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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東京大 理系数学1



第1問

  次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+(y-1)^2\leqq 1\ \ ,\ \ x\geqq\frac{\sqrt2}{3}\end{align*}}$
  直線mは原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。
  その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、
  x軸とmのなす角$\small\sf{\begin{align*}\sf \theta\ \ \left(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ の余弦cos$\small\sf{\theta}$ を求めよ。



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2012東京大 理系数学2



第2問

  図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P、Qを定める。
  1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまる
  ことなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に
  部屋Qにある確率を求めよ。

                    図01
解答はこちら↓

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2012東京大 理系数学3



第3問

  座標平面上で2つの不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y\geqq\frac{1}{2}\ x^2\ \ ,\ \ \frac{x^2}{4}+4y^2\leqq\frac{1}{8}\end{align*}}$
  によって定まる領域をSとする。Sをx軸のまわりに回転してできる
  立体の体積をV1とし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積を
  V2とする。

 (1) V1とV2の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{V_2}{V_1}\end{align*}}$ の値と1の大小を比較せよ。



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2012東京大 理系数学4



第4問

  nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数を
  n乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

 (1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。

 (2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。




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2012東京大 理系数学5



第5問

  行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ が次の条件(D)を満たすとする。

  (D) Aの成分a、b、c、dは整数である。また、平面上の4点
     (0,0)、(a,b)、(a+c,b+d)、(c,d)は、面積1の
     平行四辺形の4つの頂点をなす。

  $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 行列BAとB-1Aも条件(D)を満たすことを示せ。

 (2) c=0ならば、AにB、B-1のどちらを左から次々にかけること
    により、4個の行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 &\sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 0 \\ \sf &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0 \\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf -1&\sf 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    のどれかにできることを示せ。

 (3) |a|≧|c|>0とする。BA、B-1Aの少なくともどちらか一方は、
    それを $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x&\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}\end{align*}}$ とすると
        |x|+|z|<|a|+|c|
    を満たすことを示せ。


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2012東京大 理系数学6



第6問

  2×2行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf  P=\begin{pmatrix}\sf p&\sf q\\ \sf r &\sf s\end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、
       Tr(P)=p+s
  と定める。
  a、b、cはa≧b>0、 0≦c≦1を満たす実数とする。行列A、B、C、Dを
  次で定める。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf  A=\begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0 &\sf b\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf b &\sf 0\\ \sf 0 &\sf a\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix}\sf a^c&\sf 0\\ \sf 0 &\sf b^c\end{pmatrix}\ \ ,\ \ D=\begin{pmatrix}\sf b^{1-c} &\sf 0\\ \sf 0 &\sf a^{1-c}\end{pmatrix}\end{align*}}$
  また実数xに対し
      $\small\sf{\begin{align*} \sf  U=\begin{pmatrix}\sf \cos x&\sf -\sin x\\ \sf\sin x &\cos x\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) 各実数tに対して、xの関数
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=Tr\Bigg(\left(U(t)\ A\ U(-t)-B\right)\ U(x)\ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0&\sf -1\end{pmatrix}\ U(-x)\Bigg)\end{align*}}$
    の最大値m(t)を求めよ。ただし、最大値をとるxを求める必要はない。

 (2) すべての実数tに対し
      2Tr(U(t)CU(-t)D)≧Tr(U(t)AU(-t)+B)-m(t)
    が成り立つことを示せ。


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