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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東北大 文系数学1



第1問

  aを正の実数とし、a≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。曲線C:y=x2上の2点
       $\small\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
       Q(a,a2)
  をとる。点Pを通りPにおけるCの接線と直交する直線をLとし、
  点Qを通りQにおけるCの接線と直交する直線をmとする。
  Lとmの交点がC上にあるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) aの値を求めよ。

 (2) 2直線L、mと曲線Cで囲まれた図形のうちでy軸の右側の
    部分の面積を求めよ。



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  1. 2018/10/25(木) 01:17:00|
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2012東北大 文系数学2



第2問

  関数f(x)を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left|\ 2\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x-\sin x+\sqrt3\cos x-\frac{5}{4}\ \right|\end{align*}}$
  と定める。以下の問いに答えよ。

 (1) t=-sinx+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3" /> cosxとおく。f(x)をtの関数として表せ。

 (2) xが0≦x≦90°の範囲を動くとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。

 (3) xが0≦x≦90°の範囲を動くとき、f(x)のとり得る値の範囲を求めよ。
    また、f(x)が最大値をとるxは、60°<x<75°を満たすことを示せ。





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2012東北大 文系数学3



第3問

  袋A、袋Bのそれぞれに、1からNの自然数がひとつずつ書かれた
  N枚のカードが入っている。これらのカードをよくかきまぜて取り出
  していく。以下の問いに答えよ。

 (1) N=4とする。袋A、Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取
    り出し、数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す。ただし、
    取り出したカードは元に戻さないものとする。4回のカードの取り
    出し操作が終わった後、数字が一致していた回数をXとする。
    X=1、X=2、X=3、X=4となる確率をそれぞれ求めよ。
    また、Xの期待値を求めよ。

 (2) N=3とし、nは自然数とする。袋A、Bのそれぞれから同時に1枚
    ずつカードを取り出し、カードの数字が一致していたら、それらの
    カードを取り除き、一致していなかったら、元の袋に戻すという操作
    を繰り返す。カードが初めて取り除かれるのがn回目で起こる確率を
    pnとし、n回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率をqn
    する。pnとqnを求めよ。




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2012東北大 文系数学4



第4問

  平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
  を満たすとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の内積を表す。
  以下の問いに答えよ。

 (1) 実数p、qに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=p\ \overrightarrow{\sf a}+q\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
    とおく。このとき、次の条件
       $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ \ ,\ \ p>0\end{align*}}$
    を満たす実数p、qを求めよ。

 (2) 平面上のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ が
       $\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq1\ \ ,\ \ 1\leqq\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf x}\leqq 2\end{align*}}$
    を満たすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|\end{align*}}$ のとりうる値の範囲を求めよ。



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