第１問
m＞0、 n＞0、 0＜x＜1とする。△OABの辺OAをm：nに内分する
点をP、辺OBをn：mに内分する点をQとする。また、線分AQを1：x
に外分する点をS、線分BPを1：xに外分する点をTとする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、m、n、xで表せ。
(２) ３点O、S、Tが一直線上にあるとき、xをm、nで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ＱはＯＢをｎ：ｍに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{n}{m+n}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
ＳはＡＱを１：ｘに外分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\frac{-x\ \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OQ}}{1-x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{m}{m+n}\ \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OT}=\frac{m}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
３点Ｏ、Ｓ、Ｔは一直線上にあるので、実数ｋを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=k\ \overrightarrow{\sf OT}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x}{x-1}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{n}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf b}=\frac{km}{(m+n)(1-x)}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{kx}{x-1}\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表すことができる。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{x-1}=\frac{km}{(m+n)(1-x)}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{(m+n)(1-x)}=\frac{kx}{x-1}\end{align*}}$
これよりｋを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{x-1}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{n}{(m+n)(1-x)}\cdot\frac{m}{(m+n)(1-x)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2=\frac{mn}{(m+n)^2}\end{align*}}$
ｍ、ｎ、ｘ＞０なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{\sqrt{mn}}{m+n}\ \ }\end{align*}}$
そんなに難しくないでしょうから、図は省略ということで。
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第２問
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で定義された関数
$\small\sf{f(\theta)=4\cos2\sin\theta+3\sqrt2 \cos2\theta}$
を考える。
(１) $\small\sf{x=\sin\theta}$ とおく。$\small\sf{f\theta)}$ をxで表せ。
(２) $\small\sf{f(\theta)}$ の最大値と最小値、およびそのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
cosの倍角公式を用いると、
cos２$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝１－２sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝１－２ｘ2
なので、
ｆ($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝４(１－２ｘ2)ｘ＋３$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ (１－２ｘ2)－４ｘ
＝－８ｘ3－６$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ2＋３$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
(２)
ｘの関数ｇ(ｘ)を
ｇ(ｘ)＝－８ｘ3－６$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ2＋３$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
とおくと、その導関数は、
ｇ’(ｘ)＝－24ｘ2－12$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ
＝－12$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ＋１)
ここで、－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ････① より
－１≦sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦１ ⇔ －１≦ｘ≦１ ････②
なので、②の範囲でｇ(ｘ)の増減表を書くと、下の通り。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)-g\ (-1)=6\sqrt2-8=\sqrt{72}-\sqrt{64}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-g\ (1)=5\sqrt2+8>0\end{align*}}$
よって、
ｘ＝０すなわち$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝０のとき、ｆ($\scriptsize\sf{\theta}$ )は最大 ３$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
ｘ＝１すなわち$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、ｆ($\scriptsize\sf{\theta}$ )は最小 －８－３$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
よくある話ですね。
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第３問
xy平面上に3点A(a，b)、 B(a+3，b)、 C(a+1，b+2)がある。
不等式y≧x2の表す領域をD、不等式y≦x2の表す領域をEとする。
(１) 点Cが領域Dに含まれ、点Aと点Bが領域Ｅに含まれるようなa、bの
条件を連立不等式で表せ。
(２) (１)で求めた条件を満たす点(a，b)の領域Ｆをab平面上に図示せよ。
(３) (２)で求めた領域Fの面積を求めよ。
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【解答】
(１)
点Ａが領域Ｅに含まれる ⇔ ｂ≦ａ2
点Ｂが領域Ｅに含まれる ⇔ ｂ≦(ａ＋３)2
点Ｃが領域Ｄに含まれる ⇔ ｂ＋２≧(ａ＋１)2
(２)
境界は３つの放物線
ｂ＝ａ2 ････①
ｂ＝(ａ＋３)2 ････②
ｂ＝(ａ＋１)2－２ ････③
①、②の交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=(a+3)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{3}{2}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{3}{2}\ ,\ \frac{9}{4}\right)\end{align*}}$
②、③の交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a+3)^2=(a+1)^2-2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{5}{2}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{5}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
①、③の交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=(a+1)^2-2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{2}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
これらより、求める領域Ｆを図示すると下図のようになる。
（境界線上の点も含む。）
(３)
領域Ｆの面積をＳとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{5}{2}}^{-\frac{3}{2}}\ \{\ (a+3)^2-(a+1)^2+2\ \}\ da+\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}\ \{\ a^2-(a+1)^2+2\ \}\ da\end{align*}}$
これを計算すると、
Ｓ＝６
まぁこんなもんでしょ。
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第４問
AとBの2チームが試合を行い、どちらかが先にk勝するまで試合を
繰り返す。各試合でAが勝つ確率をp、Bが勝つ確率をqとし、
p+q=1
とする。AがBより先にk勝する確率をPkとおく。
(１) P2をpとqで表せ。
(２) P3をpとqで表せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt q\lt 1\end{align*}}$ のとき、P3＜P2であることを示せ。
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【解答】
(１)
(ア) Ａが２勝、Ｂが０勝の場合
確率は、ｐ2
(イ) Ａが２勝、Ｂが１勝の場合
１、２試合目の勝敗は２通り考えられるので、
確率は、２ｐ2ｑ
よって、
Ｐ2＝ｐ2＋２ｐ2ｑ
(２)
(ウ) Ａが３勝、Ｂが０勝の場合
確率は、ｐ3
(エ) Ａが３勝、Ｂが１勝の場合
１～３試合目の勝敗は、3Ｃ2＝３通り考えられるので、
確率は、３ｐ3ｑ
(オ) Ａが３勝、Ｂが２勝の場合
１～４試合目の勝敗は、4Ｃ2＝６通り考えられるので、
確率は、６ｐ3ｑ2
よって、
Ｐ3＝ｐ3＋３ｐ3ｑ＋６ｐ3ｑ2
(３)
Ｐ2－Ｐ3＝(ｐ2＋２ｐ2ｑ)－(ｐ3＋３ｐ3ｑ＋６ｐ3ｑ2)
＝ｐ2{(１＋２ｑ)－ｐ(１＋３ｑ＋６＋ｑ2)} ････①
これにｐ＝１－ｑを代入して整理すると、
①＝ｐ3(-３ｑ2＋６ｑ3)
＝３ｐ2ｑ2(２ｑ－１)
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ＜ｑ＜１なので、①＞０となり、
Ｐ3＜Ｐ2が示された。
最後の試合はＡが勝たなければいけません。
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