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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012千葉大 数学1




第1問

  aを実数の定数とする。放物線y=x2-ax+aがx軸の
       1≦x≦2 または 3≦x≦4
  を満たす部分と2つの異なる共有点を持つためのaの条件
  を求めよ。




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2012千葉大 数学2



第2問

  AB=5、BC=7、CA=8およびOA=OB=OC=tを満たす
  四面体OABCがある。

 (1) ∠BACを求めよ。

 (2) △ABCの外接円の半径を求めよ。

 (3) 4つの頂点O、A、B、Cが同一球面上にあるとき、その球の
    半径が最小になるような実数tの値を求めよ。



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2012千葉大 数学3




第3問

  さいころを7回投げ、k回目(1≦k≦7)に出る目を
  Xkとする。

 (1) 積X12が18以下である確率を求めよ。

 (2) 積X12・・・X7が偶数である確率を求めよ。

 (3) 積X12・・・X7が4の倍数である確率を求めよ。

 (4) 積X12・・・X7を3で割ったときの余りが1である確率を
    求めよ。


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2012千葉大 数学4



第4問

  p、qを互いに素な2以上の整数、m、nはm<nなる正の整数とする。
  このとき、分母がp22で、分子がpでもqでも割り切れない分数のうち、
  mよりも大きくnよりも小さいものの総数を求めよ。




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2012千葉大 数学5




第5問

  放物線y=x2上の点(a,a2)における接線をLaとする。

 (1) 直線Laが不等式
        y>-x2+2x-5
    の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。

 (2) aが(1)で求めた範囲を動くとき、直線Laが通らない点(x,y)
    全体の領域Dを図示せよ。

 (3) 連立不等式
        (y-x2)(y+x2-2x+5)≦0
        y(y+5)≦0
    の表す領域をEとする。DとEの共通部分の面積を求めよ。



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2012千葉大 数学6



第6問

  1より小さい正の実数aに対して、
      円C(a):(x+a-1)2+(y+a-1)2=2a2
  と定める。その上で、数列{an}を以下の方法によって定める。
   (ⅰ)n=1のときは、円C(a)がx軸と接するような定数aの値を
     a1とする。さらに円C(a1)とx軸との接点をP1とし、円C(a1)
     の中心をQ1とおく。
   (ⅱ)n≧2のときは、円C(a)が直線Pn-1Qn-1と接するような
     定数aの値をanとする。さらに、円C(an)と直線Pn-1n-1
     との接点をPnとし、円C(an)の中心をQnとおく。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a1を求めよ。

 (2) a2を求めよ。

 (3) {an}の一般項を求めよ。


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2012千葉大 数学7



第7問

  横2a、縦2bの長方形を長方形の中心のまわりに角$\small\sf{\theta}$ だけ回転
  させる。回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の
  面積をS($\small\sf{\theta}$ )を求めよ。
  ただし、長方形の中心とはその2つの対角線の交点とし、長方形は
  それを含む平面内で回転するものとする。また、回転角$\small\sf{\theta}$ は0以上、
  長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に
  取るものとする。



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2012千葉大 数学8



第8問

  すべての項が整数である数列を整数列という。p、q、r、sを実数とし、
  正の整数nに対し、
      an=p+qn+rn2 、 bn=p+qn+rn2+sn3
  とおく。このとき以下の命題を示せ。

 (1) 数列{an}が整数列ならば、2rは整数である。

 (2) 数列{bn}が整数列であるための必要十分条件は、pとq+r+sと
    2rと6sがいずれも整数となることである。



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2012千葉大 数学9



第9問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 関数f(x)は第2次導関数f"(x)が連続で、あるa<bに対して、
    f’(a)=f’(b)=0を満たしているものとする。このとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (b)-f\ (a)=\int_a^b\ \left(\frac{a+b}{2}-x\right)\ f\ ''(x)\ dx\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 直線道路上における車の走行を考える。ある信号で停止して
    いた車が、時刻0で発進後、距離Lだけ離れた次の信号に時刻
    Tで到着し再び停止した。この間にこの車の加速度の絶対値が
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{4L}{T^2}\end{align*}}$ 以上である瞬間があることを示せ。



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2012千葉大 数学10



第10問

  さいころをn回(n≧2)投げ、k回目(1≦k≦n)に出る目を
  Xkとする。

 (1) 積X12が18以下である確率を求めよ。

 (2) 積X12・・・Xnが偶数である確率を求めよ。

 (3) 積X12・・・Xnが4の倍数である確率を求めよ。

 (4) 積X12・・・Xnを3で割ったときの余りが1である確率を
    求めよ。


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