青木ゼミ青木大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2011

2011九州大　理系数学１

第１問
　　
　　　

　

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　まぁとりあえず図を描きましょう。　

　　　　
　　(１)
　　　　直線ＰＨの傾きは－１になるので、その方程式は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt t=-(x-t)\end{align*}}$
　　　　これと直線ｙ＝ｘとの交点を求めると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H \left( \frac{t+\sqrt t}{2}\ ,\ \frac{t+\sqrt t}{2}\right)\end{align*}}$

　　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a= \frac{t+\sqrt t}{2}\end{align*}}$
　　　　とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}(a+1)(a-1)\ +\ \frac{1}{2}\left( \sqrt t +a\right)(t-a)\ -\ \int_1^t \sqrt x \ dx\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{6}t\sqrt t -\frac{1}{4}t+\frac{1}{6}\end{align*}}$

　　　　上の解答では右図のように、
　　　　　　Ｓ₁＝(赤色の台形)＋(青色の台形)－(緑色の部分)
　　　　と考えて求めています。

　　(３)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_0^1 \left(\sqrt x-x \right)dx=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^2 \right]_0^1=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　Ｓ₁＝Ｓ₂より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t^2-\frac{1}{6}t\sqrt t -\frac{1}{4}t+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　ｔ≠０なので、両辺をｔで割ると
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t-\frac{1}{6}\sqrt t -\frac{1}{4}=0\end{align*}}$
　　　　となり、これを解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt t =\frac{1+\sqrt 10}{3}\ (\gt 0)\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t =\frac{11+2\sqrt 10}{9}\end{align*}}$

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2011九州大　理系数学２

第２問
　　ａを正の定数とする。以下の問いに答えよ。
　(１) 関数ｆ(ｘ)＝(ｘ²＋２ｘ＋２－ａ²)ｅ^-xの極大値および極小値を求めよ。
　(２) ｘ≧３のとき、不等式ｘ³ｅ^-x≦27ｅ^-3が成り立つことを示せ。
　　　さらに極限
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\rm x \to \infty}\sf x^2e^{-x}\end{align*}}$
　　　を求めよ。
　(３) ｋを定数とする。ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋２のグラフとｙ＝ｋｅ^x＋ａ²のグラフが
　　　異なる３点で交わるための必要十分条件を、ａとｋを用いて表せ。

　　
　　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　なかなかうまく問題が作られているなぁと感心しています。　

　　(１)
　　　　ｆ'(ｘ)＝(２ｘ＋２)ｅ^-x－(ｘ²＋２ｘ＋ｘ－ａ²)ｅ^-x
　　　　　　　＝－(ｘ²－ａ²)ｅ^-x
　　　　ａ＞０より、ｘ＝±ａでｆ'(ｘ)＝０となり、ｆ(ｘ)の増減表は下の通り。

ｘ	･･･	－ａ	･･･	ａ	･･･
ｆ'(ｘ)	－	０	＋	０	－
ｆ(ｘ)	↘	極小	↗	極大	↘

　　　　よって、ｘ＝ａで極大　(２ａ＋２)ｅ^-a
　　　　　　　ｘ＝－ａで極小 (－２ａ＋２)ｅ^a

　　(２)
　　　　ｇ(ｘ)＝ｘ³ｅ^-xとおくと、
　　　　ｇ'(ｘ)＝３ｘ²ｅ^-x－ｘ³ｅ^-x ＝(３－ｘ)ｘ²ｅ^-x
　　　　ｘ≧３の範囲で増減表を書くと、

ｘ	－ａ	･･･
ｇ'(ｘ)	０	－
ｇ(ｘ)	27ｅ^-3	↘

　　　　よって、ｘ≧３でｘ³ｅ^-x≦27ｅ^-3･････①
　　　　
　　　　ここで、ｘ＞０より①の両辺をｘで割ると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\ <\ x^2e^{-x}\ \leqq \ \frac{27e^{-3}}{x}\end{align*}}$
　　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to \infty}\sf \frac{27e^{-3}}{x}=0\end{align*}}$
　　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to \infty}\sf x^2e^{-x}=0\end{align*}}$

　　　　問題をつくった教授の意図をちゃんとくみ取れましたか？？　

　　(３)
　　　　ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋２とｙ＝ｋｅ^x＋ａ²の交点を求める。
　　　　　　　ｘ²＋２ｘ＋２＝ｋｅ^x＋ａ²
　　　　　　⇔(ｘ²＋２ｘ＋２－ａ²)ｅ^-x＝ｋ
　　　　よって、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｋのグラフが異なる３点で交わればよい。
　　　　まず、(２)より$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to \infty}\sf x^2e^{-x}=0\end{align*}}$
　　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to \infty}\sf f(x)=0\end{align*}}$
　　　　また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to -\infty}\sf 2e^{-x}=+\infty\end{align*}}$
　　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\lim_{\sf x \to -\infty}\sf f(x)=+\infty\end{align*}}$
　　　　これらをもとにｆ(ｘ)の増減表を書くと、

ｘ	－∞	･･･	－ａ	･･･	ａ	･･･	＋∞
ｆ'(ｘ)		－	０	＋	０	－
ｆ(ｘ)	＋∞	↘	(-2a+2)e^a	↗	(2a+2)e^-a	↘	０

　　　　(ⅰ) ａ≧１のとき　　　　　　　　　　
　　　　　　下左図より、極小≦０なので、０＜ｋ＜(２ａ＋２)ｅ^-a　　　　　　
　　　　(ⅱ) ０＜ａ＜１のとき
　　　　　　下右図より、極小＞０なので、(－２ａ＋２)ｅ^a＜ｋ＜(２ａ＋２)ｅ^-a

　　　　　　　　　　　

　　　　うまく(１)、(２)から繋がりましたね。最後の場合分けまで気を抜かないように！　

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2011九州大　理系数学３

第３問
　　
　　

　　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　与えられた漸化式の分母にａ_nの２乗があるので、そのままでは解けそうにありませんが、
　　　　問題をざーっと見渡すと(２)(３)でなぜかtanが登場しています。
　　　　これで気づくんじゃないかなぁと思いますが、とりあえずは何にも気づかなかったことにして、
　　　　普通に解いてみます。
　　　　よく分からないので、(１)はｎ＝２、３、４、･･･と実験してみましょう。　

　　(１)
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{\frac{2}{\sqrt 3}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2\sqrt 3}{1-\left(\sqrt3 \right)^2}=-\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{-2\sqrt 3}{1-\left(-\sqrt3 \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \vdots\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　ｎ＝１のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　ｎ≧２のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=(-1)^n\sqrt3\end{align*}}$

　　　　なぜか突然登場したタンジェント。これはまぁ普通に加法定理でOKでしょ。　

　　(２)
　　　　tanの加法定理より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan \frac{\pi}{12}=\tan \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{3}-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{\pi}{3}\tan \frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan \frac{\pi}{12}=2-\sqrt3\end{align*}}$

　　　　またまた登場したタンジェント！！ここで倍角公式に気づかないと(３)はムリっぽいですね。
　　　　後半は、tanの周期が$\scriptsize\sf{\pi}$ であることに注意です。　

(３)
　　　　ａ₁＝tanＡとおいて、tanの倍角公式を順次用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{2a_1}{1-a_1^2}=\frac{2\tan A}{1-\tan^2A}=\tan 2A\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2a_2}{1-a_2^2}=\frac{2\tan 2A}{1-\tan^2 2A}=\tan 4A\end{align*}}$
　　　　以下、帰納的に
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\tan (2^{n-1}\cdot A)\end{align*}}$
　　　　が得られる。

　　　　ａ_n+k＝ａ_n　すなわち　tan(２^n+k-1･Ａ)＝tan(２^n-1･Ａ)
　　　　tanｘの周期は$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、ｍを整数として
　　　　　　２^n+k-1･Ａ＝２^n-1･Ａ＋ｍ$\scriptsize\sf{\pi}$
　　　　と表せる。これに
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{\pi}{20}\end{align*}}$　　　　
　　　　を代入して整理すると、
　　　　　　　２^n-1(２^k－１)＝20ｍ
　　　　ｎ≧３より２^n-1は４の倍数であり、４と５は互いに素なので
　　　　２^k－１が５の倍数である必要があり、
　　　　そのような自然数ｋのうち最小のものは４である。
　　　　よって　ｋ＝４
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2018/10/15(月) 01:03:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2011

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2011九州大　理系数学４

第４問
　　
　　空間内の４点
　　　　　Ｏ(０，０，０)、Ａ(０，２，３)、Ｂ(１，０，３)、Ｃ(１，２，０)
　　を考える。このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) ４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃを満たす球面の中心Ｄの座標を求めよ。

　(２) ３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面に点Ｄから垂線を引き、交点をＦとする。
　　　線分ＤＦの長さを求めよ。

　(３) 四面体ＡＢＣＤの体積を求めよ。
　　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　(１)は問題ないでしょうが、(２)をうまく処理できたが勝負の分かれ目です。　

　　(１)
　　　　Ｄ(ｐ，ｑ，ｒ)とおくと、ＯＤ²＝ＡＤ²＝ＢＤ²＝ＣＤ²より、
　　　　ｐ²＋ｑ²＋ｒ²＝ｐ²＋(ｑ－２)²＋(ｒ－３)²＝(ｐ－１)²＋ｑ²＋(ｒ－３)²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｐ－１)²＋(ｑ－２)²＋ｒ²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　　４ｑ＋６ｒ－13＝２ｐ＋６ｒ－10＝２ｐ＋４ｑ－５＝０
　　　　連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q=1\ \ ,\ \ r=-\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　が得られる。よって、点Ｄの座標は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D \left(\frac{1}{2}\ \ ,\ \ 1\ \ ,\ \ -\frac{3}{2} \right)\end{align*}}$

　　(２)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=(1,-2,0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(1,0,-3)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AD}=\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　点Ｆは平面ＡＢＣ上にあるので、実数ｓ、ｔを用いて、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}=\sf s \overrightarrow{\sf AB}+\sf t \overrightarrow{\sf AC}=(\sf s+t,-2s,-3t)\end{align*}}$
　　　　と表せる。よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}=\overrightarrow{\sf AF}-\overrightarrow{\sf AD}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2},-2s+1,-3t+\frac{3}{2} \right)\end{align*}}$
　　　　ＤＦ⊥平面ＡＢＣなので、ＤＦ⊥ＡＢかつＤＦ⊥ＡＣ
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2}\right)-2\left(-2\sf s+1\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AC}=\left(\sf s+t-\frac{1}{2}\right)-3\left(-3\sf t+\frac{3}{2} \right)=0\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{20}{49}\ \ ,\ \ t=\frac{45}{98}\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DF}=\frac{3}{49}(6,3,2)\end{align*}}$
　　　　なので、その大きさは
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left| \overrightarrow{\sf DF} \right|=\frac{3}{49}\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\frac{3}{7}\end{align*}}$

　　(３)
　　　　ＤＦを高さと見なすと△ＡＢＣが底面になり、その面積は
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \bigtriangleup \sf ABC=\frac{1}{2} \sqrt{\left| \overrightarrow{\sf AB} \right|^2 \left| \overrightarrow{\sf AC} \right|^2\ -\ \left( \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} \right)^2}\end{align*}}$　　
　　　　で求められる。
　　　　ここに、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sg f \left| \overrightarrow{\sf AB} \right|^2=5\ ,\ \left| \overrightarrow{\sf AC} \right|^2=10\ ,\ \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} =1\end{align*}}$　　
　　　　を代入して計算すると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \bigtriangleup \sf ABC=\frac{7}{2}\end{align*}}$　　
　　　　よって、四面体の体積は
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{2}\times\frac{3}{7}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$　　
　　　　

　　　(２)の途中で汚い数値が出てきて、ちょっとイヤな感じでしたが、
　　　最後にはキレイになって一安心。　　
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2018/10/15(月) 01:04:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2011

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2011九州大　理系数学５

第５問
　　
　　１から４までの数字が１つずつ書かれた４枚のカードがある。
　　その４枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
　　　操作：１から４までの数字が書かれた４個の球が入っている
　　　　　　袋から同時に２個の球を取り出す。球に書かれた数字が
　　　　　　ｉとｊならば、ｉのカードとｊのカードを入れかえる。その後、
　　　　　　２個の球は袋に戻す。
　　初めにカードを左から順に１，２，３，４と並べ、上の操作を
　　ｎ回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。

　(１) ｎ＝２のとき、カードが左から順に１，２，３，４と並ぶ
　　　確率を求めよ。

　(２) ｎ＝２のとき、カードが左から順に４，３，２，１と並ぶ
　　　確率を求めよ。
　
　(３) ｎ＝２のとき、左端のカードの数字が１になる確率を求めよ。

　(４) ｎ＝３のとき、左端のカードの数字の期待値を求めよ。

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　厳密には漸化式を作って解くんでしょうが、ｎ＝２、３と値が小さいので
　　　　具体的にやっていきます。　

　　　　以下、１と２のカードを入れ換えることを(１，２)のように書くことにすると、
　　　　玉の取り出し方の総数は、
　　　　　(１，２)、(１，３)、(１，４)、(２，３)、(２，４)、(３，４)の６通りある。

　　(１)
　　　　１回目と２回目が同じカードの組み合わせが選ばれればよいので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\times\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$

　　(２)
　　　　１回目(１，４)、２回目(２，３)　または　１回目(２，３)、２回目(１，４)　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times2!=\frac{1}{18}\end{align*}}$

　　(３)
　　　　２回の移動のうち１のカードが何回移動したかによって場合分けする。
　　　　　① ２回とも１が移動しないとき
　　　　　　　２回とも(２，３)、(２，４)、(３，４)のいずれかであればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{9}{36}\end{align*}}$
　　　　　② １回目に１が移動し、２回目に左端に戻ってくるとき
　　　　　　　１回目は(１，２)、(１，３)、(１，４)のいずれかで、
　　　　　　　２回目は１回目と同じ入れ替えがおこればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{3}{36}\end{align*}}$
　　　　以上の合計は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{9}{36}+\frac{3}{36}=\frac{1}{3}\end{align*}}$

　　(４)
　　　　まずは、左端が１になる確率を求める。
　　　　(３)と同様に、１のカードが何回移動したかによって場合分けする。
　　　　　① ３回とも移動しないとき
　　　　　　　３回とも(２，３)、(２，４)、(３，４)のいずれかであればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{6}\times\frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{27}{216}\end{align*}}$
　　　　　② １が２回移動したとき
　　　　　　　(２，３)、(２，４)、(３，４)が１回あり、これは何回目の入れ換えであってもよい。
　　　　　　　残り２回は、(１，２)、(１，３)、(１，４)の中で２回とも同じものであればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{6}\times3\times\frac{3}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{27}{216}\end{align*}}$
　　　　　④ １、２回目に１左端以外の場所に移動し、３回目に１が左端に移動するとき
　　　　　　　１回目は(１，２)、(１，３)、(１，４)のいずれか、
　　　　　　　２回目は(１，２)、(１，３)、(１，４)のうちで１回目以外のもの、
　　　　　　　３回目は１回目と同じものであればよい。
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{6}\times\frac{2}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{6}{216}\end{align*}}$
　　　　よって、左端が１になる確率は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{27}{216}+\frac{27}{216}+\frac{6}{216}=\frac{5}{18}\end{align*}}$

　　　　次に、左端が２～４になる確率はすべて等しいので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-\frac{5}{18}\right)\times\frac{1}{3}=\frac{13}{54}\end{align*}}$

　　　　以上より、左端の数字の期待値は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1 \times \frac{5}{18} + 2 \times\frac{13}{54} + 3 \times \frac{13}{54} + 4 \times \frac{13}{54} = \frac{22}{9}\end{align*}}$
　　　　
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大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2011

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