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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東京医科歯科大 数学1(1)(2)



第1問

  数列{an}、{bn}を次のように定義する。
       a1=5、 b1=3
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\begin{pmatrix}\sf 5 &\sf 3 \\ \sf 3 &\sf 5 \end{pmatrix}\binom{a_n}{b_n}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  また、自然数nについて、cn=an2-bn2とおく。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) cnをnを用いて表せ。

 (2) kを自然数とするとき、自然数Lについて、
       ak+L=akL+bkL
       bk+L=bkL+akL
    が成り立つことを、Lに関する数学的帰納法によって示せ。

 (3) n>Lとなる自然数n、Lについて、
       bk+L-cLn-L=2anL
    が成り立つことを示せ。

 (4) 2以上の自然数nについて、   
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}\ c_{n-m}\ a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2}\end{align*}}$
    が成立することを示せ。




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2012東京医科歯科大 数学2



第2問

  a2+b2=1を満たす正の実数a、bの組(a,b)の全体をSとする。
  Sに含まれる(a,b)に対し、xya空間内に3点P(a,b,b)、
  Q(-a,b、b)、R(0,0,b)をとる。また原点をOとする。このとき
  以下の各問いに答えよ。

 (1) 三角形OPQをx軸のまわりに1回転してできる立体をF1とする。
    (a,b)がSの中を動くとき、F1の体積の最大値を求めよ。

 (2) 三角形PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体をF2とする。
           $\small\sf{\begin{align*} \sf a=b=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
    のとき、F2のxy平面による切り口の周をxy平面上に図示せよ。

 (3) 三角形OPRをx軸のまわりに1回転してできる立体をF3とする。
    (a,b)がSの中を動くとき、F3の体積の最大値を求めよ。




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2012東京医科歯科大 数学3



第3問

  関数f(x)=x3-x2+xについて、以下の各問いに答えよ。

 (1) f(x)はつねに増加する関数であることを示せ。

 (2) f(x)の逆関数をg(x)とおく。x>0について、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]{\sf x}-1<\lt g (x)<\sqrt[3]{\sf x}+1\end{align*}}$
    が成立することを示せ。

 (3) b>a>0について
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_a^b\frac{1}{x^2+1}\ dx\ <\ \frac{1}{a}\end{align*}}$
    が成立することを示せ。

 (4) 自然数nについて、(2)で定義されたg(x)を用いて
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A_n=\int_n^{2n}\frac{1}{\{g\ (x)\}^3+g\ (x)}\ dx\end{align*}}$
    とおくとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ A_n\end{align*}}$ を求めよ。




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