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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012筑波大 数学1



第1問

  xの方程式|log10x|=px+q (p、qは実数)が3つの相異なる
  正の解をもち、次の2つの条件を満たすとする。

     (Ⅰ) 3つの解の比は、1:2:3である。
     (Ⅱ) 3つの解のうち最小のものは $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ より大きく、1より小さい。

  このとき、A=log102、 B=log103とおき、pとqをAとBを用いて
  表せ。


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  1. 2018/11/05(月) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2012
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2012筑波大 数学2



第2問

  曲線
      $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{x+2}\ (x>-2)\end{align*}}$
  を考える。曲線C上の点P1(0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ )における接線をL1とし、L1
  x軸との交点をQ1、点Q1を通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの
  交点をP2とおく。以下同様に、自然数n(n≧2)に対して、点Pn
  における接線をLnとし、Lnとx軸との交点をQn、点Qを通りx軸と
  垂直な直線と曲線Cとの交点をPn+1とおく。


 (1) L1の方程式を求めよ。

 (2) Pnのx座標をxn(n≧1)とする。xn+1をxnを用いて表し、
    xnをnを用いて表せ。

 (3) Ln、x軸、y軸で囲まれる三角形の面積Snを求め、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$
    を求めよ。



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2012筑波大 数学3




第3問

  曲線C:y=logx (x>0)を考える。自然数nに対して、曲線C上に
  点P(en,n)、 Q(e2n,2n)をとり、x軸上にA(en,0)、 B(e2n,0)
  をとる。四角形APQBをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積
  をV(n)とする。また、線分PQと曲線Cで囲まれる部分をx軸の周りに
  1回転させてできる立体の体積をS(n)とする。


 (1) V(n)をnの式で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S\ (n)}{V\ (n)}\end{align*}}$ を求めよ。




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2012筑波大 数学4



第4問

  四面体OABCにおいて、次が満たされている。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
  点A、B、Cを通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。点Oを通り平面$\small\sf{\alpha}$ と直交する直線と、
  平面$\small\sf{\alpha}$ との交点をHとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ は垂直であることを示せ。

 (2) 点Hは△ABCの垂心であること、すなわち
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\bot\overrightarrow{\sf BC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BH}\bot\overrightarrow{\sf CA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CA}\bot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf OA}\ |=|\ \overrightarrow{\sf OB}\ |=|\ \overrightarrow{\sf OC}\ |=2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\end{align*}}$
    とする。このとき、△ABCの各辺の長さおよび線分OHの長さを求めよ。



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2012筑波大 数学5



第5問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 座標平面において原点の周りに角$\small\sf{\theta\ (0\lt\theta\lt\pi)}$ だけ回転する移動を
    表す行列をAとする。Aが等式$\small{\sf A^2-A+E=O}$ を満たすとき、$\small\sf{\theta}$ とAを求めよ。
    ただし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
    である。

 (2) 直線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt3 x\end{align*}}$ に関する対称移動を表す行列Bを求めよ。

 (3) 直線y=kxに関する対称移動を表す行列をCとする。(1)、(2)において
    求めた行列A、Bに対してBC=Aが成り立つとき、kを求めよ。



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2012筑波大 数学6




第6問

  2つの双曲線C:x2-y2=1、 H:x2-y2=-1を考える。
  双曲線H上の点P(s、t)に対して、方程式sx-ty=1で定まる
  直線をLとする。

 (1) 直線Lは点Pを通らないことを示せ。

 (2) 直線Lと双曲線Cは異なる2点Q、Rで交わることを示し、
    △PQRの重心Gの座標をs、tを用いて表せ。

 (3) (2)における3点G、Q、Rに対して、△GQRの面積は
    点P(s,t)の位置によらす一定であることを示せ。




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