青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関東の大学　.東京大　文系　2012

2012東京大　文系数学１

第1問

　　座標平面上の点(x，y)が次の方程式を満たす。
　　　　　　2x²+4xy+3y²+4x+5y－4=0
　　このとき、xのとりうる最大値の値を求めよ。

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2012東京大　文系数学２

第2問

　　実数ｔは0＜ｔ＜1を満たすとし、座標平面上の4点Ｏ(0，0)、
　　A(0，1)、B(1，0)、C(ｔ，0)を考える。また、線分AB上の
　　点Dを∠ACＯ=∠BCDとなるように定める。
　　ｔを動かしたときの三角形ACDの面積の最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　ACの方程式は、
　　　　　　AC：y=－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ x+1
　　　DCは直線x=ｔに関してACと対称なので、
　　　傾きは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ であり、点C(ｔ，0)を通るので、
　　　　　　DC：y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ (x－ｔ) ．
　　　これとAB：y=－x+1を連立させて解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2t}{t+1}\ \ ,\ \ y=\frac{-t+1}{t+1}\end{align*}}$
　　　となり、点Dの座標は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{2t}{t+1}\ ,\ \frac{-t+1}{t+1}\right)\end{align*}}$ ．
　　　
　　　点Cを通りy軸に平行な直線とABとの交点をEとすると、
　　　　　　E(ｔ，－ｔ+1)

　　　よって、△ACDの面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle ACE+\triangle DCE\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot(-t+1)\cdot\frac{2t}{t+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-t^2+t}{t+1}\end{align*}}$
　　　ここで、－ｔ²+ｔをｔ+1で割ったときの商は－ｔ+2、余りは－2なので、
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-t+2-\frac{2}{t+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left((t+1)+\frac{2}{t+1}\right)+3\end{align*}}$
　　　と変形できる。

　　　一方、ｔ+1＞0なので相加･相乗平均の関係より、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (t+1)+\frac{2}{t+1}\geqq 2\sqrt{(t+1)\cdot\frac{2}{t+1}}=2\sqrt2\end{align*}}$
　　　等号成立は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t+1=\frac{2}{t+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt2-1\ \ (\because 0\lt t<1)\end{align*}}$

　　　よって、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\leqq 3-2\sqrt2\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　ｔ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$－1のとき、Sは最大値 3－2$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をとる。

　　東大にしては簡単な方じゃないでしょうか。　　

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2012東京大　文系数学３

第3問

　　図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P、Qを定める。
　　1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまる
　　ことなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がｎ秒後に
　　部屋Qにある確率を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　右図のように9つの部屋にA～C、P～R、X～Zと名前をつけ、
　白と黒に色分けする。

　また、ｎ秒後に球が部屋P、Q、Rにある確率を
　それぞれp_n、q_n、r_nとする。

　1回移動するごとに、部屋の色が白→黒→白→････
　と入れかわっていくので、Pから出発した球は、
　　　　奇数秒後には白色の部屋
　　　　偶数秒後には黒色の部屋
　にあるので、ｎが奇数のときは
　　　　q_n=0　

　以下はｎが偶数のときのみを考え、ｎ=2ｍ（ｍ：0以上の整数）とおく。
　2ｍ秒後から2ｍ+2秒後までの球の移動のうちで、
　2ｍ+2秒後に球がQにくるような移動をすべて書きあげると、
　　　　Q→C→Q
　　　　Q→Y→Q
　　　　Q→Z→Q
　　　　P→Y→Q
　　　　R→Z→Q
　の5パターン。
　ここで、
　　　　Q→C、　Q→Y、　Q→Z、　P→Y、　R→Z　と移動する確率はそれぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　Y→Q、　Z→Q　と移動する確率はそれぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　C→Q　と移動する確率は1
　なので、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{2m+2}=\left(\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times2\right)\ q_{2m}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\ p_{2m}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\ r_{2m}\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\ q_{2m}+\frac{1}{6}\ p_{2m}+\frac{1}{6}\ r_{2m}\end{align*}}$
　となる。

　2ｍ秒後には必ずP、Q、Rのいずれかにあるので、
　　　　p_2m+q_2m+r_2m=1
　であり、これを代入すると、
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{2m+2}=\frac{2}{3}\ q_{2m}+\frac{1}{6}\ (1-q_{2m}-r_{2m})+\frac{1}{6}\ r_{2m}\end{align*}}$
　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_{2m+2}=\frac{1}{2}\ q_{2m}+\frac{1}{6}\end{align*}}$　．
　この式は、
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ q_{2m+2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\left( q_{2m}-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$　
　と変形できる。
　ここで、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_m=q_{2m}-\frac{1}{3}\end{align*}}$　
　とおくと、数列{x_m}は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列となり、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_0=q_0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\end{align*}}$　
　なので、{x_m}の一般項は、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_m=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^m\end{align*}}$　
　となる。よって、　　　　
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{2m}=x_m+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^m\end{align*}}$　
　

　以上より、
　　　ｎが偶数のとき、
　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\ \ }\end{align*}}$　
　　　ｎが奇数のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_n=0\ \ }\end{align*}}$

　　漸化式さえ作ってしまえば、あとは計算だけです！
　　理系と共通問題ですが、これぐらいならば文系の生徒でも解けるんじゃないでしょうか。　　

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2012東京大　文系数学４

第4問

　　座標平面上の放物線Cをy=x²+1で定める。s、ｔは実数とし
　　ｔ＜0を満たすとする。点(s，ｔ)から放物線Cへ引いた接線を
　　L₁、L₂とする。

　(1) L₁、L₂の方程式を求めよ。

　(2) aを正の実数とする。放物線Cと直線L₁、L₂で囲まれる領域
　　　の面積がaとなる(s，ｔ)を全て求めよ

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　C：y=x²+1の導関数は
　　　　　　　y’=2x
　　　なので、C上の点P(p，p²+1)における接線の方程式は、
　　　　　　　y－(p²+1)=2p(x－p)　
　　　　　⇔　y=2px－p²+1．　････①
　　　これが点(s，ｔ)を通るので、
　　　　　　　ｔ=2ps－p²+1　⇔　p²－2sp+ｔ－1=0
　　　Pについて解くと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=s\pm\sqrt{s^2-t+1}\end{align*}}$ ････②
　　　となり、これを①に代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=2\left(s\pm\sqrt{s^2-t+1}\right)x-\left(s\pm\sqrt{s^2-t+1}\right)^2+1\ \ }\end{align*}}$　　（複号同順）
　　　これらが、求める2接線L₁、L₂の方程式である。

　(2)
　　　②の値をp₁、p₂ （p₁＜p₂）とすると、
　　　L₁、L₂の方程式はそれぞれ、
　　　　　L₁： y=2p₁x－p₁²+1
　　　　　L₂： y=2p₂x－p₂²+1

　　　C、L₁、L₂で囲まれる領域の面積Sは、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{p_1}^{s}\{(x^2+1)-(2p_1x-p_1^{\ 2}+1)\} dx+\int_{s}^{p_2}\{(x^2+1)-(2p_2x-p_2^{\ 2}+1)\} dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{p_1}^{s}(x-p_1)^2\ dx+\int_{s}^{p_2}(x-p_2)^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}(x-p_1)^3\right]_{p_1}^{s}+\left[\frac{1}{3}(x-p_2)^3\right]_{s}^{p_2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}(s-p_1)^3-\frac{1}{3}(s-p_2)^3\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\end{align*}}$　　←②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\end{align*}}$　　

　　　ここで、S=aなので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2}{3}\left(\sqrt{s^2-t+1}\right)^3\ \ \Leftrightarrow\ \ s^2-t+1=\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=s^2+1-\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
　　　よって、S=aとなる点(s，ｔ)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=s^2+1-\left(\frac{3}{2}\ a\right)^{\frac{2}{3}}\ \ (t<0)\ \ }\end{align*}}$
　　　を満たす点である。

　　これも東大にしちゃあ簡単だと思いますよ。　　

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