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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012北海道大 理系数学1



第1問

  kは実数a、b、c、dはad-bc=1を満たす実数とする。行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
  の表す移動は以下の3条件を満たすとする。
     (イ)直線y=x上の点は直線y=x上の点に移る。
     (ロ)直線y=-x上の点は直線y=-x上の点に移る。
     (ハ)x軸上の点は直線y=kx上の点に移る。

 (1) kのとり得る値の範囲を求めよ。

 (2) Aをkで表せ。



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2012北海道大 理系数学2



第2問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で定義された関数
      $\small\sf{f(\theta)=4\cos2\theta\sin\theta+3\sqrt2\ \cos2\theta}$
  を考える。

 (1) $\small\sf{x=\sin\theta}$ とおく。$\small\sf{f(\theta)}$ をxで表せ。

 (2) $\small\sf{f(\theta)}$ の最大値と最小値、およびそのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) 方程式$\small\sf{f(\theta)=k}$ が相異なる3つの解をもつような実数kの値
    の範囲を求めよ。



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2012北海道大 理系数学3




第3問

  次の問に答えよ。

 (1) x≧0のとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x\end{align*}}$
    を示せ。

 (2) x≧0のとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\leqq \int_0^x\ t\sin t\ dt\leqq \frac{x^3}{3}\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) 極限値
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\end{align*}}$
    を求めよ。


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2012北海道大 理系数学4




第4問

  実数a、bに対して、
       f(x)=x2-2ax+b 、 g(x)=x2-2bx+a
  とおく。

 (1) a≠bのとき、f(c)=g(c)を満たす実数cを求めよ。

 (2) (1)で求めたcについて、a、bが条件a<c<bを満たすとする。 
    このとき、連立不等式
       f(x)<0 かつ g(x)<0
    が解をもつための必要十分条件をa、bを用いて表せ。

 (3) 一般にa<bのとき、連立不等式
       f(x)<0 かつ g(x)<0
    が解をもつための必要十分条件を求め、その条件を満たす点(a,b)
    の範囲をab平面上に図示せよ。



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2012北海道大 理系数学5



第5問

  AとBの2チームが試合を行い、どちらかが先にk勝するまで試合を
  繰り返す。各試合でAが勝つ確率をp、Bが勝つ確率をqとし、
        p+q=1
  とする。AがBより先にk勝する確率をPkとおく。

 (1) P2をpとqで表せ。

 (2) P3をpとqで表せ。

 (3) P4をpとqで表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt q\lt 1\end{align*}}$ のとき、P4<P3であることを示せ。



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