第１問
(１) 辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD、
辺OCの中点をEとする。2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の内積を求めよ。
(２) 1から6までの目がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ の確率で出るさいころを同時に3個
投げると、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
正四面体OABCの一辺は1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････②
D、Eはそれぞれ辺AB、OCの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\frac{\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(\overrightarrow{\sf OE}-\overrightarrow{\sf OD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\sf OC}|^2-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+|\overrightarrow{\sf OA}|^2-\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
これに①、②を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf DE}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(２)
目の積が10の倍数になるためには、
5の目が少なくとも1回出て、偶数の目が少なくとも1回出ればよい。
(ⅰ)5の目が2回、偶数の目が1回出る場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\frac{3}{6}\cdot_3C_2=\frac{9}{216}\end{align*}}$
(ⅱ)5の目が1回、偶数の目が1回、５以外の奇数が1回出る場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot3!=\frac{36}{216}\end{align*}}$
(ⅲ)５の目が1回、偶数の目が2回出る場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^2\cdot_3C_1=\frac{27}{216}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{216}+\frac{36}{216}+\frac{27}{216}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
今年度から登場した小問集合。
といってもこれは簡単ですよね。
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第２問
(１) log10 3=0.4771として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=0}^{99}\ 3^n\end{align*}}$ の桁数を求めよ。
(２) 実数ａに対して、aを越えない最大の整数を [a]で表す。
10000以下の正の整数nで、$\small\sf{\begin{align*} \sf [\ \sqrt n\ ]\end{align*}}$ がnの約数となるものは
何個あるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sum_{n=0}^{99}\ 3^n\end{align*}}$
とおくと、Sは、初項1、公比3、項数100の等比数列の和を表すので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{3^{100}-1}{3-1}=\frac{3^{100}-1}{2}\end{align*}}$ ．
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}\frac{3^{100}}{2}=100\log_{10}3-\log _{10}2=47.71-\log_{10}2\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1<2<\sqrt{10}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\log_{10}2<0.5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 47.21<\log_{10}\frac{3^{100}}{2}<48\end{align*}}$ ．
底は1より大きいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 10^{47}<10^{47}+1\leqq10^{47.21}<\frac{3^{100}}{2}<10^{48}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{47}<\frac{3^{100}}{2}-\frac{1}{2}<10^{48}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{47}\lt S<10^{48}\end{align*}}$
よって、Sは48桁の数である。
(２)
ｍを整数として、
[$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt n\end{align*}}$ ]=m
とおくと、
m≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt n\end{align*}}$ ＜m+1
⇔ m2≦n＜(m+1)2
⇔ m2≦n≦m2+2m．
この範囲にあるmの倍数は、
m2、 m2+m、 m2+2m
の3つ。
一方、
1≦n≦10000 ⇔ 1≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt n\end{align*}}$ ≦100
⇔ 1≦m≦100
であり、mの倍数となるようなnの個数は、
1≦m≦99のときは、それぞれ3個ずつ
m=100のときは1個
あるので、その合計は、
99×３+1=298個
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第３問
3次関数y=x3－3x2+2xのグラフをC、直線y=axをLとする。
(１) CとLが原点以外の共有点をもつような実数aの値の範囲を求めよ。
(２) aが(１)で求めた範囲内にあるとき、CとLによって囲まれる部分の
面積をS(a)とする。S(a)が最小となるaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させて、
x3－3x2+2x=ax
⇔ x(x2－3x+2－a)=0．
CとLが原点以外の共有点をもつためには、方程式
x2－3x+2－a=0 ････①
が、0と異なる実数解を１つでももてばよい。
①は0を重解にもつことはないので、判別式を考えると、
D=32－4(2－a)≧0．
これを解くと、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a\geqq-\frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
(２)
(１)の条件を満たすとき、①の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3\pm\sqrt{4a+1}}{2}\end{align*}}$
となり、これらをp、q （p＜q）とすると、
p2－3p+2－a=0
q2－3q+2－a=0 ････②
また、解と係数の関係より
p+q=3 ⇔ q＝3－p ････③
一方、
f(x)=x3－3x2+2x
とおくと、導関数および、x=0における微分係数は、
f’(x)=3x2－6x+2
f’(0)=2
となるので、a=2のとき、CとLは接する。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$ ≦ａ≦２のとき
CとLの位置関係は、右図1のようになるので、
囲まれる部分の面積S(a)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^p\ \left(f\ (x)-ax\right)\ dx+\int_p^q\ \left(ax-f\ (x)\right)\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、ｆ(x)－axの不定関数のうち
定数項が0のものをF(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=\frac{1}{4}\left(x^4-4x^3+(4-2a)x^2\right)\end{align*}}$
であり、
F(0)=0．
また、F(x)を①の左辺で割ることにより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=\frac{1}{4}(x^2-3x+2-a)(x^2-x-a-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\{(4a+1)x+(a+1)(a-2)\}\end{align*}}$
と変形できるので、これと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (p)=-\frac{1}{4}\{(4a+1)p+(a+1)(a-2)\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (q)=-\frac{1}{4}\{(4a+1)q+(a+1)(a-2)\}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\left[\ F\ (x)\ \right]_0^p-\left[\ F\ (x)\ \right]_p^q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2F\ (p)-F\ (q)-F\ (0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\{(4a+1)p+(a+1)(a-2)\}+\frac{1}{4}\{(4a+1)q+(a+1)(a-2)\}\end{align*}}$
となり、これに③およびｐの値を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\frac{3}{8}\ (4a+1)\left(\sqrt{4a+1}-1\right)-\frac{1}{4}\ (a^2-a-2)\end{align*}}$ ．
これをａで微分して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(a)=\frac{1}{4}\left(9\sqrt{4a+1}-2a-5\right)\end{align*}}$ ．
S’(a)=0となるのは、2a+5＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9\sqrt{4a+1}=2a+5\ \ \Leftrightarrow\ \ 81(4a+1)=(2a+5)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \Leftrightarrow\ \ a=38\pm27\sqrt2\end{align*}}$
このうち、(ⅰ)の範囲を満たすものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=38-27\sqrt2\end{align*}}$
である。
(ⅱ) 2＜aのとき
CとLの位置関係は、右図2のようになるので、
囲まれる部分の面積S(a)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_p^0\ \left(f\ (x)-ax\right)\ dx+\int_0^q\ \left(ax-f\ (x)\right)\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
(ⅰ)と同様、F(x)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=2F\ (0)-F\ (p)-F\ (q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\{(4a+1)(p+q)+(a+1)(a-2)\}\end{align*}}$
これに③を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}a-\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
aで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S '(a)=a+\frac{5}{2}\ >0\ \ \ (\because 2\lt a)\end{align*}}$ ．
以上より、S(a)についての増減表を書くと、下の通り。
よって、S(a)が最小になるときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=38-27\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
(２)の計算がイヤになりますね＾＾；；；
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第５問
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で定まる１次変換をｆとする。原点O(0，0)と異なる
任意の2点P、Qに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{OP'}{OP}=\frac{OQ'}{OQ}\end{align*}}$
が成り立つ。ただし、P’、Q’はそれぞれP、Qのｆによる像を表す。
(１) a2+c2=b2+d2を示せ。
(２) 1次変換ｆにより、点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\sqrt3\right)\end{align*}}$ が点(－4，0)に移るとき、Aを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点X(x，y)のｆによる像X’は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{ax+by}{cx+dy}\end{align*}}$ ････(ア)
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{OX'}{OX}\right)^2=\frac{(ax+by)^2+(cx+dy)^2}{x^2+y^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(a^2+c^2)x^2+(b^2+d^2)y^2+2(ab+cd)xy}{x^2+y^2}\end{align*}}$ ･････(イ)
(１)
任意のP、Qに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{OP'}{OP}=\frac{OQ'}{OQ}\end{align*}}$ ･････(ウ)
が成り立つので、
P(1，0)、Q(0，1)とすると、(イ)より
a2+c2=b2+d2 ････①
(２)
(ウ)は、P(1，1)、Q(1，－1)に対しても成り立つので、
(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2+c^2+b^2+d^2+2(ab+cd)}{2}=\frac{a^2+c^2+b^2+d^2-2(ab+cd)}{2}\end{align*}}$
これと①より
ab+cd=0 ････②
逆に、①、②が成り立つとき(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{OP'}{OQ}=\frac{OQ'}{OQ}=\sqrt{2(a^2+c^2)}\end{align*}}$
が成り立つ。
よって、
任意のP、Qに対して(ウ)が成立するための必要十分条件は、
①かつ②である。
一方、点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\sqrt3\right)\end{align*}}$ が点(－4，0)に移るので(ア)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\sqrt3 b=-4\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-4-4\sqrt3 b\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c+\sqrt3\ d=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c=-\sqrt3\ d\end{align*}}$ ････④
③、④を①および②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-4-\sqrt3\ b\right)^2+3d^2=b^2+d^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d^2=-b^2-4\sqrt3\ b-8\end{align*}}$ ････⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-4-\sqrt3\ b\right)ｂ-\sqrt3\ d^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt3\ d^2=- \sqrt3\ b^2-4b\end{align*}}$ ････⑥
⑤、⑥からd2を消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ (-b^2-4 \sqrt3\ b-8)=-\sqrt3\ b^2-4b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=-\sqrt3\end{align*}}$
③、⑤に代入して、
a=－1．
d2=1 ⇔ d=±1
④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\mp\sqrt3\end{align*}}$
以上より、行列Ａは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf -1 &\sf -\sqrt3b\\ \sf \pm\sqrt3 &\sf \mp1\end{pmatrix} \ \ }\end{align*}}$ （複号同順）
(１)はちょっと雑な感じがしますが････
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第６問
xyz空間に4点P(0，0，2)、A(0，2，0)、B($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ，－1，0) 、
C($\small\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\end{align*}}$ ，－1，0)をとる。四面体PABCのx2+y2≧1をみたす
部分の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
AB2=BC2=CA2=12より、△ABCは、
一辺 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$ の正三角形であり、その重心および
内心は原点と一致する。
よって、四面体PABCは、ABCを底面とする
正三角錐となる。
四面体PABCおよび円柱x2+y2=1を
平面z=t （0≦ｔ≦2）で切った断面を考える。
右図のように、平面z=t とPA、PB、PC、z軸との
交点をA’、B’、C’、O’とすると、△ABCと△A’B’C
は相似の位置にあるので、△A’B’C’も正三角形であり、
O’はその重心および内心、外心となる。
また、A’、O’はPAおよびPOをそれぞれ2－ｔ：ｔに内分する
点なので、その座標は、
A’(0，2－ｔ，ｔ) 、 O’(0，0，t)
(ⅰ) 1＜ｔ≦2のとき
O’A’=2－ｔ＜1
なので、x2+y2≧1を満たす部分は存在しない。
(ⅱ) 0≦ｔ≦1のとき
△A’B’C’の内部のうち円x2+y2≧1の部分
（右図の緑色部分）の面積をS(ｔ)とおく。
A’B’の中点をMとすると、∠A’O’M=30°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'M=\frac{1}{2}O'A'=1-\frac{t}{2}\end{align*}}$ ．
また、円とA’O’との交点をD、
円とA’B’との交点のうちA’に近い方をEとすると、
O’D=O’E=1．
△A’O’Mにおいて、∠DO’E=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle\ EO'M=\frac{\pi}{3}-\theta\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)=\frac{O'M}{O'E}=1-\frac{t}{2}\end{align*}}$ ･･････①
また、図の対称性より、S(ｔ)は、
S(ｔ)=6(△AO’E－扇形O’DE)
と求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=6\left(\frac{1}{2}\cdot O'A \cdot O'E\cdot\sin\theta-\pi \cdot 1^2\cdot\frac{\theta}{2\pi}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\left(1-\frac{t}{2}\right)\ \sin \theta-3\theta\end{align*}}$
以上より、求める部分の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_0^1\ S\ (t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\ \bigg(6\left(1-\frac{t}{2}\right)\ \sin \theta-3\theta\bigg)\ dt\end{align*}}$
ここで、①の両辺を$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{dt}{d\theta}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dt}{d\theta}=-2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\end{align*}}$ ････②
であり、
ｔ：0→1 のとき$\scriptsize\sf{\theta}$ ：$\scriptsize\sf{\pi}$ /3→0 ････③
のように対応する。
①～③を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_{\pi/3}^0\ \bigg(6\cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \theta-3\theta\bigg)\cdot\bigg (-2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \bigg)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-12\int_{\pi/3}^0\ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \theta\ d\theta+6\int_{\pi/3}^0\ \theta\ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/3}^0\ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_{\pi/3}^0\ \sin\left(\frac{2}{3}\pi-2\theta\right) \sin \theta\ d\theta\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{4}\int_{\pi/3}^0\ \cos\left(\frac{2}{3}\pi-\theta\right) \ d\theta+\frac{1}{4}\int_{\pi/3}^0\ \cos\left(\frac{2}{3}\pi-3\theta\right) \ d\theta\end{align*}}$ ←積・和の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left[\sin\left(\frac{2}{3}\pi-\theta\right)\right]_{\pi/3}^0-\frac{1}{12}\left[\sin\left(\frac{2}{3}\pi-3\theta\right)\right]_{\pi/3}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{12}\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/3}^0\ \theta\ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ \theta\cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)\right]_{\pi/3}^0-\int_{\pi/3}^0\ \cos\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \ d\theta\end{align*}}$ ←部分積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\pi}{3}+\left[\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\pi-2\theta\right)\right]_{\pi/3}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=-12\cdot\left(-\frac{1}{12}\sqrt3\right)+6\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\underline{\ 4\sqrt3-2\pi\ \ }\end{align*}}$
扇形が出てきてビビルでしょうが(笑)、置換積分を使えば逃げられます。
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