第１問
ａを実数の定数とする。放物線ｙ＝ｘ2－ａｘ＋ａがｘ軸の
１≦ｘ≦２ または ３≦ｘ≦４
を満たす部分と２つの異なる共有点を持つためのａの条件
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式の右辺をｆ(ｘ)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+a\end{align*}}$
(ⅰ) １≦ｘ≦２に異なる２解をもつ場合
ｆ(１)＝１＞０ は常にOK
ｆ(２)＝４－ａ≧０ ⇔ ａ≦４
また、頂点についての条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq\frac{a}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq a\leqq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\ ,\ 4\lt a\end{align*}}$
これらを同時に満たすａは存在しない。
(ⅱ) ３≦ｘ≦４に異なる２解をもつ場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-2a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{9}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=16-3a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$
また、頂点についての条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\leqq\frac{a}{2}\leqq 4\ \ \Leftrightarrow\ \ 6\leqq a\leqq 8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+a<0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\ ,\ 4\lt a\end{align*}}$
これらを同時に満たすａは存在しない。
(ⅲ) １≦ｘ≦２と３≦ｘ≦４にそれぞれ１つずつ解をもつ場合
ｆ(１)＝１＞０ は常にOK
ｆ(２)＝４－ａ≦０ ⇔ ａ≧４
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-2a\leqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq\frac{9}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=16-3a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$
これらを同時に満たすａは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\leqq a\leqq\frac{16}{3}\end{align*}}$
(ⅰ)～(ⅲ)より、求めるａの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9}{2}\leqq a\leqq\frac{16}{3}\ \ }\end{align*}}$
場合分けさえできれば問題ないでしょう。
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第２問
ＡＢ＝５、ＢＣ＝７、ＣＡ＝８およびＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ｔを満たす
四面体ＯＡＢＣがある。
(１) ∠ＢＡＣを求めよ。
(２) △ＡＢＣの外接円の半径を求めよ。
(３) ４つの頂点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃが同一球面上にあるとき、その球の
半径が最小になるような実数ｔの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ＡＢＣで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot 8}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
0＜∠Ａ＜180°なので、
∠Ａ＝60°
(２)
△ＡＢＣの外接円の半径をＲとし、正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2R=\frac{BC}{\sin 60^{\circ}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ R=\frac{7\sqrt3}{3}\ \ }\end{align*}}$
(３)
四面体ＯＡＢＣに外接する球の中心をＯ’、半径をｒとすると、
ＯＯ’＝ＡＯ’＝ＢＯ’＝ＣＯ’＝ｒ．
これと、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ｔより
△ＯＡＯ’≡△ＯＢＯ’≡△ＯＣＯ’
となるので、
∠ＡＯＯ’＝∠ＢＯＯ’＝∠ＣＯＯ’．
ここで、ＯＯ’の延長と平面ＡＢＣの交点をＨとすると、
△ＯＡＨ≡△ＯＢＨ≡△ＯＣＨ
より、
ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨ
となるので、Ｈは△ＡＢＣの外心と一致する。
また、ＯＡ＝ＯＢ、ＨＡ＝ＨＢより、直線ＯＨは
線分ＡＢの垂直二等分面上にある。
同様に考えると、直線ＯＨは線分ＢＣの垂直二等分面上に
あるので、
ＯＨ⊥平面ＡＢＣ．
よって、
∠ＯＨＡ＝∠ＯＨＢ＝∠ＯＨＣ＝90°
右図の△Ｏ'ＡＨおよび△ＯＡＨにおいて
三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O'A^2=O'H^2+AH^2\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2=O'H^2+\frac{49}{3}\end{align*}}$ ･･･①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA^2=PH^2+AH^2\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=(r+O'H)^2+\frac{49}{3}\end{align*}}$ ･･･②
①より、ｒが最小となるのはＯ'Ｈ＝０のときであり、
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{49}{3}\end{align*}}$
となるので、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{49}{3}+\frac{49}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{7\sqrt6}{3}\ \ }\end{align*}}$
(３)が難しいかもしれませんね。
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第３問
さいころを７回投げ、ｋ回目（１≦ｋ≦７）に出る目を
Ｘkとする。
(１) 積Ｘ1Ｘ2が18以下である確率を求めよ。
(２) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘ7が偶数である確率を求めよ。
(３) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘ7が４の倍数である確率を求めよ。
(４) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘ7を３で割ったときの余りが１である確率を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
積Ｘ1Ｘ2が18より大きくなるのは、
(Ｘ1，Ｘ2)＝(４，５)、(５，４)、(５，５)、(４，６)、
(６，４)、(５，６)、(６，５)、(６，６)
の８通り。
サイコロ２個の目の出方の総数は、６2＝36通りなので、
Ｘ1Ｘ2が18以下になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{8}{36}=\underline{\ \frac{7}{9}\ \ }\end{align*}}$
(２)
余事象を考える。積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘ7が奇数になるのは、
Ｘ1、Ｘ2、･･･、Ｘ7がすべて奇数となる場合である。
１個のサイコロにおいて、奇数の目が出る確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
７個のさいころの目がすべて奇数となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{1}{128}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{128}=\underline{\ \frac{126}{127}\ \ }\end{align*}}$
(３)
余事象を考える。積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘ7が４の倍数にならないのは、
Ｘ1、Ｘ2、･･･、Ｘ7が
(ア)すべて奇数
(イ)１つが２で、残り６個はすべて奇数
(ウ)１つが６で、残り６個はすべて奇数
の３つの場合が考えられる。
(ア)の確率は、(２)で求めたとおり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{1}{128}\end{align*}}$
(イ)、(ウ)の確率はともに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _7C_1\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{7}{384}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{128}-\frac{7}{384}\times2=\underline{\ \frac{367}{384}\ \ }\end{align*}}$
(４)
３つの集合Ａ、Ｂ、Ｃを
Ａ････３の倍数の集合
Ｂ････３で割って１あまる数の集合
Ｃ････３で割って２あまる数の集合
とし、それぞれの集合の要素を
ａ1、ａ2∈Ａ
ｂ1、ｂ2∈Ｂ
ｃ1、ｃ2∈Ｃ
とする。
この中から２数を選び、その積がＡ、Ｂ、Ｃのうち
どの集合に属するかをまとめたものが右の表。
積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn が集合Ｂ、Ｃに属する確率を
それぞれｐn、ｑnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=q_1=r_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････①
上の表より、積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn+1∈Ｂとなるのは、
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｂ かつ Ｘn+1∈Ｂ
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｃ かつ Ｘn+1∈Ｃ
のいずれかの場合であり、その確率ｐn+1を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n+\frac{1}{3}\ q_n\end{align*}}$ ･････②
同様に、積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn+1∈Ｃとなるのは、
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｂ かつ Ｘn+1∈Ｃ
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｃ かつ Ｘn+1∈Ｃ
のいずれかの場合であり、その確率ｑn+1を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n+\frac{1}{3}\ q_n\end{align*}}$ ･････③
②＋③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{2}{3}\left(p_n+\ q_n\right)\end{align*}}$
これと①より、数列{ｐn＋ｑn}は初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}+q_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{align*}}$ ････④
また、②－③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-q_{n+1}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=q_n\end{align*}}$
これと④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{align*}}$
ｎ＝７とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{7}=\frac{64}{2187}\end{align*}}$
これって文系の問題でしょうかね？
だとすると、(３)はちょっと難しいでしょうねぇ＾＾；；
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第４問
ｐ、ｑを互いに素な２以上の整数、ｍ、ｎはｍ＜ｎなる正の整数とする。
このとき、分母がｐ2ｑ2で、分子がｐでもｑでも割り切れない分数のうち、
ｍよりも大きくｎよりも小さいものの総数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
分母がｐ2ｑ2で、ｍより大きくｎより小さい分数全体の集合をＵとする。
Ｕの部分集合Ａ、Ｂを
Ａ･･･分子がｐの倍数である分数の集合
Ｂ･･･分子がｑの倍数である分数の集合
とする。
まず、
なので、Ｕに属する分数の分子は、
ｍｐ2ｑ2＋１、 ｍｐ2ｑ2＋２、････、ｎｐ2ｑ2－２、 ｎｐ2ｑ2－１
であり、Ｕの要素の個数ｎ(Ｕ)は、
(ｎｐ2ｑ2－１)－(ｍｐ2ｑ2＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐ2ｑ2－１ 個 ････①
Ａに属する分数の分子は、
ｍｐ2ｑ2＋ｐ、 ｍｐ2ｑ2＋２ｐ、････、ｎｐ2ｑ2－２ｐ、 ｎｐ2ｑ2－ｐ
すなわち、
(ｍｐｑ2＋１)ｐ、 (ｍｐｑ2＋２)ｐ、････、(ｎｐｑ2－２)ｐ、 (ｎｐｑ2－１)ｐ
であり、その個数ｎ(Ａ)は、
(ｎｐｑ2－１)－(ｍｐｑ2＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐｑ2－１ 個 ････②
同様に考えると、Ｂの要素の個数ｎ(Ｂ)は
(ｎ－ｍ)ｐ2ｑ－１ 個 ････③
また、ＡとＢの共通部分Ａ∩Ｂに属する分数の分子は、
ｍｐ2ｑ2＋ｐｑ、 ｍｐ2ｑ2＋２ｐｑ、････、 ｎｐ2ｑ2－ｐｑ
すなわち、
(ｍｐｑ＋１)ｐｑ、 (ｍｐｑ＋２)ｐｑ、････、 (ｎｐｑ－１)ｐｑ
であり、その個数ｎ(Ａ∩Ｂ)は、
(ｎｐｑ－１)－(ｍｐｑ＋１)＋１＝(ｎ－ｍ)ｐｑ－１ 個 ････④
Ｕに属する分数のうち、
分子がｐでもｑでも割り切れない分数は、
集合Ａ∪Ｂに属するので、その要素の個数ｎ(Ａ∪Ｂ)は、
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ｕ)－ｎ(Ａ)－ｎ(Ｂ)＋ｎ(Ａ∩Ｂ)
で求めることができる。
①－②－③＋④を計算すると、
ｎ(Ａ∪Ｂ)＝(ｎ－ｍ)(ｐ2ｑ2－ｐｑ2－ｐ2ｑ＋ｐｑ)
＝(ｎ－ｍ)ｐｑ(ｐ－１)(ｑ－１) 個
文字ばかりでグチャグチャになりそうですが、大丈夫ですか？
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第６問
１より小さい正の実数ａに対して、
円Ｃ(ａ)：(ｘ＋ａ－１)2＋(ｙ＋ａ－１)2＝２ａ2
と定める。その上で、数列{ａn}を以下の方法によって定める。
(ⅰ)ｎ＝１のときは、円Ｃ(ａ)がｘ軸と接するような定数ａの値を
ａ1とする。さらに円Ｃ(ａ1)とｘ軸との接点をＰ1とし、円Ｃ(ａ1)
の中心をＱ1とおく。
(ⅱ)ｎ≧２のときは、円Ｃ(ａ)が直線Ｐn-1Qn-1と接するような
定数ａの値をａnとする。さらに、円Ｃ(ａn)と直線Ｐn-1Ｑn-1
との接点をＰnとし、円Ｃ(ａn)の中心をＱnとおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(１) ａ1を求めよ。
(２) ａ2を求めよ。
(３) {ａn}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円Ｃ(ａ)：(ｘ＋ａ－１)2＋(ｙ＋ａ－１)2＝２ａ2
中心 (１－ａ，１－ａ)、 半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\ a\end{align*}}$
(１)
円Ｃ(ａ1)はｘ軸と接するので、
｜中心のｙ座標｜＝半径
である。０＜ａ1＜１なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_1=\sqrt2\ a_1\end{align*}}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_1=\sqrt2-1\ \ }\end{align*}}$
(２)
円Ｃ(ａ2)は直線Ｐ1Ｑ1：ｘ＝１－ａ1と接するので、
｜中心から直線Ｐ1Ｑ1までの距離｜＝半径
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|(1-a_1)-(1-a_2)\right|=\sqrt2\ a_2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\frac{a_1}{1\pm\sqrt2}\end{align*}}$
ここで、ａ1、ａ2＞０であり、(１)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_2=\left(\sqrt2-1\right)^2\ \ }\end{align*}}$
(３)
ｎ≧２のとき、
円Ｃ(ａn)は直線Ｐn-1Ｑn-1：ｙ＝１－ａn-1と接するので、
｜中心から直線Ｐn-1Ｑn-1までの距離｜＝半径
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|(1-a_{n-1})-(1-a_n)\right|=\sqrt2a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\frac{a_{n-1}}{1\pm\sqrt2}\end{align*}}$
ここで、ａn-1、ａn＞０より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{a_{n-1}}{1+\sqrt2}=(\sqrt2-1)\ a_{n-1}\end{align*}}$
となるので、数列{ａn}は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2-1\end{align*}}$ の等比数列である。
(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\left(\sqrt2-1\right)^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\left(\sqrt2-1\right)^n\ \ }\end{align*}}$ （これはｎ＝１のときも満たす。）
(２)(３)では、円と直線の位置関係が分かりにくいと思いますが、
中心からの距離に絶対値をつけておけば処理できます。
円Ｃ(ａ)はすべて点(１，１)を通るということに気づけば、一発なんですが････
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第７問
横２ａ、縦２ｂの長方形を長方形の中心のまわりに角$\small\sf{\theta}$ だけ回転
させる。回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の
面積をＳ($\small\sf{\theta}$ )を求めよ。
ただし、長方形の中心とはその２つの対角線の交点とし、長方形は
それを含む平面内で回転するものとする。また、回転角$\small\sf{\theta}$ は０以上、
長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に
取るものとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
右図のようにｘｙ平面上に
Ａ(ａ，ｂ)、Ｂ(－ａ，ｂ)、Ｃ(－ａ，－ｂ)、Ｄ(ａ，－ｂ)
をとり、これらを原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させた点をそれぞれ
Ａ'、Ｂ'、Ｃ'、Ｄ'とする。
この回転移動は行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf \cos\theta &\sf -\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$ で表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A':\ \begin{pmatrix}\cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\binom{a}{b}=\binom{a\cos\theta-b\sin\theta}{a\sin\theta+b\cos\theta}\end{align*}}$
(ⅰ) ａ≠ｂのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{b}\end{align*}}$ のうち小さい方の値をｒとする。
tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝ｒ となる角$\scriptsize\sf{\alpha}$ （０＜$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2）を
考えると、
回転角$\scriptsize\sf{\theta}$ は、
０≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\alpha}$
の範囲の値をとりうる。
$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝０のときは明らかに、
Ｓ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝４ａｂ
なので、以下は、０＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ の範囲で考える。
辺Ａ'Ｂ'は辺ＡＢを$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させたものなので、
ｘ軸正方向と$\scriptsize\sf{\theta}$ の角をなし、傾きはtan$\scriptsize\sf{\theta}$ である。
よって、直線Ａ'Ｂ'の方程式は
ｙ－(ａsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋ｂcos$\scriptsize\sf{\theta}$ )＝(tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ){ｘ－(ａcos$\scriptsize\sf{\theta}$ －ｂsin$\scriptsize\sf{\theta}$ )}
⇔ ｙ＝(tan$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｘ＋ｂ(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋sin$\scriptsize\sf{\theta}$ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ )
⇔ (cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｙ＝(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｘ＋ｂ
これと辺ＡＢ、ＢＣとの交点をそれぞれＥ、Ｆとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ \left(-a\ ,\ \frac{-a\sin\theta+b}{\cos \theta}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BF=b-\frac{-a\sin\theta+b}{\cos \theta}=\frac{a\sin\theta-b(1-\cos\theta)}{\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BE=\frac{BF}{\tan \theta}=\frac{a\sin\theta-b(1-\cos\theta)}{\sin\theta}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BEF=\frac{1}{2}\cdot BE\cdot BF=\frac{\{a\sin\theta-b(1-\cos\theta)\}^2}{2\sin\theta\ \cos \theta}\end{align*}}$
同様に、辺Ａ'Ｄ'はｘ軸正方向と$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋90°の角をなすので、
傾きは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan(\theta+90^{\circ})=-\frac{1}{\tan\theta}\end{align*}}$ である。
よって、直線Ａ'Ｄ'の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-(a\sin\theta+b\cos\theta)=-\frac{1}{\tan\theta}\ \{x-(a\cos\theta-b\sin\theta)\}\end{align*}}$
⇔ (sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｙ＝－(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )ｘ＋ａ
これと辺ＡＢ、ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H\ \left(a\ ,\ \frac{a(1-\cos\theta)}{\sin \theta}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=b-\frac{a(1-\cos\theta)}{\sin \theta}=\frac{b\sin\theta-a(1-\cos\theta)}{\sin \theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AG=AH\ \tan \theta=\frac{b\sin\theta-a(1-\cos\theta)}{\cos \theta}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle AGH=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot AG=\frac{\left\{b\sin\theta -a(1-\cos\theta)\right\}^2}{2\sin\theta\ \cos \theta}\end{align*}}$
図の対称性より、
Ｓ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝長方形ＡＢＣＤ－２△ＢＥＦ－２△ＡＧＨ
と求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)=4ab-\frac{ \{a\sin\theta-b(1-\cos\theta)\}^2}{\sin\theta\ \cos \theta}-\frac{\{b\sin\theta-a(1-\cos\theta)\}^2}{\sin\theta\ \cos \theta}\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)=\frac{4ab\sin\theta-2(a^2+b^2)(1-\cos\theta)}{\sin\theta\ \cos \theta}\end{align*}}$ ････①
(ⅱ) ａ＝ｂのとき
回転角$\scriptsize\sf{\theta}$ は、
０≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2
の範囲の値をとりうる。
$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のときは、
Ｓ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝４ａｂ
となり、それ以外のときは(ⅰ)と同様。
以上より、
$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝０のとき
Ｓ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝４ａｂ
０＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)=\frac{4ab\sin\theta-2(a^2+b^2)(1-\cos\theta)}{\sin\theta\ \cos \theta}\end{align*}}$
ａ＝ｂ かつ $\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき
Ｓ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝４ａｂ
(ⅰ)で求めた①式の分子・分母に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}}$ をかけて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)=\frac{4ab\sin\theta-2(a^2+b^2)(1-\cos\theta)}{\sin\theta\cos\theta} \times\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4ab\sin\theta\ (1+\cos\theta)-2(a^2+b^2)(1-\cos^2\theta)}{\sin\theta\cos\theta(1+\cos\theta)} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4ab\ (1+\cos\theta)-2(a^2+b^2)\sin\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)} \end{align*}}$
と変形しておくと、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝０のときもまとめることができます。
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第８問
すべての項が整数である数列を整数列という。ｐ、ｑ、ｒ、ｓを実数とし、
正の整数ｎに対し、
ａn＝ｐ＋ｑｎ＋ｒｎ2 、 ｂn＝ｐ＋ｑｎ＋ｒｎ2＋ｓｎ3
とおく。このとき以下の命題を示せ。
(１) 数列{ａn}が整数列ならば、２ｒは整数である。
(２) 数列{ｂn}が整数列であるための必要十分条件は、ｐとｑ＋ｒ＋ｓと
２ｒと６ｓがいずれも整数となることである。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｎ＝１，２，３として、
ａ1＝ｐ＋ｑ＋ｒ
ａ2＝ｐ＋２ｑ＋４ｒ
ａ3＝ｐ＋３ｑ＋９ｒ
差をとると、
ａ2－ａ1＝ｑ＋３ｒ ････①
ａ3－ａ2＝ｑ＋５ｒ ････②
さらに、①、②の差をとると、
ａ3－２ａ2＋ａ1＝２ｒ ････③
ここで、{ａn}は整数列なので、ａ1、ａ2、ａ3はすべて整数である。
よって、③より、２ｒは整数である。
(２)
ｎ＝１，２，３，４として、
ｂ1＝ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ
ｂ2＝ｐ＋２ｑ＋４ｒ＋８ｓ
ｂ3＝ｐ＋３ｑ＋９ｒ＋27ｓ
ｂ4＝ｐ＋４ｑ＋16ｒ＋64ｓ
差をとると、
ｂ2－ｂ1＝ｑ＋３ｒ＋７ｓ ････④
ｂ3－ｂ2＝ｑ＋５ｒ＋19ｓ ････⑤
ｂ4－ｂ3＝ｑ＋７ｒ＋37ｓ ････⑥
さらに順次差をとっていくと、
⑤－④ ｂ3－２ｂ2＋ｂ1＝２ｒ＋12ｓ ････⑦
⑥－⑤ ｂ4－２ｂ3＋ｂ2＝２ｒ＋18ｓ ････⑧
⑧－⑦ ｂ4－３ｂ3＋３ｂ2－ｂ1＝６ｓ ････⑨
⑨において、{ｂn}は整数列なので、ｂ1～ｂ4はすべて整数。
よって、６ｓは整数となる。
ここで、６ｓ＝Ｋ （Ｋ：整数）とおいて、⑦に代入すると、
ｂ3－２ｂ2＋ｂ1＝２ｒ＋２Ｋ
⇔ ２ｒ＝ｂ3－２ｂ2＋ｂ1－２Ｋ
となり、２ｒも整数となる。
２ｒ＝Ｌ （Ｌ：整数）とおいて、④に代入すると、
ｂ2－ｂ1＝(ｑ＋ｒ＋ｓ)＋２ｒ＋６ｓ
⇔ ｑ＋ｐ＋ｒ＝ｂ2－ｂ1－Ｌ－Ｋ
となり、ｑ＋ｒ＋ｓも整数である。
さらに、ｑ＋ｒ＋ｓ＝Ｍ （Ｍ：整数）とおくと、
ｂ1＝ｐ＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)
⇔ ｐ＝ｂ1－Ｍ
となるので、ｐも整数となる。以上より、必要性は示された。
逆にｐ、ｑ＋ｒ＋ｓ、２ｒ、６ｓがいずれも整数であるとき、
ｐ＝Ｎ
ｑ＋ｒ＋ｓ＝Ｍ
２ｒ＝Ｌ
６ｓ＝Ｋ
とおいて（Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎは整数）、{ｂ}nが整数列であることを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ)ｎ＝１のとき
ｂ1＝ｐ＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)＝Ｎ＋Ｍ は整数である。
(ⅱ)ｎ＝ｉのとき
ｂi＝ｐ＋ｑｋ＋ｒｉ2＋ｓｉ3が整数である
と仮定する。
ｎ＝ｉ＋１のとき
ｂi+1＝ｐ＋ｑ（ｉ＋１)＋ｒ（ｉ＋１)2＋ｓ（ｉ＋１)3
＝(ｐ＋ｑｉ＋ｒｉ2＋ｓｉ3)＋(ｑ＋ｒ＋ｓ)＋２ｒｉ＋３ｓｉ(ｉ＋１)
＝ｂ1＋Ｍ＋Ｌｉ＋$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ Ｋｉ(ｉ＋１)
ここで、ｂi、Ｍ、Ｌ、Ｍ、ｉはすべて整数であり、
連続２整数の積 ｉ(ｉ＋１)は２の倍数なので、ｂi+1は整数となる。
よって、任意の自然数ｎに対してｂnは整数となるので、十分性も示された。
少し丁寧に書きすぎたので、長くなってしまいましたね＾＾；；
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第９問
以下の問いに答えよ。
(１) 関数ｆ(ｘ)は第２次導関数ｆ"(ｘ)が連続で、あるａ＜ｂに対して、
ｆ’(ａ)＝ｆ’(ｂ)＝０を満たしているものとする。このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (b)-f\ (a)=\int_a^b\ \left(\frac{a+b}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(２) 直線道路上における車の走行を考える。ある信号で停止して
いた車が、時刻０で発進後、距離Ｌだけ離れた次の信号に時刻
Ｔで到着し再び停止した。この間にこの車の加速度の絶対値が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{4L}{T^2}\end{align*}}$ 以上である瞬間があることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
右辺の積分を計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ \left(\frac{a+b}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a+b}{2}\int_a^b\ f\ ''(x)\ dx-\int_a^b\ x\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a+b}{2}\left[\ f\ '(x)\ \right]_a^b-\left(\left[\ x\ f\ '(x)\ \right]_a^b-\int_a^b\ (x)'\ f\ '(x)\ dx\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ f\ (x)\ \right]_a^b\end{align*}}$ ←ｆ’(ａ)＝ｆ’(ａ)＝０より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ (b)-f\ (a)\end{align*}}$
(２)
時刻０から時刻ｘの間に車が進んだ距離をｆ(ｘ)とおくと、
ｆ(０)＝０ 、 ｆ(Ｔ)＝Ｌ ････①
また、時刻ｘにおける速度はｆ'(ｘ)と表されるので、
ｆ'(０)＝ｆ'(Ｔ)＝０ ････②
ａ＝０、ｂ＝Ｔとおくと、②より(１)の等式が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (T)-f\ (0)=\int_0^T\ \left(\frac{0+T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\int_0^T\ \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$ ････③
一方、時刻ｘにおける加速度はｆ”(ｘ)で表されるので、
時刻０～Ｔにおける加速度の最大値をＡとおくと、
|ｆ"(ｘ)|≦Ａ
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ \leqq \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\left|\ f\ ''(x)\right|\ \leqq \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ A\end{align*}}$ ．
この不等式は、区間０≦ｘ≦Ｔで常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^T\ \left(\frac{T}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\ \leqq \ \int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ A\ dx\end{align*}}$ ．
これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\ \leqq \ A\int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ dx\end{align*}}$ ････④
④の右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\int_0^T\ \left|\ \frac{T}{2}-x\ \right|\ dx=A\int_0^{T/2}\ \left(\ \frac{T}{2}-x\ \right)\ dx+A\int_{T/2}^T\ \left(\ x-\frac{T}{2}\ \right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A\left[\frac{T}{2}x-\frac{1}{2}\ x^2\right]_0^{T/2}+A\left[\frac{1}{2}x^2 -\frac{T}{2}x\right]_{T/2}^T\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2A\left(\frac{T^2}{4}x-\frac{1}{2}\cdot\frac{T^2}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{AT^2}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\leqq\frac{AT^2}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4L}{T^2}\leqq A\end{align*}}$
よって、この車の加速度の絶対値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4L}{T^2}\end{align*}}$ 以上である。
この手の問題が苦手な人も多いと思いますが（特に物理未選択者）、
変位を時間で微分すると速度
速度を時間で微分すると加速度
ということを知っていれば(２)も問題ないと思います。
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第10問
さいころをｎ回（ｎ≧２）投げ、ｋ回目（１≦ｋ≦ｎ）に出る目を
Ｘkとする。
(１) 積Ｘ1Ｘ2が18以下である確率を求めよ。
(２) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘnが偶数である確率を求めよ。
(３) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘnが４の倍数である確率を求めよ。
(４) 積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘnを３で割ったときの余りが１である確率を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
積Ｘ1Ｘ2が18より大きくなるのは、
(Ｘ1，Ｘ2)＝(４，５)、(５，４)、(５，５)、(４，６)、
(６，４)、(５，６)、(６，５)、(６，６)
の８通り。
サイコロ２個の目の出方の総数は、６2＝36通りなので、
Ｘ1Ｘ2が18以下になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{8}{36}=\underline{\ \frac{7}{9}\ \ }\end{align*}}$
(２)
余事象を考える。積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘnが奇数になるのは、
Ｘ1、Ｘ2、･･･、Ｘnがすべて奇数となる場合である。
１個のサイコロにおいて、奇数の目が出る確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
ｎ個のさいころの目がすべて奇数となる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1-\left(\frac{1}{2} \right) ^n\ \ }\end{align*}}$
(３)
余事象を考える。積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘnが４の倍数にならないのは、
Ｘ1、Ｘ2、･･･、Ｘnが
(ア)すべて奇数
(イ)１つが２で、残りｎ－１個はすべて奇数
(ウ)１つが６で、残りｎ－１個はすべて奇数
の３つの場合が考えられる。
(ア)の確率は、(２)で求めたとおり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$
(イ)、(ウ)の確率はともに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _nC_1\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{n}{6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n-\frac{n}{6}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\times2=\underline{\ 1-\left(1+\frac{2n}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n \ \ }\end{align*}}$
(４)
３つの集合Ａ、Ｂ、Ｃを
Ａ････３の倍数の集合
Ｂ････３で割って１あまる数の集合
Ｃ････３で割って２あまる数の集合
とし、それぞれの集合の要素を
ａ1、ａ2∈Ａ
ｂ1、ｂ2∈Ｂ
ｃ1、ｃ2∈Ｃ
とする。
この中から２数を選び、その積がＡ、Ｂ、Ｃのうち
どの集合に属するかをまとめると、右の表のよう
になる。
積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn が集合Ｂ、Ｃに属する確率を
それぞれｐn、ｑnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=q_1=r_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････①
上の表より、積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn+1∈Ｂとなるのは、
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｂ かつ Ｘn+1∈Ｂ
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｃ かつ Ｘn+1∈Ｃ
のいずれかの場合であり、その確率ｐn+1を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n+\frac{1}{3}\ q_n\end{align*}}$ ･････②
同様に、積Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn+1∈Ｃとなるのは、
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｂ かつ Ｘn+1∈Ｃ
・ Ｘ1Ｘ2･･･Ｘn∈Ｃ かつ Ｘn+1∈Ｃ
のいずれかの場合であり、その確率ｑn+1を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n+\frac{1}{3}\ q_n\end{align*}}$ ･････③
②＋③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{2}{3}\left(p_n+\ q_n\right)\end{align*}}$
これと①より、数列{ｐn＋ｑn}は初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}+q_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{align*}}$ ････④
また、②－③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-q_{n+1}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=q_n\end{align*}}$
これと④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_{n}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n\ \ }\end{align*}}$
(３)は合同式を使えばもう少しキレイに書けそうですが･････
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