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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012東北大 理系数学1




第1問

  s、tを実数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) x=s+t+1 、 y=s-t-1とおく。s、tがs≧0、t≧0の範囲
    を動くとき、点(x,y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。

 (2) x=st+s-t+1 、 y=s+t-1とおく。s、tが実数全体を動く
    とき、点(x,y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。



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  1. 2018/10/25(木) 01:11:00|
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2012東北大 理系数学2




第2問

  mを実数とする。座標平面上で直線y=xに関する対称移動を表す
  1次変換をfとし、直線y=mxに関する対称移動を表す1次変換を
  gとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 1次変換gを表す行列Aを求めよ。

 (2) 合成変換 g○f を表す行列Bを求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf B^3=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ となるmをすべて求めよ。




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2012東北大 理系数学3



第3問

  袋A、袋Bのそれぞれに、1からNの自然数がひとつずつ書かれた
  N枚のカードが入っている。これらのカードをよくかきまぜて取り出
  していく。以下の問いに答えよ。

 (1) N=4とする。袋A、Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取
    り出し、数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す。ただし、
    取り出したカードは元に戻さないものとする。4回のカードの取り
    出し操作が終わった後、数字が一致していた回数をXとする。
    X=1、X=2、X=3、X=4となる確率をそれぞれ求めよ。
    また、Xの期待値を求めよ。

 (2) N=3とし、nは自然数とする。袋A、Bのそれぞれから同時に1枚
    ずつカードを取り出し、カードの数字が一致していたら、それらの
    カードを取り除き、一致していなかったら、元の袋に戻すという操作
    を繰り返す。カードが初めて取り除かれるのがn回目で起こる確率を
    pnとし、n回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率をqn
    する。pnとqnを求めよ。




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2012東北大 理系数学4




第4問

  0≦x≦$\small\sf{\pi}$ に対して、関数f(x)を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^{\pi /2}\ \frac{\cos \left|t-x\right|}{1+\sin \left|t-x\right|}\ dt\end{align*}}$
  と定める。f(x)の0≦x≦$\small\sf{\pi}$ における最大値と最小値を求めよ。




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2012東北大 理系数学5



第5問

  長さ1の線分ABを直径とする円周C上に点Pをとる。ただし、点Pは
  点A、Bとは一致していないとする。線分AB上の点Qを∠BPQ=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$
  となるようにとり、線分BPの長さをxとし、線分PQの長さをyとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) yをxを用いて表せ。

 (2) 点Pが2点A、Bを除いた円周C上を動くとき、yが最大となるxを
    求めよ。



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2012東北大 理系数学6





第6問

  数列{an}を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}\ \ \ \ \ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  で定める。以下の問いに答えよ。

 (1) n≧2のとき、an>1となることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha ^2=\frac{3\alpha+4}{2\alpha+3}\end{align*}}$ を満たす正の実数$\small\sf{\alpha}$ を求めよ。

 (3) すべての自然数nに対してan<$\small\sf{\alpha}$ となることを示せ。

 (4) 0<r<1を満たすある実数rに対して、不等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n}\leqq r\ \ \ \ \ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。さらに、極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ。




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