第1問
座標平面上に2点A(1，0)、B(－1，0)と直線Lがあり、AとLの
距離とBとLの距離の和が1であるという。以下の問に答えよ。
(1) Lはy軸と平行でないことを示せ。
(2) Lが線分ABと交わるとき、Lの傾きを求めよ。
(3) Lが線分ABと交わらないとき、Lと原点との距離を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点A、Bから直線Lまでの距離をそれぞれｄ1、ｄ2とおくと、条件より
ｄ1+ｄ2=1 ････(※)
(1)
Lがy軸と平行であると仮定すると、その方程式は、実数pを用いて、
L： x=p
と表すことができ、
ｄ1=|p－1| 、 ｄ2=|p+1|
(ⅰ) p＞1のとき
ｄ1+ｄ2=(p－1)+(p+1)=2p＞2
(ⅱ) －1≦p≦1のとき
ｄ1+ｄ2=(1－p)+(p+1)=2
(ⅲ) p＜－1のとき
ｄ1+ｄ2=(1－p)+(－p－1)=－2p＞2
(ⅰ)～(ⅲ)のいずれの場合も条件(※)を満たさないので矛盾する。
よって、Lがy軸と平行になり得ない。
場合分けをしなくても、
ｄ1+ｄ2=|p－1|+|p+1|
≧(1－p)+(p+1)
=2
と三角不等式を使うと一発です！
(2)
(1)より、Lはy軸と平行にならないので、
L： y=ax+b ⇔ ax－y+b=0
と表せる。よって(※)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1+d_2=\frac{|a+b|}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+1}}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |a+b|+|a-b|=\sqrt{a^2+1}\end{align*}}$
両辺≧0なので、両辺を2乗すると、
(a+b)2+2|a+b||a－b|+(a－b)2=a2+1
⇔ a2+2b2+2|a2－b2|=1 ････①
ここで、直線L上の点で、x座標が1、－1である点をそれぞれ
P(1，a+b) 、 Q(－1，－a+b)
とおくと、Lと線分ABが交わるためには、
x軸に関してPとQが反対側にあればよい。
すなわち、PとQのy座標が異符号であればよいので、
(a+b)(－a+b)≦0 ⇔ a2－b2≧0 ････②
これより、①は
a2+2b2+2(a2－b2)=1
⇔ 3a2=1
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\pm\frac{1}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
Lが線分ABと交点を持たないときは、②の否定を考えると、
a2－b2＜0．
これより、①は
a2+2b2－2(a2－b2)=1
⇔ a2+1=4b2 ･･･①’
となる。
ここで、Lと原点の距離をｄとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$
であり、これに①’を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|b|}{\sqrt{4b^2}}=\frac{|b|}{2|b|}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)、(3)は図形的に考えると、もっと簡単に答えが出ると思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/17(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
xを実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 4 &\sf -1\\ \sf 2&\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,P=A-xE\end{align*}}$
とおく。PはP2=Pを満たすとする。以下の問に答えよ。
(1) xの値を求めよ。
(2) nを自然数とする。
An=anP+bnE
をみたすan、bnをnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
P=A－xE ････① より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix}\sf 4-x&\sf -1\\ \sf 2&\sf 1-x\end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、
Pの(1，2)成分≠0
なので、PはEを実数倍の形の行列ではない。････②
ハミルトン・ケーリーの定理より
P2－(5－2x)P+(x2－5x+6)E=O
であり、条件
P2=P ････③
を満たすので、
P－(5－2x)P=(x2－5x+6)E
⇔ －2(x－2)P=(x－2)(x－3)E．
②より、
－2(x－2)=0 かつ (x－2)(x－3)=0
であればよいので、
x=2
(2)
①と(1)より、
A=P+2E
条件式 An=anP+bnE ････(※) において、
n=1のとき、
A=a1P+b1E=P+2E
⇔ (a1－1)P=(2－b1)E
これと②より、
a1=1 、 b1=2 ････④
また、
An+1=AnA
なので、
an+1P+bn+1E=(anP+bnE)(P+2E)
=anP2+(2an+bn)P+2bnE
=(3an+bn)P+2bnE ←③より
⇔ (an+1－3an－bn)P=(bn+1－2bn)E
②より、
an+1=3an－bn ････⑤ かつ
bn+1=2bn ････⑥
④、⑥より数列{bn}は、初項2、公比2の等比数列なので、
bn=2n
これと⑤より
an+1=3an－2n ････⑤’
⑤’の両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}+1=\frac{3}{2}\left(\frac{a_n}{2^n}+1\right)\end{align*}}$
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{\frac{a_n}{2^n}+1\}\end{align*}}$ は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{2^n}+1=\left(\frac{3}{2}\right)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=3^n-2^n\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=3^n-2^n\ \ ,\ \ b_n=2^n \ \ }\end{align*}}$
(2)は二項定理を用いても解けますが、少し難しいかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/18(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
x＞0に対し関数ｆ(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\ \frac{dt}{1+t^2}\end{align*}}$
と定め、
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=f\ \left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$
とおく。以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ f\ (x)\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ g\ (x)\end{align*}}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+f\ \left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ f\ (x)=\frac{d}{dx}\ \int_0^x\ \frac{dt}{1+t^2}=\underline{\ \frac{1}{1+x^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
合成関数の微分の公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ g\ (x)=\frac{d}{dx}\ f\ \left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2}{1+x^2}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{1+x^2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ f\ (x)+\frac{d}{dx}\ g\ (x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{d}{dx}\ \bigg( f\ (x)+f\ \left(\frac{1}{x}\right)\bigg)=0\end{align*}}$
両辺をxで積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+f\ \left(\frac{1}{x}\right)=C\end{align*}}$ ････①
（Cは積分定数）
これにx=1を代入すると、
C=ｆ(1)+ｆ(1)=2ｆ(1) ････②
一方、与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\int_0^1\ \frac{dt}{1+t^2}\end{align*}}$ ．
ｔ=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、ｔ：0→1 のとき、$\scriptsize\sf{\theta}$ ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /4と対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\int_0^{\pi/4}\ \frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/4}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
これと①、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)+f\ \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$
(1)から丁寧に計算してゆけば問題ないでしょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/19(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
自然対数の底をｅとする。以下の問に答えよ。
(1) ｅ＜3であることを用いて、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \log2>\frac{3}{5}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}-x\end{align*}}$
の導関数を求めよ。
(3) 積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}\ \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x}\ dx\end{align*}}$
の値を求めよ。
(4) (3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log 2-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}\left(5\log 2-3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5}\left( \log 2^5-\log e^3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1}{5}\left( \log 2^5-\log 3^3\right)\end{align*}}$ ････①
ここで、25=32＞27=33かつ、底ｅ＞1なので、
①＞0となり、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\cos x\left(1+\cos x\right)-\sin x\left(-\sin x\right)}{\left(1+\cos x\right)^2}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x-1-2\cos x-\cos^2 x}{\left(1+\cos x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\cos x-\cos^2 x}{\left(1+\cos x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \ \frac{-\cos x}{1+\cos x}\ \ }\end{align*}}$
(3)
求める定積分の値をＩとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x}\ dx+\int_0^{\pi/2}\frac{-\cos x}{1+\cos x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\frac{-(1+\cos x)'}{1+\cos x}\ dx+\int_0^{\pi/2}\ f\ '(x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\log\left|1+\cos x\right|\right]_0^{\pi/2}+\left[\frac{\sin x}{1+\cos x}-x\right]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\log1-\log2\right)+\left(1-\frac{\pi}{2}\right)-(0-0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log2+1-\frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$
(4)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\log2+1-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{5}{3}+1-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3.2-\pi}{2}\end{align*}}$
ここで、3.2＞$\scriptsize\sf{\pi}$ =3.14････ なので、Ｉは正である。
(3)で分子を2つに分けるところがミソですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/20(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第5問
座標平面上の曲線Cを、媒介変数0≦ｔ≦1を用いて、
x=1－ｔ2
y=ｔ－ｔ3
と定める。以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cの概形を描け。
(2) 曲線Cとx軸で囲まれた部分が、y軸の周りに1回転してできる
回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xおよびyをそれぞれｔで微分すると
dx/dt=－2ｔ 、 dy/dt=1－3ｔ2 ．
0≦ｔ≦1の範囲で増減表を書くと下の通り。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-\frac{1-3t^2}{2t}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{dy}{dx}=-\infty\ \ ,\ \ \lim_{t\rightarrow 1-0}\frac{dy}{dx}=1\end{align*}}$
よって、Cの概形は右図のようになる。
(2)
曲線Cのうちで、
0≦ｔ≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ に対応する部分を、x=ｇ1(y)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ ≦ｔ≦1に対応する部分を、x=ｇ2(y)
とおくと、曲線Cとx軸で囲まれた部分を回転してできる回転体は、
【ｇ1(y)を回転させてできる回転体】から【ｇ2(y)を回転させてできる回転体】
を引いたものである(下図参照)。
よって、求める体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\frac{2}{3\sqrt3}}\{g_1(y)\}^2\ dy\ -\ \pi\int_0^{\frac{2}{3\sqrt3}}\{g_2(y)\}^2\ dy\end{align*}}$
x=1－ｔ2 、 y=ｔ－ｔ3と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\ (1-t^2)^2(1-3t^2)\ dt-\pi\int_{1}^{\frac{1}{\sqrt3}}\ (1-t^2)^2(1-3t^2)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{0}^{1}\ (1-t^2)^2(1-3t^2)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{0}^{1}\ (-3t^6+7t^4-5t^2+1)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[-\frac{3}{7}t^7+\frac{7}{5}t^5-\frac{5}{3}t^3+t\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32\pi}{105}\ \ }\end{align*}}$
先日やった2007年の問題と同じですね。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-332.html
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/21(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
