第１問
ａを正の定数とし、ｘｙ平面上の曲線Ｃの方程式をｙ＝ｘ3－ａ2ｘとする。
(１) Ｃ上の点Ａ(ｔ，ｔ3－ａ2ｔ)におけるＣの接線をLとする。LとＣで囲まれた
図形の面積Ｓ(ｔ)を求めよ。ただし、ｔは０でないとする。
(２) ｂを定数とする。Ｃの接線のうちｘｙ平面上の点Ｂ(２ａ，ｂ)を通るものの
本数を求めよ。
(３) Ｃの接線のうち点Ｂ(２ａ，ｂ)を通るものが２本のみの場合を考え、それら
の接線をL1、L2とする。ただし、L1とL2はどちらも原点(０，０)を通らない
とする。L1とＣで囲まれた図形の面積をＳ1とし、L2とＣで囲まれた図形の
面積をＳ2とする。Ｓ1≧Ｓ2として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
導関数を求めると、
ｙ’＝３ｘ2－ａ2
となるので、Ａにおける接線Lの方程式は、
L：ｙ－(ｔ3－ａ2ｔ)＝(３ｔ2－ａ2)(ｘ－ｔ)
⇔ ｙ＝(３ｔ2－ａ2)ｘ－２ｔ3
ＣとLの交点を求めると、
ｘ3－ａ2ｘ＝(３ｔ2－ａ2)ｘ－２ｔ3
⇔ ｘ3－３ｔ2ｘ＋２ｔ3＝０
⇔ (ｘ－ｔ)2(ｘ＋２ｔ)＝０
⇔ ｘ＝ｔ，－２ｔ
(ⅱ)ｔ＞０のとき
－２ｔ＜ｔよりＣとLの位置関係は右図１のようになる。
囲まれる部分の面積Ｓ(ｔ)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\int_{-2t}^t\{x^3-a^2x-(3t^2-a^2)x+2t^3\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-2t}^t\ (x^3-3t^2x+2t^3)\ dx\end{align*}}$ ････(※)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}t^2x^2+2t^3x\right]_{-2t}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{27}{4}t^4\end{align*}}$
(ⅱ)ｔ＜０のとき
ｔ＜－２ｔよりＣとLの位置関係は右図２のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\int_t^{-2t}\{(3t^2-a^2)x-2t^3-(x^3-a^2x)\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_t^{-2t}\ (x-t)^2(x+2t)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-2t}^t\ (x-t)^2(x+2t)\ dx\end{align*}}$
となるので(※)と一致する。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\underline{\ \frac{27}{4}t^4\ \ }\end{align*}}$
(２)
接線L：ｙ＝(３ｔ2－ａ2)ｘ－２ｔ3 が点Ｂ(２ａ，ｂ)を通るので、
ｂ＝２ａ(３ｔ2－ａ2)－２ｔ3
⇔ ｂ＝－２ｔ3＋６ａｔ2－２ａ3 ････①
①の右辺をｆ(ｔ)とおくと、
ｆ’(ｔ)＝－６ｔ2＋12ａｔ
＝－６ｔ(ｔ－２ａ)
となるので、ｆ(ｔ)の増減表およびグラフは下の通り。
点Ｂを通る接線の本数は、①を満たすｔの値の個数に等しい。
すなわち、
ｙ＝ｆ(ｔ)のグラフと直線ｙ＝ｂとの交点の個数に等しいので、
－２ａ3＜ｂ＜６ａ3のとき３本
ｂ＝－２ａ3、ｂ＝６ａ3のとき２本
ｂ＜－２ａ3、６ａ3＜ｂのとき１本
(３)
(ア)ｂ＝－２ａ3のとき
① ⇔ －２ａ3＝－２ｔ3＋６ａｔ2－２ａ3
⇔ ２ｔ3－６ａｔ2＝２ｔ2(ｔ－３ａ)＝０
⇔ ｔ＝０，３ａ
ｔ＝０に対する接線はｙ＝－ａ2ｘ
であるが、これは原点を通るので不適
(イ)ｂ＝６ａ3のとき
① ⇔ ６3＝－２ｔ3＋６ａｔ2－２ａ3
⇔ ｔ3－３ａｔ2＋４ａ3＝(ｔ＋ａ)(ｔ－２ａ)2０
⇔ ｔ＝－ａ，２ａ
ｔ＝－ａに対応する接線はｙ＝２ａ2－２ａ3であり、
これとＣによって囲まれる図形の面積は、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (-a)=\frac{27}{4}a^4\end{align*}}$
一方、ｔ＝２ａに対応する接線はｙ＝11ａ2－16ａ3であり、
これとＣによって囲まれる図形の面積は、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (2a)=\frac{27}{4}\cdot(2a)^4\end{align*}}$
よって、Ｓ1≧Ｓ2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{27}{4}\cdot(2a)^4}{\frac{27}{4}a^4}=\underline{\ 16\ \ }\end{align*}}$
この問題は、とっつきやすいですね。
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第２問
ｆ0(ｘ)＝ｘｅｘとして、正の数ｎに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ _n\ (x)=\int_{-x}^x\ f\ _{n-1}\ (t)\ dt\ +\ f\ '_{n-1}\ (x)" align="middle\end{align*}}$
により実数ｘの関数 ｆｎ(ｘ)を定める。
(１) ｆ１(ｘ)を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_{-x}^x\ (at+b)\ e^t\ dt\end{align*}}$
とするとき、定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-c}^c\ g\ (x)\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
(３) 正の整数ｎに対して、ｆ2n(ｘ)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｆ0(ｘ)＝ｘｅｘより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ _1\ (x)=\int_{-x}^x\ t\ e^t\ (t)\ dt\ +\ (x\ e^x)'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ t\ e^t\ \right]_{-x}^x-\int_{-x}^x\ e^t\ dt\ +\ e^x+x\ e^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ e^x-(-x)\ e^{-x}-(e^x-\ e^{-x}) +\ e^x+x\ e^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2x\ e^x+(x+1)\ e^{-x}\ \ }\end{align*}}$
(２)
ｇ(ｘ)について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (-x)=\int_{x}^{-x}\ (at+b)\ e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-x}^{x}\ (at+b)\ e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-g\ (x)\end{align*}}$
となるので、ｇ(ｘ)は奇関数である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \int_{-c}^c\ g\ (x)\ dx=0\ \ }\end{align*}}$
(３)
ａｎ、ｂｎを実数の定数として、
ｆ2n(ｘ)＝(ａｎｘ＋ｂｎ)ｅｘ ･････(※)
の形で表されることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)ｎ＝０のとき
ｆ0(ｘ)＝ｘｅｘより、ａ0＝１、ｂ0＝０となりＯＫ
(ⅱ)ｎ＝ｍのとき(※)の形で表されると仮定すると、
ｆ2m(ｘ)＝(ａmｘ＋ｂm)ｅｘ ･････(※)’
このｆ2m(ｘ)に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g_{m} (x)=\int_{-x}^x\ f_{2m}\ (t)\ dt=\int_{-x}^x\ (a_mt+b_m)\ e^t\end{align*}}$
とおくと、仮定より
ｆ2m+1(ｘ)＝ｇm(ｘ)＋ｆ’2m(ｘ)
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ _{2m+2}\ (x)=\int_{-x}^x\ f\ _{2m+1}\ (t)\ dt\ +\ f\ '_{2m+1}\ (x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-x}^x\ \{\ g_m(t)+f\ '_{2m}\ (t)\ \}\ dt\ +\ \{\ g_m(x)+f\ '_{2m}\ (x)\ \}'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-x}^x\ g_m(t)\ dt+\int_{-x}^x\ f\ '_{2m}\ (t)\ dt\ +\ g\ '_m(x)\ +\ f\ ''_{2m}\ (x)\end{align*}}$ ･････①
ここで、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-x}^x\ g_m(t)\ dt=0\end{align*}}$ ････②
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-x}^x\ f\ '_{2m}\ (t)\ dt=\left[\ f\ _{2m}\ (t)\ \right]_{-x}^x=f\ _{2m}\ (x)\ -\ f\ _{2m}\ (-x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ _{2m}\ (x)\ -\ f\ _{2m}\ (-x)\end{align*}}$ ････③
であり、
ｆ2m(ｘ)の不定関数の１つをＦ2m(ｘ)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '_m\ (x)=\frac{d}{dx}\int_{-x}^x\ f\ _{2m}\ (t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{d}{dx}\left[\ F\ _{2m}\ (t)\ \right]_{-x}^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =F\ '_{2m}\ (x)\ -\ F\ '_{2m}\ (-x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ _{2m}\ (x)\ +\ f\ _{2m}\ (-x)\end{align*}}$ ･････④
よって、①に②～④を代入すると、
ｆ2m+2(ｘ)＝２ｆ2m(ｘ)＋ｆ"2m(ｘ) ････⑤
ここで、
ｆ’2m(ｘ)＝ａmｅｘ＋(ａmｘ＋ｂm)ｅｘ
＝(ａmｘ＋ａm＋ｂm)ｅｘ
ｆ”2m(ｘ)＝ａmｅｘ＋(ａmｘ＋ａm＋ｂm)ｅｘ
＝(ａmｘ＋２ａm＋ｂm)ｅｘ．
これを⑤に代入すると
ｆ2m+2(ｘ)＝２(ａmｘ＋ｂm)ｅｘ＋(ａmｘ＋ａm＋ｂm)ｅｘ
＝(３ａmｘ＋２ａm＋３ｂm)ｅｘ
となり、
ａm+1＝３ａm ･････⑥
ｂm+1＝２ａm＋３ｂm ･････⑦
と定めると、ｎ＝ｍ＋１のときも(※)の形で表せることになる。
よって、
すべての自然数ｎに対してｆ2n(ｘ)は(※)の形で表すことができる。
⑥より、数列{ａn}は、ａ０＝１、公比３の等比数列なので、
ａn＝３n ．
これを⑦に代入すると、
ｂn+1＝２･３n＋３ｂn
両辺を３n+1で割って、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{b_n}{3^n}+\frac{2}{3}\end{align*}}$
等差数列となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_n}{3^n}=\frac{2}{3}\ n\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n}=2n\cdot 3^{n-1}\end{align*}}$
以上より、
ｆ2n(ｘ)＝(３nｘ＋２ｎ･３n-1)ｅｘ
(３)の答案が長すぎましたね････
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第３問
ｎを２以上の整数とする。１からｎまでの整数が１つずつ書かれている
ｎ枚のカードがある。ただし、異なるカードには異なる整数が書かれて
いるものとする。このｎ枚のカードから、１枚のカードを無作為に取り出
して、書かれた整数を調べてからもとに戻す。この試行を３回繰り返し、
取り出したカードに書かれた整数の最小値をＸ、最大値をＹとする。
次の問に答えよ。ただし、ｊとｋは正の整数で、ｊ＋ｋ≦ｎを満たすものと
する。また、ｓはｎ－１以下の正の整数とする。
(１) Ｘ≧ｊ かつ Ｙ≦ｊ＋ｋとなる確率を求めよ。
(２) Ｘ＝ｊ かつ Ｙ＝ｊ＋ｋとなる確率を求めよ。
(３) Ｙ－Ｘ＝ｓとなる確率をＰ(ｓ)とする。Ｐ(ｓ)を求めよ。
(４) ｎが偶数のとき、Ｐ(ｓ)を最大にするｓを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
３回ともｊ以上 ｊ＋ｋ以下のカードを取り出せばよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{(j+k)-j+1}{n}\right)^3=\underline{\ \left(\frac{k+1}{n}\right)^3 \ \ }\end{align*}}$
(２)
(ア)ｊのカードを２回、ｊ＋ｋのカードを１回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}\cdot 3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
(イ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを２回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot3=\frac{3}{n^3}\end{align*}}$
(ウ)ｊのカードを１回、ｊ＋ｋのカードを１回、
ｊ＋１以上ｊ＋ｋ－１以下のカードを１回取り出す場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot\frac{k-1}{n}\cdot3\ !=\frac{6(k-1)}{n^3}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{n^3}+\frac{3}{n^3}+\frac{6(k-1)}{n^3}=\underline{\ \frac{6k}{n^3}\ \ }\end{align*}}$
(３)
最小値をＸ＝ｊとすると、Ｘ－Ｙ＝ｓ（＞０）より
最大値はＹ＝ｊ＋ｓとなる。
よって、
１≦ｊ＜ｊ＋ｓ≦ｎ ⇔ １≦ｊ≦ｎ－ｓ
これと(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (s)=\sum_{j=1}^{n-s}\ \frac{6s}{n^3}=\underline{\ \frac{6s(n-s)}{n^3}\ \ }\end{align*}}$
(４)
実数ｘについての関数Ｐ(ｘ)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=\frac{6x(n-x)}{n^3}\end{align*}}$
と定義すると、右辺を平方完成することにより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (x)=-\frac{6}{n^3}\left(x-\frac{n}{2}\right)^2+\frac{3}{2n}\end{align*}}$
のように変形できる。
ここで、ｎは偶数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ は整数である。
よって、Ｐ(ｓ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{n}{2}\ \ }\end{align*}}$
のときに最大となる。
これは文型と共通問題なので、さほど難しくないですね。
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第４問
ｍ、ｐを３以上の奇数とし、ｍはｐで割り切れないとする。
(１) (ｘ－１)101の展開式におけるｘ2の係数を求めよ。
(２) (ｐ－１)ｍ＋１はｐで割り切れることを示せ。
(３) (ｐ－１)ｍ＋１はｐ2で割り切れないことを示せ。
(４) ｒを正の整数とし、ｓ＝３r-1ｍとする。２s＋１は３rで割り切れることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x-1)^{101}=\sum_{k=0}^{101}\ _{101}C_k \cdot x^k\cdot(-1)^{101-k}\end{align*}}$
ｋ＝２の項を考えると、
101Ｃ2･ｘ2･(－１)99＝－5050ｘ2
となるので、ｘ2の係数は －5050
(２)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p-1)^m+1=\left(\sum_{k=0}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^k\cdot(-1)^{m-k}\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sum_{k=1}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^k\cdot(-1)^{m-k}\right)+_m C_0\cdot p^0\cdot(-1)^m+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p\left(\sum_{k=1}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^{k-1}\cdot(-1)^{m-k}\right)+(-1)^m+1\end{align*}}$
ここで、ｍは奇数なので、(－１)m＝－１．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p-1)^m+1=p\left(\sum_{k=1}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^{k-1}\cdot(-1)^{m-k}\right)\end{align*}}$
となり、mＣkは整数なので、
(ｐ－１)ｍ＋１はｐで割り切れる。
(３)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p-1)^m+1=\left(\sum_{k=0}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^k\cdot(-1)^{m-k}\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sum_{k=2}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^k\cdot(-1)^{m-k}\right)+_m C_1\cdot p\cdot(-1)^{m-1}+_m C_0\cdot p^0\cdot(-1)^m+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^2\left(\sum_{k=2}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^{k-2}\cdot(-1)^{m-k}\right)+(-1)^{m-1}mp+(-1)^m+1\end{align*}}$
ここで、ｍは奇数なので、(－１)m-1＝１、(－１)m＝－１．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p-1)^m+1=p^2\left(\sum_{k=2}^{m}\ _{m}C_k \cdot p^{k-2}\cdot(-1)^{m-k}\right)+mp\end{align*}}$
となり、ｍはｐで割り切れないので、
(ｐ－１)ｍ＋１はｐ2で割り切れない。
(４)
ｓはｒについての関数とみなせるので、
ｓ＝ｆ(ｒ)＝３r-1ｍ
とおく。
「このｆ(ｒ)に対して、２ｆ(ｒ)＋１が３rで割り切れる」･････(※)
このことをｒについての数学的帰納法を用いて示す。
(ⅰ)ｒ＝１のとき
ｆ(１)＝３０ｍ＝ｍに対して、
２ｆ(1)＋１＝２ｍ＋１
＝(３－１)ｍ＋１
(２)より、これは３で割り切れるので、ｒ＝１のときは成立。
(ⅱ)ｒ＝ｋのとき(※)が成立すると仮定すると、
ｆ(ｋ)＝３k-1ｍ に対して、
２ｆ(ｋ)＋１＝３ｋＭ ････①
となる整数Ｍが存在する。
ｒ＝ｋ＋１のとき、
ｆ(ｋ＋１)＝３ｋｍ
＝３･３k-1ｍ
＝３ｆ(ｋ)
なので、
２ｆ(k+1)＋１＝２３ｆ(ｋ)＋１
＝{２ｆ(ｋ)}3＋１
＝(３ｋＭ－１)3＋１ ←①より
＝３3kＭ3－３･３2kＭ2＋３･３ｋＭ－１＋１
＝３k+1(３2k-1Ｍ3－３kＭ2＋Ｍ)
( )内は整数なので、２ｆ(k+1)＋１は３k+1で割り切れる。
よって、ｒ＝ｋ＋１のときも(※)を満たすので、
任意の自然数ｒに対して、２s＋１は３rで割り切れる。
(３)は帰納法に気づくでしょうか？
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