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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東京工業大 数学1



第1問

 (1) 辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD、
    辺OCの中点をEとする。2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の内積を求めよ。

 (2) 1から6までの目がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ の確率で出るさいころを同時に3個
    投げると、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。

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2012東京工業大 数学2




第2問

 (1) log10 3=0.4771として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=0}^{99}\ 3^n\end{align*}}$ の桁数を求めよ。

 (2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数を [a]で表す。
    10000以下の正の整数nで、$\small\sf{\begin{align*} \sf [\ \sqrt n\ ]\end{align*}}$ がnの約数となるものは
    何個あるか。



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2012東京工業大 数学3



第3問

  3次関数y=x3-3x2+2xのグラフをC、直線y=axをLとする。

 (1) CとLが原点以外の共有点をもつような実数aの値の範囲を求めよ。

 (2) aが(1)で求めた範囲内にあるとき、CとLによって囲まれる部分の
    面積をS(a)とする。S(a)が最小となるaの値を求めよ。






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2012東京工業大 数学4




第4問

  nを正の整数とする。数列{ak}を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{n(n+1)}\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=-\frac{1}{k+n+1}+\frac{n}{k}\sum_{i=1}^k\ a_i\ \ \ \ (k=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
  によって定める。

 (1) a2およびa3を求めよ。

 (2) 一般項akを求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sum_{k=1}^n\ \sqrt{a_k}\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=\log 2\end{align*}}$ を示せ。





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2012東京工業大数学5



第5問

  行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で定まる1次変換をfとする。原点O(0,0)と異なる
  任意の2点P、Qに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{OP'}{OP}=\frac{OQ'}{OQ}\end{align*}}$
  が成り立つ。ただし、P’、Q’はそれぞれP、Qのfによる像を表す。


 (1) a2+c2=b2+d2を示せ。

 (2) 1次変換fにより、点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\sqrt3\right)\end{align*}}$ が点(-4,0)に移るとき、Aを求めよ。



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2012東京工業大 数学6




第6問

  xyz空間に4点P(0,0,2)、A(0,2,0)、B($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,-1,0) 、
  C($\small\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\end{align*}}$ ,-1,0)をとる。四面体PABCのx2+y2≧1をみたす
  部分の体積を求めよ。



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