明日の記事を書いたのに全部消えてしまった・・・・・・・
ちくしょうーーーーーっ！！！！！！

第５問

　　次の命題(ｐ)、(ｑ)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。
　　正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを
　　説明せよ。

　(ｐ) 正ｎ角形の頂点から３点を選んで内角の１つが60°である三角形を
　　　作ることができるならば、ｎは３の倍数である。

　(ｑ) △ＡＢＣと△ＡＢＤにおいて、ＡＣ＜ＡＤかつＢＣ＜ＢＤならば、
　　　 ∠Ｃ＞∠Ｄである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(ｐ) 正しい
　　　[証明]
　　　正ｎ角形のｎ個の頂点をＡ₁～Ａ_nとする。
　　　選んだ３点をＡ_ｉ、Ａ_ｊ、Ａ_ｋ（ｉ＜ｊ＜ｋ）とし、
　　　　　　　　　∠Ａ_ｊＡ_ｉＡ_ｋ＝60°　････①
　　　とする。
　　　また、正ｎ角形の外接円を考え、
　　　その中心をＯとすると、
　　　①より、
　　　　　　　　　∠Ａ_ｊＯＡ_ｋ＝120°．
　　　このとき、
　　　円Ｏにおいて、弧Ａ_ｊＡ_ｋは円周の３分の１になるため、
　　　　　　　　　 $\rm \frac{k-j}{n}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=3(k-j)$
　　　ｊ、ｋは整数なので、ｎは３の倍数である。

　(ｑ)正しくない
　　　[反例]
　　　下図のように、大きさが20°の角∠ＸＯＹ内に
　　　　　ＰＯ＝ＰＱ、∠ＰＯＱ＝∠ＰＱＯ＝20°の二等辺三角形ＯＰＱ
　　　　　ＱＰ＝ＱＲ、∠ＱＰＲ＝∠ＱＲＰ＝40°の二等辺三角形ＰＱＲ
　　　　　ＲＱ＝ＲＳ、∠ＲＱＳ＝∠ＲＳＱ＝60°の二等辺三角形ＱＲＳ
　　　をつくる。
　　　　　　　　

　　　ここで、△ＰＱＯを△ＡＢＣ、△ＲＳＯを△ＡＢＤとみなすと、
　　　ＡＣ＜ＡＤかつＢＣ＜ＢＤであるが、∠Ｃ＝∠Ｄとなる。
　　　よって、命題(ｑ)は正しくない。
　　　　　　　

　　(２)は反例を挙げるだけなので、色々考えることができると思います。
　　例えば、下の図のような正六角形で考えてもＯＫです。

　　　　　　　　

　　　　

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2012/05/30(水) 23:57:00|

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2012京都大　理系数学６

５月終了。
月末処理に終われて忙しいです・・・・・

第６問

　　さいころをｎ回投げて出た目を順にＸ₁，Ｘ₂，･･･，Ｘ_nとする。
　　さらに、
　　　　　　 $\rm Y_1=X_1\ ,\ \ Y_k=X_k+\frac{1}{Y_{k-1}}\ \ \ \ \ \ (k=2\ ,\ \ldots\ ,\ n)$
　　によって、Ｙ₁，Ｙ₂，･･･，Ｙ_nを定める。
　　　　　　 $\rm \frac{1+\sqrt3}{2}\leq Y_n\leq 1+\sqrt3$
　　となる確率ｐ_nを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　与えられた漸化式は、
　　　　　　　 $\rm X_{k+1}=Y_{k+1}+\frac{1}{Y_{k}}\ \ \ \ \ \ (k=1\ ,\ \ldots\ ,\ n)$ 　････(※)
　　と変形できる。

　　Ｙ₁＝Ｘ₁≧１とＸ₂≧１より、Ｙ₂＞１であり、
　　これとＸ₃≧１より、Ｙ₃＞１となる。
　　よって、以下も帰納的にＹ_n＞１となる。

　　集合Ｐ、Ｑ、Ｒを
　　　　　　　 $\rm P=\left\{\ y\ \bigg|\ \frac{1+\sqrt3}{2}\leq y\leq 1+\sqrt3\ \right\}$
　　　　　　　 $\rm Q=\left\{\ y\ \bigg|\ 1< y< \frac{1+\sqrt3}{2}\ \right\}$
　　　　　　　 $\rm R=\left\{\ y\ \bigg|\ 1+\sqrt3<y\ \right\}$
　　と定め、
　　Ｙ_n∈Ｐ、Ｙ_n∈Ｑ、Ｙ_n∈Ｒとなる確率をそれぞれｐ_n、ｑ_n、ｒ_nとすると、
　　　　　　　ｐ_n＋ｑ_n＋ｒ_n＝１　････①
　　また、Ｙ₁∈Ｐとなるのは、Ｘ₁＝２のときのみなので、
　　　　　　　 $\rm p_1=\frac{1}{6}$ 　････②

　　Ｙ_n+1∈Ｐとなるのは、以下の３通りの場合がある。

　(ⅰ)　Ｙ_n∈Ｐ　かつ　Ｙ_n+1∈Ｐとなる場合
　　　　　　　 $\rm \frac{1+\sqrt3}{2}\leq Y_n\leq 1+\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\sqrt3\leq -\frac{1}{Y_n}\leq \frac{1-\sqrt3}{2}$
　　　　かつ
　　　　　　 $\rm \frac{1+\sqrt3}{2}\leq Y_{n+1}\leq 1+\sqrt3$
　　　　なので、
　　　　　　 $\rm \frac{3-\sqrt3}{2}\leq Y_{n+1}-\frac{1}{Y_n}\leq \frac{3+\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3-\sqrt3}{2}\leq X_n\leq \frac{3+\sqrt3}{2}$
　　　　これを満たすＸ_nは、Ｘ_n＝１またはＸ_n＝２．

　(ⅱ)　Ｙ_n∈Ｑ　かつ　Ｙ_n+1∈Ｐとなる場合
　　　　　　　 $\rm 1< Y_n< \frac{1+\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -1< -\frac{1}{Y_n}< 1-\sqrt3$
　　　　かつ
　　　　　　 $\rm \frac{1+\sqrt3}{2}\leq Y_{n+1}\leq 1+\sqrt3$
　　　　なので、
　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3-1}{2}< Y_{n+1}-\frac{1}{Y_n}<2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sqrt3-1}{2}< X_n<2$
　　　　これを満たすＸ_nは、Ｘ_n＝１．

　
　(ⅲ)　Ｙ_n∈Ｒ　かつ　Ｙ_n+1∈Ｐとなる場合
　　　　　　　 $\rm 1+\sqrt3< Y_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\sqrt3}{2}< -\frac{1}{Y_n}<0$
　　　　かつ
　　　　　　 $\rm \frac{1+\sqrt3}{2}\leq Y_{n+1}\leq 1+\sqrt3$
　　　　なので、
　　　　　　 $\rm 1< Y_{n+1}-\frac{1}{Y_n}<1+\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ 1< X_n<1+\sqrt3$
　　　　これを満たすＸ_nは、Ｘ_n＝２．

　　(ⅰ)～(ⅲ)より
　　　　　　 $\rm p_{n+1}=\frac{2}{6}\ p_n+\frac{1}{6}\ q_n+\frac{1}{6}\ r_n$
　　これに①を代入すると、　
　　　　　　 $\rm p_{n+1}=\frac{2}{6}\ p_n+\frac{1}{6}\ (1-p_n)=\frac{1}{6}\ p_n+\frac{1}{6}$
　　となる。これは、
　　　　　　 $\rm p_{n+1}-\frac{1}{5}=\frac{1}{6}\left( p_n-\frac{1}{5}\right)$
　　と変形できるので、②より、
　　数列 $\rm \left\{p_n-\frac{1}{5}\right\}$ 　は、初項 $\rm -\frac{1}{30}$ 　、公比 $\rm \frac{1}{6}$ 　の等比数列となる。
　　よって、
　　　　　　 $\rm p_{n}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{30}\left( \frac{1}{6}\right)^{n-1}=-\frac{1}{5}\left( \frac{1}{6}\right)^{n}$
　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_{n}=\frac{1}{5}\left\{1-\left( \frac{1}{6}\right)^{n}\right\}\ \ }$
　　　　　　

　　連立型の漸化式をつくるタイプの問題です。
　　遠慮せずにどんどん変数を定義していってください。
　　条件①に気をつけましょう。　　

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2012/05/31(木) 23:57:00|

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