第１問
ｘｙ平面に、点(０，１)を通り、傾きがｈの直線Lがある。
(１) ｘｙ平面において、Lに関して点Ｐ(ａ，ｂ)と対称な点をＱ(ｓ，ｔ)とする。
このとき、ａ、ｂ、ｈを用いて、ｓ、ｔを表せ。ただし、点Ｐ(ａ，ｂ)はL上に
ないとする。
(２) ｘｙ平面において、Lに関して原点Ｏ(０，０)を対称な点をＡとする。ｈが
－１≦ｈ≦１の範囲を動くとき、線分ＯＡの長さの最大値と最小値を求めよ。
(３) ｈが－１≦ｈ≦１の範囲を動くときの点Ａの軌跡をＣとする。Ｃと直線ｙ＝１
で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｈ＝０のとき、
L：ｙ＝１となり、ＰとＱのｘ座標は等しく、
ｓ＝ａ．
また、ＰＱの中点はL上にあるので、ｙ座標を
考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b+t}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t=2-b\end{align*}}$
ｈ≠０のとき、
線分ＰＱは直線L：ｙ＝ｈｘ＋１と垂直なので、
傾きの積は－１となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t-b}{s-a}\cdot h=-1\end{align*}}$
⇔ ｓ＋ｈｔ＝ａ＋ｂｈ ････①
また、ＰＱの中点をＭとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \left(\frac{a+s}{2}\ ,\ \frac{b+t}{2}\right)\end{align*}}$
であり、これがL上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b+t}{2}=\frac{a+s}{2}\cdot h+1\end{align*}}$
⇔ ｈｓ－ｔ＝－ａｈ＋ｂ－２ ････②
①＋②×ｈを計算すると、
(ｈ2＋１)ｓ＝(１－ｈ2)ａ＋２ｈｂ－２ｈ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{(1-h^2)a+2hb-2h}{h^2+1}\end{align*}}$
これを②に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2ah+(h^2-1)b+2}{h^2+1}\end{align*}}$
こららの式は、ｈ＝０のときも満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (s\ ,\ t)=\left(\frac{(1-h^2)a+2hb-2h}{h^2+1}\ ,\ \frac{2ah+(h^2-1)b+2}{h^2+1}\right)\ \ }\end{align*}}$
(２)
点Ａの座標をＡ(Ｘ，Ｙ)とし、
(１)で、ａ＝ｂ＝０の場合を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X\ ,\ Y)=\left(-\frac{2h}{h^2+1}\ ,\ \frac{2}{h^2+1}\right)\end{align*}}$ ････③
線分ＯＡの長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA^2=X^2+Y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{2h}{h^2+1}\right)^2+\left( \frac{2}{h^2+1}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4h^2+4}{(h^2+1)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{h^2+1}\end{align*}}$ ････④
ここで、
－１≦ｈ≦１ ⇔ ０≦ｈ2≦１
⇔ １≦ｈ2＋１≦２
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\leqq \frac{1}{h^2+1}\leqq 1\end{align*}}$ ････⑤
よって、④、⑤より
２≦ＯＡ2≦４
となるので、
ＯＡの最大値は２ （ｈ＝０のとき）
最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ （ｈ＝±１のとき）
(３)
③、④より
Ｘ2＋Ｙ2＝２Ｙ
⇔ Ｘ2＋(Ｙ－１)2＝１
③、⑤より
１≦Ｙ≦２
これらより、点Ａ(Ｘ，Ｙ)の軌跡Ｃは、
中心(０，１)、半径１の円の１≦ｙ≦２の部分で、
右図のような半円の弧になる。
これと直線ｙ＝１で囲まれる部分の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\cdot1^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$
(３)はちょっと誤魔化していますが・・・・
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第３問
ｍを正の奇数とする。
(１) (ｘ－１)101の展開式におけるｘ2の係数を求めよ。
(２) (ｐ－１)ｍ＋１はｐで割り切れることを示せ。
(３) ｒを正の整数とし、ｓ＝３r-1ｍとする。２s＋１は３rで割り切れることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
３回ともｊ以上 ｊ＋ｋ以下のカードを取り出せばよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{(j+k)-j+1}{n}\right)^3=\underline{\ \left(\frac{k+1}{n}\right)^3 \ \ }\end{align*}}$
(２)
(ア)ｊのカードを２回、ｊ＋ｋのカードを１回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}\cdot 3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
(イ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを２回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
(ウ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを１回、
ｊ＋１以上ｊ＋ｋ－１以下のカードを１回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot\frac{k-1}{n}\cdot3\ !=\frac{6(k-1)}{n^3}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{n^3}+\frac{3}{n^3}+\frac{6(k-1)}{n^3}=\underline{\ \frac{6k}{n^3}\ \ }\end{align*}}$
(３)
最小値をＸ＝ｊとすると、Ｘ－Ｙ＝ｓ（＞０）より
最大値はＹ＝ｊ＋ｓとなる。
よって、
１≦ｊ＜ｊ＋ｓ≦ｎ ⇔ １≦ｊ≦ｎ－ｓ
これと(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (s)=\sum_{j=1}^{n-s}\ \frac{6s}{n^3}=\underline{\ \frac{6s(n-s)}{n^3}\ \ }\end{align*}}$
(４)
実数ｘについての関数Ｐ(ｘ)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=\frac{6x(n-x)}{n^3}\end{align*}}$
と定義すると、右辺を平方完成することにより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=-\frac{6}{n^3}\left(x-\frac{n}{2}\right)^2+\frac{3}{2n}\end{align*}}$
のように変形できる。
ここで、ｎは偶数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ は整数である。
よって、Ｐ(ｓ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{n}{2}\ \ }\end{align*}}$
のときに最大となる。
これは理系と共通問題ですが、さほど難しくないですね。
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