青木ゼミ青木大学入試(数学)　.全国の大学　.東北大　理系　2011

2011東北大　理系数学１

第１問

　　実数ａに対し、不等式
　　　　ｙ≦２ａｘ－ａ²＋２ａ＋２
　　の表す座標平面上の領域をＤ(ａ)とおく。

　(１) －１≦ａ≦２を満たすすべてのａに対しＤ(ａ)の点となるような点(ｐ，ｑ)の範囲を図示せよ。

　(２) －１≦ａ≦２を満たすいずれかのａに対しＤ(ａ)の点となるような点(ｐ，ｑ)の範囲を図示せよ。
　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　まずは、ａについての二次不等式ととらえましょう。
　　　微妙に違う(１)と(２)の違い、わかりますか？？　　

　　　　　ｙ≦２ａｘ－ａ²＋２ａ＋２　すなわち　ａ²－２(ｘ＋１)ａ＋ｙ－２≦０
　　　　左辺＝ｆ(ａ)とおくと、
　　　　　　ｆ(ａ)＝{ａ－(ｘ＋１)}²＋ｙ－ｘ²－２ｘ－３

　　(１)
　　　　－１≦ａ≦２のすべてのａに対して、ｆ(ａ)≦０であればよい。
　　　　よって、
　　　　　　ｆ(－１)≦０かつｆ(２)≦０であればよい。

　　　　　　ｆ(－１)≦０より
　　　　　　　　　ｙ≦－２ｘ－１
　　　　　　ｆ(２)≦０より
　　　　　　　　　ｙ≦４ｘ＋２
　　　　これらを満たす点(ｐ，ｑ)を図示すると、
　　　
　　　　　　　　　　　境界上の点も含む

　　(２)
　　　　－１≦ａ≦２の範囲にｆ(ａ)≦０となるａが存在すればよい。

　　　(ⅰ) 軸＜－１すなわちｘ＜－２のとき
　　　　　　ｆ(－１)≦０であればよいので、
　　　　　　　　　ｙ≦－２ｘ－１

　　　　　　　
　　　(ⅱ) 軸＞２すなわちｘ＞１のとき
　　　　　　ｆ(２)≦０であればよいので、
　　　　　　　　　ｙ≦４ｘ＋２

　　　　　　　
　　　(ⅲ) －１≦軸≦２すなわち－２≦ｘ≦１のとき
　　　　　　頂点のｙ座標≦０であればよいので、
　　　　　　　　　ｙ≦ｘ²＋２ｘ＋３

　　　　２直線ｙ＝－２ｘ－１、ｙ＝４ｘ＋２がそれぞれ点(－２，３)、(１，６)で
　　　　放物線ｙ＝ｘ²＋２ｘ＋３と接することに注意して、点(ｐ，ｑ)の
　　　　存在範囲を図示すると、
　　　
　　　　　　　　　　　境界上の点も含む

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2011東北大　理系数学２

第２問

　　ａを実数とする。円Ｃは点(ａ，－ａ)で直線ｙ＝－ｘを接線にもち、点(０，１)を通るものとする。
　　Ｃの中心をＰ(Ｘ，Ｙ)として、以下の問いに答えよ。

　(１) Ｘ、Ｙをａを用いて表せ。

　(２) ａが動くときの点Ｐの軌跡と直線ｙ＝１で囲まれる図形の面積を求めよ。
　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　(１)は色々な式が作れそうですので、まぁ適当にいじっていれば解けそうですが。　　

　　(１)
　　　　Ａ(ａ，－ａ)、Ｂ(０，１)とおくと、ＰＡ²＝ＰＢ²なので、
　　　　　　(Ｘ－ａ)²＋(Ｙ＋ａ)²＝Ｘ²＋(Ｙ－１)²
　　　　これを整理すると、
　　　　　　ｘ²－２ＸＹ＋Ｙ²－４Ｙ＋２＝０･･････①
　　　　また、直線ＰＡとｙ＝－ｘは直交するので、
　　　　ＰＡの傾きは１である。
　　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y-(-a)}{X-a}=1\end{align*}}$
　　　　すなわち、
　　　　　　Ｘ＝Ｙ＋２ａ･･････②
　　　　これを①に代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=a^2+2a+\frac{1}{2}\end{align*}}$

　　　①が表す曲線の概形についてですが、点Ｐは、直線ｙ＝－ｘと点Ｂから
　　　等しい距離にある点なので、直線ｙ＝－ｘを準線、点Ｂを焦点とする放物線上を動きます。
　　　放物線の定義ですね。
　　　ということに気づかなくても、面積を求めるだけならば下の解答のように、直線ｙ＝１との
　　　上下関係だけ調べればＯＫです。間違っても微分なんかししちゃダメですよ！！　
　　　

　　(２)
　　　　Ｙ＝１となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=a^2+\frac{1}{2}=1\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\pm \frac{1}{\sqrt 2}\end{align*}}$　　
　　　　このときのＸの値は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=1\pm \sqrt 2\end{align*}}$(複号同順)　　
　　　　また、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt 2} \leqq a \leqq \frac{1}{\sqrt 2}\end{align*}}$
　　　　の範囲では常にＹ≦１なので、求める面積をＳとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{1-\sqrt2}^{1+\sqrt 2}(1-Y)dX\end{align*}}$
　　　　ここで、(１)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=a^2+2a+\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \sf Y=a^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　と置換すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dX}{da}=2a+2\end{align*}}$
　　　　積分区間も考慮に入れると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt 2}}\left(1-\left(a^2-\frac{1}{2}\right)\right)(2a+2)da\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{2}{3}\sqrt 2\end{align*}}$

　　　もちろん(１)で得られた媒介変数表示を利用して積分です。　
　　　
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2011東北大　理系数学３

第３問

　　　生徒と３人の生徒Ａ、Ｂ、Ｃがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉３個、白玉７個、
　　全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、１の目が出たらＡが、２または３の目が
　　出たらＢが、その他の目が出たらＣが箱の中から１つだけ玉を取り出す操作を行う。
　　取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして
　　以下の問いに答えよ。
　　　ただし、サイコロの１から６の目が出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の
　　取り出される確率は等しいものとする。

　(１) ２回目の操作が終わったとき、Ａが２個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。

　(２) ２回目の操作が終わったとき、Ｂが少なくとも１個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。

　(３) ３回目の操作で、Ｃが赤玉を取り出す確率を求めよ。
　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　特に難しいルールでもないので、お手軽な練習問題といった感じですね。　　

　　(１)
　　　　１回目、２回目ともサイコロが１の目で、Ａが赤玉を取り出せばよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left(\frac{1}{6}\times\frac{3}{10}\right)\times\left(\frac{1}{6}\times\frac{2}{9}\right)=\frac{1}{540}\end{align*}}$

　　(２)
　　　　次の４つの場合①～④が考えられる。
　　　　　①１回目はＡかＣが白玉を取り出し、２回目にＢが赤玉を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left(\frac{4}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{3}{9}\right)=\frac{7}{135}\end{align*}}$
　　　　　②１回目はＡかＣが赤玉を取り出し、２回目にＢが赤玉を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left(\frac{4}{6}\times\frac{3}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{2}{9}\right)=\frac{2}{135}\end{align*}}$
　　　　　③１回目はＢが白玉を取り出し、２回目にＢが赤玉を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{3}{9}\right)=\frac{7}{270}\end{align*}}$
　　　　　④１回目はＢが赤玉を取り出す場合（このときの２回目は何でもよい）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left(\frac{2}{6}\times\frac{3}{10}\right)\times1=\frac{1}{10}\end{align*}}$
　　　　これらの和は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{135}+\frac{2}{135}+\frac{7}{270}+\frac{1}{10}=\frac{26}{135}\end{align*}}$

　　(３)
　　　　１、２回目に誰が玉を取り出すかは３回目に影響しないので、
　　　　１、２回目に関してはサイコロの目を考慮する必要はない。
　　　　従って、１、２回目の玉の色について、次の４つに場合分けする。
　　　　　(ⅰ)１回目は赤色、２回目も赤色、３回目にＣが赤色を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{3}{10}\times\frac{2}{9}\times\left(\frac{3}{6}\times\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{240}\end{align*}}$
　　　　　(ⅱ)１回目は赤色、２回目は白色、３回目にＣが赤色を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{3}{10}\times\frac{7}{9}\times\left(\frac{3}{6}\times\frac{2}{8}\right)=\frac{7}{240}\end{align*}}$
　　　　　(ⅲ)１回目は白色、２回目は赤色、３回目にＣが赤色を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{10}\times\frac{3}{9}\times\left(\frac{3}{6}\times\frac{2}{8}\right)=\frac{7}{240}\end{align*}}$
　　　　　(ⅰ)１回目は白色、２回目も白色、３回目にＣが赤色を取り出す場合
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{7}{10}\times\frac{6}{9}\times\left(\frac{3}{6}\times\frac{3}{8}\right)=\frac{21}{240}\end{align*}}$
　　　　これらの和は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{1}{240}+\frac{7}{240}+\frac{7}{240}+\frac{21}{240}=\frac{3}{20}\end{align*}}$

　　　「１回目と２回目に誰が玉を取り出すかは３回目とは無関係である。」ということにさえ
　　　　気づけば、(３)も問題ないと思います。　　
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2011東北大　理系数学４

第４問

　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　まぁとりあえず、ＡＱとＢＰの交点Ｒの位置を求めるところからでしょう。
　　　普通だと、ＡＲ：ＲＱとＢＲ：ＲＰの比を文字でおいて係数比較するんでしょうけど、
　　　計算が面倒なので、今回はメネラウスでごまかします。　　

　　　　メネラウスの定理
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{QO}{BQ}\times\frac{AP}{OA}\times\frac{RB}{PR}=\frac{1}{1}\times\frac{1-t}{1}\times\frac{RB}{PR}=1\end{align*}}$
　　　　より、ＰＲ：ＲＢ＝(１－ｔ)：１となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{\overrightarrow{\sf OP}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf OB}}{(1-\sf t)+1}=\frac{\sf t \overrightarrow{\sf a}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf b}}{2-\sf t}\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overrightarrow{\sf OR}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\frac{\sf t \overrightarrow{\sf a}+(1-\sf t)\overrightarrow{\sf b}}{2-\sf t}\ \cdot\ \left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a} \right)\end{align*}}$･････①
　　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\left| \overrightarrow{\sf a} \right|=3\ \ ,\ \ \left| \overrightarrow{\sf b} \right|=2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=6\cos\theta\end{align*}}$
　　　　を用いて①を計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\overrightarrow{\sf OR}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AB}=\frac{\sf 6(2t-1)\cos\theta-13t+4}{2-\sf t}\end{align*}}$･････①’

　　　ここまでが準備段階。計算ミスにさえ気をつければ大丈夫でしょう。
　　　ここからが本論ですが、少し整理しておくと、ＯＲとＡＢが垂直にならないということは、
　　　①'が０にならないということです。
　　　「どのように$\scriptsize\sf{\theta}$ をとっても～」とあるので、$\scriptsize\sf{\theta}$ を変数と考えるのが普通でしょう。　
　　　このとき０＜ｔ＜１より、分母２－ｔ＞０なので、分子だけを考えると楽ですね。
　　　以下が、答案の続きです。

　　　　Ｘ＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ （－１＜Ｘ＜１）とし、
　　　　ｆ(Ｘ)＝６(２ｔ－１)Ｘ－13ｔ＋４（ｔは定数）とおくと、
　　　　関数ｆ(Ｘ)は区間－１＜Ｘ＜１において単調関数なので、ｆ(－１)とｆ(１)が異符号で
　　　　なければ、この区間内でｆ(Ｘ)＝０とはなりえない。
　　　　よって、
　　　　　ｆ(－１)･ｆ(１)＝(－25ｔ＋10)(ｔ＋２)≧０
　　　　これと０＜ｔ＜１より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{2}{5} \leqq \sf t\lt 1\end{align*}}$

　　　下の図のようにｆ(－１)とｆ(１)が異符号になると、－１＜Ｘ＜１の範囲でＦ(Ｘ)＝０が
　　　解を持ってしまい、不適です。　

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2011東北大　理系数学５

第５問

　　

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　共役複素数の定義をきちんと覚えていますか？　　

　　(１)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　ｚ²－ｚ－ａ＝０･･････①
　　　　(ⅰ) ｚ＝０が解となるとき、ａ＝０
　　　　　　逆にこのとき、与式はｚ－１＝０となるので、方程式の解はｚ＝１

　　　　(ⅱ) ａ≠０のとき
　　　　　　①より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{1 \pm \sqrt{1+4\sf a}}{2} \end{align*}}$

　　(２)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z \ \overline{\sf z}+z=a\ \ldots\ldots(\ast)\end{align*}}$
　　　　ここで、実数ｘ、ｙを用いて、ｚ＝ｘ＋ｙｉとおく。
　　　　　　（ただし、ｚ≠０より(ｘ，ｙ)≠(０，０)）

　　　　ｚの共役複素数はｘ－ｙｉなので、(*)式は
　　　　　　　ｘ²＋ｙ²＋ｘ＋ｙｉ＝ａ
　　　　ｘ、ｙ、ａは実数なので、両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　ｙ＝０かつａ＝ｘ²＋ｙ²＋ｘ（ただし、ｘ≠０）
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a =\left( x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　なので、右図のグラフより
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a \geqq -\frac{1}{4}\end{align*}}$

　　(３)
　　　　与式の両辺にｚをかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \left(\sf z \ \overline{\sf z}\right)^2+\sf z \ \overline{\sf z}-\sf a=0\end{align*}}$
　　　　すなわち、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\left(\sf z \ \overline{\sf z}\right)^2+\sf z \ \overline{\sf z}=\left( \sf z \ \overline{\sf z}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　ここで、実数ｘ、ｙを用いて、ｚ＝ｘ＋ｙｉとおくと、
　　　　　（ただし、ｚ≠０より(ｘ，ｙ)≠(０，０)）
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z \ \overline{\sf z}=x^2+y^2\gt 0\end{align*}}$
　　　　なので、右図のグラフより
　　　　　　　ａ＞０

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2018/10/25(木) 01:05:00|

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2011東北大　理系数学６

第５問
　　
　　行列
　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A= \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　の表す一次変換をｆとする。ｆによる点Ｐ(１，１)の像をＰ₁とする。正の整数ｎに対し、
　　Ｐ_nのｆによる像をＰ_n+1とする。Ｐ_nが点Ｑ(10，10)に最も近くなるときのｎの値を求めよ。
　　
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　　　点の列Ｐ_nの一般式を出すために、行列Ａⁿを求めるのば王道ですが、いろんなやり方が
　　　　あるにも関わらず、どの求め方もけっこう面倒なんですよね･････
　　　　で、いくつか実験してみたところ、簡単な式になりそうなので、インチキっぽい解き方で
　　　　ごまかすことにしました。まずは、Ｐ₁、Ｐ₂あたりを求めてみましょう。　

　　　　Ｐ₁
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 2\\ \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₂
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2\\ \sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 3\\ \sf 5\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₃
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 3\\ \sf 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 4\\ \sf 7\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　Ｐ₄
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 4\\ \sf 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 5\\ \sf 9\end{pmatrix}\end{align*}}$

　　　　よって、Ｐ_nの座標は(ｎ＋１，２ｎ＋１)と類推できる。
　　　　これを数学的帰納法で示す。

　　　　(ⅰ) ｎ＝１のときは自明
　　　　(ⅱ) ｎ＝ｋのとき、Ｐ_k(ｋ＋１，２ｋ＋１)になると仮定する。
　　　　　　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \begin{pmatrix}\sf 3&\sf -1\\ \sf 4&\sf -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf \sf k+1\\ \sf 2\sf k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 3(\sf k+1)-(2\sf k+1)\\ \sf 4(\sf k+1)-(2\sf k+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf \sf k+2\\ \sf 2\sf k+3\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　となり、ｎ＝ｋ＋１のときも成立する。
　　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より
　　　　　　　　Ｐ_nの座標は(ｎ＋１，２ｎ＋１)と表せる。

　　　　ここまでくれば、残りは楽チンです。　

　　　　２点Ｐ_n、Ｑ間の距離をｄとすると、
　　　　　ｄ²＝(ｎ＋１－10)²＋(２ｎ＋１－10)²
　　　　　　＝５ｎ²－54ｎ＋162
　　　　　　＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\left(n-\frac{27}{5}\right)^2-\frac{27^2}{5}+162\end{align*}}$

　　　　ｎは自然数なので、ｎ＝５でｄは最小となる。

　　　　以上で東北大は終わりです。　
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2018/10/25(木) 01:06:00|

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