第1問
四面体ABCDにおいて、辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれ
O、P、Q、Rとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 辺AC、BD上にそれぞれ任意に点E、Fをとるとき、線分EFの
中点は4点O、P、Q、Rを含む平面上にあることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABCおよび△ACDにおいて、中点連結定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf RQ}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ････①
△ABD、△CBDにおいても同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf PQ}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ ････②
これらより、四角形OPQRは平行四辺形になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OR}\ \ }\end{align*}}$
(2)
辺ACおよびBD上の点E、Fは、それぞれ実数s、ｔを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=(1-s)\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}=(1-t)\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ ････④
と表せる。
EFの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf OE}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ ．
これに③、④を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{1}{2}\ s\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)+\frac{1}{2}\ t\left(\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OB}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =s\cdot\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf AC}+t\cdot\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ ←OはABの中点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =s\ \overrightarrow{\sf OP}+t\ \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
これより、点Mは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ によって張られる平面、
すなわち、4点O、P、Q、Rを含む平面上にある。
ベクトル入力が面倒なので、(1)は中点連結定理でごまかしました(笑)
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- 2012/03/12(月) 23:57:00|
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第2問
xy平面上において、Oを原点、Pを第Ⅰ象限内の点とする。このとき、
次の問に答えよ。
(1) 2点O、Pを頂点とし、y軸上に底辺をもつ二等辺三角形を考える。
この二等辺三角形の周の長さが常に2となるような点Pの軌跡Tの
方程式を求めよ。
(2) Tを(1)で求めた軌跡とし、aを実数とする。このとき、軌跡Tと直線
y=a(x－1)が第Ⅰ象限内で交点をもつような、aの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pの座標をP(X，Y) （X＞0、Y＞0）とおくと、
二等辺三角形のもう1つの頂点Qの座標は、
Q(0，2Y)と表せる。
OP+PQ+QO=2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{X^2+Y^2}+Y=2\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{X^2+Y^2}=1-Y\end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2=1-2Y+Y^2\ \ \ (1-Y\geqq 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=-\frac{1}{2}\ X^2+\frac{1}{2}\ \ (Y\leqq 1)\end{align*}}$
よって、点Pの軌跡Tは、放物線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}\ x^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
の第Ⅰ象限内で、これを図示したものが右図。
(2)
(1)で求めた軌跡Tと直線y=a(x－1)の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\ x^2+\frac{1}{2}=a\ (x-1)\end{align*}}$
⇔ x2－1+2a(x－1)=0
⇔ (x－1)(x+1+2a)=0
⇔ x=1、－2a－1
第Ⅰ象限内で交点をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<-2a-1<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -1\lt a<-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
変域に注意！
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- 2012/03/13(火) 23:57:00|
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第3問
$\small\sf{\sf f(x)=ｅ^x-x}$ について、次の問に答えよ。
(1) 実数xについて、ｆ(x)≧1であることを示せ。
(2) ｔは実数とする。このとき、曲線y=ｆ(x)と2直線x=ｔ、
x=ｔ－1およびx軸で囲まれた図形の面積S(ｔ)を求めよ。
(2) S(ｔ)を最小にするｔの値とその最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\sf ｆ'(x)=ｅ^x-1}$
となるので、x=0でｆ’(x)=0となる。
増減表を書くと、
のようになるので、ｆ(x)≧1である。
(2)
(1)より、y=ｆ(x)のグラフはx軸の上方にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_{t-1}^t\ (e^x-x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ e^x-\frac{1}{2}x^2\ \right]_{t-1}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^t-\frac{1}{2}t^2-\left(e^{t-1}-\frac{1}{2}\ (t-1)^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (e-1)\ e^{t-1}-t+\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたS(ｔ)の導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf S'(t)=(e-1)ｅ^{t-1}-1}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^{t-1}=\frac{1}{e-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t-1=\log\frac{1}{e-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1-\log(e-1)\end{align*}}$ ．
S(ｔ)の増減表を書くと、下の通り。
ここで、$\scriptsize\sf{\sf a=1-\log(e-1)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)=1-a+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log(e-1)+\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上よりS(ｔ)は、$\scriptsize\sf{\sf t=\log(ｅ-1)}$ のとき最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log(e-1)+\frac{1}{2}\end{align*}}$
をとる。
これまた標準的な問題なので、間違えちゃいけません。
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- 2012/03/14(水) 23:57:00|
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第4問
$\small\sf{\sf x=\sin ｔ\ ,\ \ y=\sin 2ｔ\ \ （0\leqq x\leqq\pi/2）}$ で表される曲線をCとおく。
このとき、次の問に答えよ。
(1) yをxの式で表せ。
(2) x軸とCで囲まれる図形Dの面積を求めよ。
(3) Dをy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt ｔ\leqq\pi/2}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\ t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
sinの倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2\sin t\ \cos\ t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
(2)
xおよびyをｔで微分すると、
$\scriptsize\sf{\sf dx/dt=\cos t\ ,\ \ dy/dt=2\cos 2ｔ}$
となるので、x、yについての増減表は、下のようになる。
よって、曲線Cの概形は右図のようになり、
求める面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1\ y\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、$\scriptsize\sf{\sf x=\sin ｔ\ ,\ \ y=\sin 2ｔ}$
と置換すると、dx/dt=cosｔであり、
x：0→1 のとき ｔ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /2 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi/2}\ \sin 2t\ \cos t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{\pi/2}\ \sin t\ \cos^2 t\ dt\end{align*}}$
さらに、$\scriptsize\sf{\sf p=\cos t}$ と置換すると、$\scriptsize\sf{\sf dp/dt=-\sin t}$ であり、
ｔ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /2 のとき p：1→0 なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_1^{0}\ (-p)\ dp=\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
曲線Cのうちで、
$\scriptsize\sf{\pi/4\leqq ｔ\leqq\pi/2}$ に対応する部分を、$\scriptsize\sf{\sf x=ｇ_1(y)}$
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq ｔ\leqq\pi/4}$ に対応する部分を、$\scriptsize\sf{\sf x=ｇ_2(y)}$
とおくと、Dを回転してできる回転体は、
【$\scriptsize\sf{\sf ｇ_1(y)}$ を回転させてできる回転体】から【$\scriptsize\sf{\sf ｇ_2(y)}$ を回転させてできる回転体】
を引いたものである(下図参照)。
よって、求める体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^1\{g_1(y)\}^2\ dy\ -\ \pi\int_0^1\{g_2(y)\}^2\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf x=\sin t\ ,\ \ y=\sin 2t}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{\pi/2}^{\pi/4}\ \sin^2t\cdot2\cos 2t\ dt-\pi\int_0^{\pi/4}\ \sin^2t\cdot2\cos 2t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\int_{\pi/2}^{0}\ \sin^2t\cdot\cos 2t\ dt\end{align*}}$
cosの倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{\pi/2}^{0}\ (1-\cos 2t)\ \cos 2t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{\pi/2}^{0}\ \cos 2t\ dt-\pi\int_{\pi/2}^{0}\ \cos^2 2t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{2}\ \sin 2t\right]_{\pi/2}^{0}-\frac{\pi}{2}\int_{\pi/2}^{0}\left(1+\cos 4t\right)\ dt\end{align*}}$ ←cosの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\pi}{2}\left[t+\frac{1}{4}\sin 4t\right]_{\pi/2}^{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi^2}{4}\ \ }\end{align*}}$
(3)は「バウムクーヘン積分」の公式を使えば一発なんでしょうけど、
証明抜きでいきなり使うと流石にマズイでしょうね＾＾；；
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- 2012/03/15(木) 23:57:00|
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第5問
次の問に答えよ。
(1) 1、2、3の3種類の数字から重複を許して3つ選ぶ。選ばれた数の
和が3の倍数となる組み合わせをすべて求めよ。
(2) 1の数字を書いたカードを3枚、2の数字を書いたカードを3枚、3の
数字を書いたカードを3枚、計9枚用意する。この中から無作為に、
一度に3枚のカードを選んだとき、カードに書かれた数の和が3の倍
数となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1、2、3の中から重複を許して選ぶ組み合わせは、
(1，1，1) (1，1，2) (1，1，3) (1，2，2)
(1，2，3) (1，3，3) (2，2，2) (2，2，3)
(2，3，3) (3，3，3)
の10通り。
このうちで、和が3の倍数になるものは、
(1，1，1) (1，2，3) (2，2，2) (3，3，3)
(2)
3枚のカードの選び方の総数は
9C3=84 通り
和が3の倍数になるような3数の組み合わせは、(1)より4通り。
①3数の組み合わせが(1，1，1)、(2，2，2)、(3，3，3)
となるのは、それぞれ1通りずつ。
②3数の組み合わせが(1，2，3)となるものは、
1、2、3のカードがそれぞれ3枚ずつあるので、
33=27 通り
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\times3+27}{84}=\underline{\ \frac{5}{14}\ \ }\end{align*}}$
まぁ、これは外しちゃだめですね。
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- 2012/03/16(金) 23:57:00|
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