第１問
ａを正の実数とし、ａ≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。曲線Ｃ：ｙ＝ｘ2上の２点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
Ｑ(ａ，ａ2)
をとる。点Ｐを通りＰにおけるＣの接線と直交する直線をLとし、
点Ｑを通りＱにおけるＣの接線と直交する直線をｍとする。
Lとｍの交点がＣ上にあるとき、以下の問いに答えよ。
(１) ａの値を求めよ。
(２) ２直線L、ｍと曲線Ｃで囲まれた図形のうちでｙ軸の右側の
部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｙ’＝２ｘより、点ＱにおけるＣの法線ｍの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ \ y-a^2=-\frac{1}{2a}\ (x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2a}\ x+a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
この式にａ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ を代入したものが直線Lなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \ y=-x+\frac{3}{4}\end{align*}}$
これらの２式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-a^2-\frac{1}{2}a\ \ ,\ \ y=a^2+\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}\end{align*}}$
を得る。
よって、L、ｍの交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-a^2-\frac{1}{2}a\ ,\ a^2+\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
が曲線Ｃ上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}=\left(-a^2-\frac{1}{2}a\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ ,\ -\frac{3}{2}\ ,\ \frac{-1\pm\sqrt7\ i}{4}\end{align*}}$
ａは正の実数なので、 ａ＝１
(２)
(１)より、ｍの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}\ x+\frac{3}{2}\end{align*}}$
右図の青色部分の面積Ｓを
直線ｘ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で分割して求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\frac{1}{2}}\ \bigg(\left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)-\left(-x+\frac{3}{4}\right)\bigg)dx+\int_{\frac{1}{2}}^1\ \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-x^2\right)dx\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{17}{24}\ \ }\end{align*}}$
これは標準的な問題ですね。
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第２問
関数ｆ(ｘ)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|\ 2\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x-\sin x+\sqrt3\cos x-\frac{5}{4}\ \right|\end{align*}}$
と定める。以下の問いに答えよ。
(１) ｔ＝－sinｘ＋$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3" /> cosｘとおく。ｆ(ｘ)をｔの関数として表せ。
(２) ｘが０≦ｘ≦90°の範囲を動くとき、ｔのとり得る値の範囲を求めよ。
(３) ｘが０≦ｘ≦90°の範囲を動くとき、ｆ(ｘ)のとり得る値の範囲を求めよ。
また、ｆ(ｘ)が最大値をとるｘは、60°＜ｘ＜75°を満たすことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｔ＝－sinｘ＋$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ cosｘ ････① の両辺を２乗すると、
ｔ2＝sin2ｘ＋３cos2ｘ－２$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ sinｘcosｘ
＝２cos2ｘ－２$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ sinｘcosｘ＋１
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|\ t^2+t-\frac{9}{4}\ \right|\end{align*}}$
(２)
①の右辺を合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=2\left(-\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+120^{\circ}\right)\end{align*}}$
となり、120°≦ｘ＋120°≦210°なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\leqq\sin\left(x+120^{\circ}\right)\leqq\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
よって、
－１≦ｔ≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$
(３)
(１)の右辺をｇ(ｔ)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\left|\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{2}\ \right|\end{align*}}$
と変形でき、グラフは右図のようになる。
ｇ(ｔ)＝０となるときのｔは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{2}\end{align*}}$ ．
このうち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-1+\sqrt{10}}{2}\end{align*}}$
は、(２)で求めたｔの変域に含まれるので、ｇ(ｔ)の最小値は０である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}\ \ ,\ \ g\ \left(\sqrt3\right)=\sqrt3+\frac{3}{4}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(-\frac{1}{2}\right)-g\ \left(\sqrt3\right)=\frac{5}{2}-\left(\sqrt3+\frac{3}{4}\right)=\frac{7-4\sqrt3}{4}>0\end{align*}}$
なので、ｇ(ｔ)の最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$ ．
よって、ｆ(ｘ)のとりうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq f\ (x)\leqq\frac{5}{2}\ \ }\end{align*}}$
ｆ(ｘ)が最大となるときのｘの値をｐとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=2\sin\left(p+120^{\circ}\right)=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(p+120^{\circ}\right)=-\frac{1}{4}\end{align*}}$
ここで、
sin195°＝sin(150°＋45°)
＝sin150°cos45°＋cos150°sin45°
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}<0\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)^2-\left(-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{7-4\sqrt3}{16}>0\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}<-\frac{1}{4}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin195^{\circ}<\sin(p+120^{\circ})<\sin180^{\circ}\end{align*}}$
この範囲ではsinｘは単調減少なので、
180°＜ｐ＋120°＜195°⇔ 60°＜ｐ＜75°
以上より題意は示された。
細かい大小比較の計算が面倒ですが、
全体の流れとしてはそんなに難しくないと思います。
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第３問
袋Ａ、袋Ｂのそれぞれに、１からＮの自然数がひとつずつ書かれた
Ｎ枚のカードが入っている。これらのカードをよくかきまぜて取り出
していく。以下の問いに答えよ。
(１) Ｎ＝４とする。袋Ａ、Ｂのそれぞれから同時に１枚ずつカードを取
り出し、数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す。ただし、
取り出したカードは元に戻さないものとする。４回のカードの取り
出し操作が終わった後、数字が一致していた回数をＸとする。
Ｘ＝１、Ｘ＝２、Ｘ＝３、Ｘ＝４となる確率をそれぞれ求めよ。
また、Ｘの期待値を求めよ。
(２) Ｎ＝３とし、ｎは自然数とする。袋Ａ、Ｂのそれぞれから同時に１枚
ずつカードを取り出し、カードの数字が一致していたら、それらの
カードを取り除き、一致していなかったら、元の袋に戻すという操作
を繰り返す。カードが初めて取り除かれるのがｎ回目で起こる確率を
ｐnとし、ｎ回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率をｑnと
する。ｐnとｑnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Ａのカードの数字を、取り出した順にａ、ｂ、ｃ、ｄとする。
Ｂのカードの取り出し方は全部で、４！＝24通りある。
Ｘ＝１
どの数が一致するかはａ～ｄの４通り。
ここで仮にａが一致したとすると、Ｂの２～４枚目のカードは、
それぞれｂ、ｃ、ｄと異なる必要があるので、ｃ、ｄ、ｂの順に
取り出すか、ｄ、ｂ、ｃの順に取り出すかの２通り。
他の場合も同様に考えることができるので、全部で４×２＝８通り。
よって、Ｘ＝１となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{24}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
Ｘ＝２
どの２数が一致するかは4Ｃ2＝６通り。
ここで仮にａとｂが一致したとすると、Ｂの３、４枚目のカードは、
それぞれｃ、ｄと異なる必要があるので、ｄ、ｃの順に取り出せばよい。
他の場合も同様に考えることができるので、全部で６×１＝６通り。
よって、Ｘ＝２となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{24}=\underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
Ｘ＝３
このような場合はあり得ないので、確率は ０
Ｘ＝４
Ｂもａ、ｂ、ｃ、ｄの順に取り出せばよいので、確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{24}\ \ }\end{align*}}$
(２)
Ａ、Ｂそれぞれに３枚のカードが入っている状態において、
(ア) 引いたカードの数字が一致する （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ）
(イ) 引いたカードの数字が一致しない （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ ）
の２つの場合が考えられる。
ｎ回目で初めてカードが取り除かれるのは、
１回目から(ｎ－１)回目はカードが一致せず、ｎ回目に一致すればよい。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{2^{n-1}}{3^n}\ \ }\end{align*}}$ ････①
次に、Ａ、Ｂそれぞれに２枚のカードが入っている状態において、
(ウ) 引いたカードの数字が一致する （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
(エ) 引いたカードの数字が一致しない （確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ）
の２つの場合が考えることができる。
また、Ａ、Ｂそれぞれに１枚のカードが入っている状態においては、
引いたカードの数字は必ず一致する。････(オ)
以上のことを踏まえて、ｎ回目にすべてのカードが取り除かれる
確率ｑnを求める。
まず、３枚のカードすべてを２回目までに取り除くことはできないので、
ｑ1＝ｑ2＝０．
以下は、ｎ≧３のときを考える。
ｋ回目に初めてカードを取り除くとすると、この確率は①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{2^{k-1}}{3^k}\end{align*}}$
(オ)より、次にカードを取り除くのは(ｎ－１)回目の操作を行うときなので、
(ｋ＋１)回目から(ｎ－２)回目までの(ｎ－ｋ－２)回の操作は、
Ａ、Ｂそれぞれに２枚ある状態で、引いたカードが一致しなければよい。
よって、
ｋ回目にカードを初めて取り除き、ｎ回目にすべてを取り除く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k-2}\cdot \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^k\end{align*}}$
ｋの値は１からｎ－２までとり得るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\sum_{k=1}^{n-2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}-1}{\frac{4}{3}-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
理系と共通問題です。
(１)はまぁ、書き出せば問題ないでしょう。
ただ、(２)のｑnなんて、文系じゃちょっとムリなんじゃないですかねぇ。
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第４問
平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が、
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
を満たすとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の内積を表す。
以下の問いに答えよ。
(１) 実数ｐ、ｑに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=p\ \overrightarrow{\sf a}+q\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とおく。このとき、次の条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ \ ,\ \ p>0\end{align*}}$
を満たす実数ｐ、ｑを求めよ。
(２) 平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ が
$\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq1\ \ ,\ \ 1\leqq\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq 2\end{align*}}$
を満たすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|\end{align*}}$ のとりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････①
(１)
与えられた条件より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=p^2\ |\overrightarrow{\sf a}|^2+2pq\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+q^2\ |\overrightarrow{\sf b}|^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=p\ |\overrightarrow{\sf a}|^2+q\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
これらに①を代入して整理すると、
ｐ2－ｐｑ＋ｑ2＝１ ････②
ｑ＝２ｐ ････③
③を②に代入して整理すると、
３ｐ2＝１
ｐ＞０と③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{1}{\sqrt3}\ \ ,\ \ q=\frac{2}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$
(２)
座標平面上において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(1\ ,\ 0)\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と垂直な単位ベクトルなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=(0\ ,\ 1)\end{align*}}$
と表すことができる。
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\frac{1}{\sqrt3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{\sqrt3}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (0\ ,\ 1)=\frac{1}{\sqrt3}\ (1\ ,\ 0)+\frac{2}{\sqrt3}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{\sf b}=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
また、座標平面上に点Ｐ(ｘ，ｙ)をとり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}=\overrightarrow{\sf OP}=(x\ ,\ y)\end{align*}}$
とおくと、与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq1\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq x\leqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq -\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{2}y\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}x+\frac{2}{\sqrt3}\leqq y\leqq \frac{1}{\sqrt3}x+\frac{4}{\sqrt3}\end{align*}}$
を得る。
よって、点Ｐの存在範囲は下図のようになる。(境界線上の点も含む)
４本の境界線を下図のようにL1～L4とおく。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|=|\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$
であり、これは原点から点Ｐまでの距離を表す。
右図より、ＯＰが最大となるのは、
Ｐが２直線L2、L4の交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ \frac{5}{\sqrt3}\right)\end{align*}}$
と一致するときであり、そのときのＯＰの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=\sqrt{1^2+\left(\frac{5}{\sqrt3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{21}}{3}\end{align*}}$
一方、ＯＰが最小になるのは、点Ｐが原点から直線L1に
下ろした垂線の足と一致するときである。
このときのＯＰの値は、
原点から直線L1：ｘ－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ｙ＋２＝０までの距離に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=\frac{|\ 0-0+2\ |}{\sqrt{1^2+\left(-\sqrt3\right)^2}}=1\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|\end{align*}}$ のとりうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1\leqq|\overrightarrow{\sf x}|\leqq\frac{2\sqrt{21}}{3}\ \ }\end{align*}}$
(２)は難しいですね。
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