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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012名古屋大 理系数学1




第1問

  aを正の定数とし、xy平面上の曲線Cの方程式をy=x3-a2xとする。

 (1) C上の点A(t,t3-a2t)におけるCの接線をLとする。LとCで囲まれた
    図形の面積S(t)を求めよ。ただし、tは0でないとする。

 (2) bを定数とする。Cの接線のうちxy平面上の点B(2a,b)を通るものの
    本数を求めよ。

 (3) Cの接線のうち点B(2a,b)を通るものが2本のみの場合を考え、それら
    の接線をL1、L2とする。ただし、L1とL2はどちらも原点(0,0)を通らない
    とする。L1とCで囲まれた図形の面積をS1とし、L2とCで囲まれた図形の
    面積をS2とする。S1≧S2として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。

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2012名古屋大 理系数学2



第2問

  f0(x)=xeとして、正の数nに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ _n\ (x)=\int_{-x}^x\ f\ _{n-1}\ (t)\ dt\ +\ f\ '_{n-1}\ (x)" align="middle\end{align*}}$
  により実数xの関数 f(x)を定める。

 (1) f(x)を求めよ。

 (2)     $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_{-x}^x\ (at+b)\ e^t\ dt\end{align*}}$
    とするとき、定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-c}^c\ g\ (x)\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (3) 正の整数nに対して、f2n(x)を求めよ。



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2012名古屋大 理系数学3





第3問

  nを2以上の整数とする。1からnまでの整数が1つずつ書かれている
  n枚のカードがある。ただし、異なるカードには異なる整数が書かれて
  いるものとする。このn枚のカードから、1枚のカードを無作為に取り出
  して、書かれた整数を調べてからもとに戻す。この試行を3回繰り返し、
  取り出したカードに書かれた整数の最小値をX、最大値をYとする。
  次の問に答えよ。ただし、jとkは正の整数で、j+k≦nを満たすものと
  する。また、sはn-1以下の正の整数とする。

 (1) X≧j かつ Y≦j+kとなる確率を求めよ。

 (2) X=j かつ Y=j+kとなる確率を求めよ。

 (3) Y-X=sとなる確率をP(s)とする。P(s)を求めよ。

 (4) nが偶数のとき、P(s)を最大にするsを求めよ。



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2012名古屋大 理系数学4






第4問

  m、pを3以上の奇数とし、mはpで割り切れないとする。

 (1) (x-1)101の展開式におけるx2の係数を求めよ。

 (2) (p-1)+1はpで割り切れることを示せ。

 (3) (p-1)+1はp2で割り切れないことを示せ。

 (4) rを正の整数とし、s=3r-1mとする。2s+1は3rで割り切れることを示せ。




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