第１問
ｋは実数a、b、c、dはad－bc=1を満たす実数とする。行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
の表す移動は以下の３条件を満たすとする。
(イ)直線y=x上の点は直線y=x上の点に移る。
(ロ)直線y=－x上の点は直線y=－x上の点に移る。
(ハ)x軸上の点は直線y=kx上の点に移る。
(１) kのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) Aをkで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線y=x、 y=－x、 x軸上の点をそれぞれ
P(s，s)、 Q(t，t)、 R(u，0) （s、t、uは任意の実数）
とし、P、Q、RがAによって移される点をそれぞれP'、Q'、R'とする。
xy平面上の点(X，Y)のＡによる像は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\binom{X}{Y}=\binom{aX+by}{cX+dY}\end{align*}}$
となるので、点P'、Q'、R'の座標はそれぞれ
P'((a+b)s，(c+d)s)
Q'((a－b)t，(c－d)t)
R'(au，cu)
となる。
条件(イ)～(ハ)より、点P'、Q'、R'はそれぞれ
直線y=x、 y=－x、 y=kx上にあるので、
(c+d)s=(a+b)s
(c－d)t=－(a－b)t
cu=kau
これらの3式は、任意の実数s、t、uに対して成り立つので、
c+d=a+b ････①
c－d=－a+b ････②
c=ka ････③
①、②より、
a=d かつ b=c ････④
③および④を与えられた条件式ad－bc=1に代入すると、
ad－bc=a2－c2
⇔ 1=(1－k2)a2 ････(※)
ここで、a2＞0なので、
1－k2＞0
⇔ k2＜1
よって、求めるkの値の範囲は、
－1＜k＜1
(２)
(１)の(※)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{1}{1-k^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\end{align*}}$
これと③、④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\pm\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf k \\ \sf k & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
まぁ、そのまま計算するだけですね。
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第２問
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で定義された関数
$\small\sf{f(\theta)=4\cos2\theta\sin\theta+3\sqrt2\ \cos2\theta}$
を考える。
(１) $\small\sf{x=\sin\theta}$ とおく。$\small\sf{f(\theta)}$ をｘで表せ。
(２) $\small\sf{f(\theta)}$ の最大値と最小値、およびそのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(３) 方程式$\small\sf{f(\theta)=k}$ が相異なる3つの解をもつような実数kの値
の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
cosの倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2x^2}$
なので、
$\scriptsize\sf{f(\theta)=4(1-2x^2)x+3\sqrt2(1-2x^2)-4x}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-8x^3-6\sqrt2 x^2+3\sqrt2\end{align*}}$
(２)
xの関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=-8x^3-6\sqrt2 x^2+3\sqrt2\end{align*}}$
とおくと、その導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g'(x)=-24x^2-12\sqrt2\end{align*}}$ ｘ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-12\sqrt2 ｘ(\sqrt2 x+1)\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ････① より
$\scriptsize\sf{\sf -1\leqq\sin\theta\leqq 1 \ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq x\leqq 1}$ ････②
なので、②の範囲でｇ(ｘ)の増減表を書くと、下の通り。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)-g\ (-1)=6\sqrt2-8=\sqrt{72}-\sqrt{64}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-g\ (1)=5\sqrt2+8>0\end{align*}}$
よって、
x=0すなわち$\scriptsize\sf{\theta=0}$のとき、$\scriptsize\sf{f(\theta)}$ は最大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2\end{align*}}$
x=1すなわち$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{f(\theta)}$ は最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8-3\sqrt2\end{align*}}$
(３)
①の範囲においては、1つの$\scriptsize\sf{\theta}$ の値に対して
1つのxの値が対応するので、
$\scriptsize\sf{f(\theta)=k}$ を満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ が①の範囲内に3個ある
⇔ g(x)=kを満たすｘが②の範囲内に3個ある
よって、②の範囲でy=g(x)のグラフを描くと
右図のようになり、
これと直線y=kが異なる3点で
共有点をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt2\lt k\leqq 8-3\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
であればよい。
よくある話ですね。
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第３問
次の問に答えよ。
(１) ｘ≧０のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x\end{align*}}$
を示せ。
(２) ｘ≧０のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\leqq \int_0^x\ t\sin t\ dt\leqq \frac{x^3}{3}\end{align*}}$
を示せ。
(３) 極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
xについての関数f(x)を
f(x)=x－sinｘ （x≧0）
とおく。その導関数は、
ｆ’(x)=1－cosｘ ≧0
となるので、ｆ(x)は単調増加関数であり、
ｆ(0)=0なので、x≧0においては、
つねにｆ(x)≧0である。
一方、xについての関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g (x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$
とおく。その第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g '(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g ''(x)=-\sin x+x=f\ (x)\geqq 0\end{align*}}$
g"(ｘ)≧０よりg'(x)は単調増加であり、
g'(0)=0なので、x≧0でつねにg'(x)≧0である。
よって、g(x)も単調増加であり、g(0)=0なので、
x≧0でつねにg(x)≧0となる。
以上より、x≧0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x\end{align*}}$
となることが示された。
(２)
(１)より、0≦tである実数ｔに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t-\frac{t^3}{6}\leqq \sin t\leqq t\end{align*}}$
であり、両辺にt(≧0)をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-\frac{t^4}{6}\leqq t\sin t\leqq t^2\end{align*}}$ ．
この不等式は、区間0≦t≦xで常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ \left(t^2-\frac{t^4}{6}\right)\ dt\leqq \int_0^x t\sin t\ dt \leqq \int_0^x t^2\ dt\end{align*}}$ ．
ここで、左辺と右辺の定積分を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ \left(t^2-\frac{t^4}{6}\right)\ dt=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{30}\right]_0^x=\frac{x^3}{3}-\frac{t^5}{30}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x t^2\ dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x=\frac{x^3}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\leqq \int_0^x\ t\sin t\ dt\leqq \frac{x^3}{3}\end{align*}}$
(３)
部分積分法を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ t\sin t\ dt=\left[-t\cos t\right]_0^x+\int_0^x\ \cos t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x\cos x+\sin x\end{align*}}$ ．
x≧0のとき、これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\leqq \sin x-x\cos x\leqq \frac{x^3}{3}\end{align*}}$ ．
両辺をx3（＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}-\frac{x^2}{30}\leqq \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\leqq \frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
ここで、x→+0とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{x^2}{30}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････①
①式で、x=－tと置換すると、x→+0のときt→－0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow -0}\ \frac{\sin (-t)-(-t)\cos (-t)}{(-t)^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{t\rightarrow -0}\ \frac{-\sin t+t\cos t}{-t^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{t\rightarrow -0}\ \frac{\sin t-t\cos t}{t^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
この式で、tをxと書き換えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{\sin x-x\cos x}{t^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････②
①、②より極限の値は存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-x\cos x}{t^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となる。
(３)は、ｘ→－０の場合も調べなければいけません。
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第４問
実数a、bに対して、
ｆ(x)=x2－2ax+b 、 g(x)=x2－2bx+a
とおく。
(１) a≠bのとき、ｆ(c)=g(c)を満たす実数cを求めよ。
(２) (１)で求めたcについて、a、bが条件a＜c＜bを満たすとする。
このとき、連立不等式
ｆ(x)＜0 かつ g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件をa、bを用いて表せ。
(３) 一般にa＜bのとき、連立不等式
ｆ(x)＜0 かつ g(x)＜0
が解をもつための必要十分条件を求め、その条件を満たす点(a，b)
の範囲をab平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｆ(c)=ｇ(c)より
c2－2ac+b=c2－2bc+a
⇔ －2(a－b)c=a－b．
a≠bより、両辺をa－bで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(２)
まず、ｆ(x)とｇ(x)の大小を比べると、
ｆ(x)－ｇ(x)＝(x2－2ax+b)－(x2－2bx+a)
＝2(b－a)x+b－a
＝(b－a)(2x+1)
＝2(b－a)(x－c) ←(１)より
これより、a＜bであるならば、
(ⅰ) x＜cのとき、ｆ(x)＜ｇ(x)
(ⅱ) x＝cのとき、ｆ(x)＝ｇ(x)
(ⅲ) x＞cのとき、ｆ(x)＞ｇ(x)
となる。よって、
「連立方程式 ｆ(x)＜0 かつ ｇ(x)＜0 が解をもつ」････(※)
ためには、
(ア) x＜cの範囲に、ｇ(x)＜0となるxが存在する。
(イ) ｆ(c)=ｇ(x)＜0となる。
(ウ) x＞cの範囲に、ｆ(x)＜0となるxが存在する。
のいずれかを満たせばよい。
一方、
ｆ(x)＝(x－a)2+b－a2 、g(x)＝(x－b)2+a－b2
と変形できるので、
放物線y=ｆ(x)およびy=g(x)の頂点の座標はそれぞれ
(a，b－a2) 、 (b，a－b2)
a＜c＜bのとき、x＜bの範囲でｇ(x)は単調減少なので、
(イ)を満たせば(ア)も満たすことになる。
同様に、a＜xの範囲でｆ(x)は単調増加なので、
(イ)を満たせば(ウ)も満たすことになる。
よって、(※)を満たすための必要十分条件は、(イ)を満たすことである。
求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (c)=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+b<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 4a+4b+1<0\ \ }\end{align*}}$
(３)
(イ)を満たす場合は、a＜c＜bの場合に限らず常に(※)を満たすので、
以下は、(イ)を満たさない、すなわち4a+4b+1≧0の場合を考える。
a＜b＜cのとき、
ｇ(b)=a－b2＜0
であれば、(ア)を満たすので、(※)も満たすことになる。
c＜a＜bのとき、
ｆ(a)=b－a2＜0
であれば、(ウ)を満たすので、(※)も満たすことになる。
以上のことと、2つの放物線b=a2、 a=b2がともに
直線4a+4b+1=0に接することを考慮に入れて図を描くと
下図のようになる。（境界線上の点は含まない）
グラフで考えると簡単でしょうけど････
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第５問
AとBの2チームが試合を行い、どちらかが先にk勝するまで試合を
繰り返す。各試合でAが勝つ確率をp、Bが勝つ確率をqとし、
p+q=1
とする。AがBより先にk勝する確率をPkとおく。
(１) P2をpとqで表せ。
(２) P3をpとqで表せ。
(３) P4をpとqで表せ。
(４) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt q\lt 1\end{align*}}$ のとき、P4＜P3であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ア) Aが2勝、Bが0勝の場合
確率は、p2
(イ) Aが2勝、Bが1勝の場合
1、2試合目の勝敗は2通り考えられるので、
確率は、2p2q
よって、
P2=p2+2p2q
(２)
(ウ) Aが3勝、Bが0勝の場合
確率は、p3
(エ) Aが3勝、Bが1勝の場合
1～3試合目の勝敗は、3C2=3通り考えられるので、
確率は、3p3q
(オ) Aが3勝、Bが2勝の場合
1～4試合目の勝敗は、4C2=6通り考えられるので、
確率は、6p3q2
よって、
P3=p3+3p3q+6p3q2
(３)
(カ) Aが4勝、Bが0勝の場合
確率は、p4
(キ) Aが4勝、Bが1勝の場合
1～4試合目の勝敗は、4C3=4通り考えられるので、
確率は、4p4q
(ク) Aが4勝、Bが2勝の場合
1～5試合目の勝敗は、5C3=10通り考えられるので、
確率は、10p4q2
(ケ) Aが4勝、Bが3勝の場合
1～6試合目の勝敗は、6C3=20通り考えられるので、
確率は、20p4q3
よって、
P4=p4+4p4q＋10p4q2+20p4q3
(４)
P3－P4
=(p3+3p3q+6p3q2)－(p4+4p4q+10p4q2+20p4q3)
＝p3{(1+3q+6ｑ2)－p(1+4q+10q2+20q3)} ････①
これにp＝1－qを代入して整理すると、
①=p3(-10q3+20q4)
=10p3q3(2q-1)
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\lt q\lt 1\end{align*}}$ なので、①＞０となり、
P4＜P3が示された。
最後の試合はAが勝たなければいけません。
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