第1問
0以上の実数ｔに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (t)=\int_0^1\ |x^2-t^2|\ dt\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) F(ｔ)をｔを用いて表せ。
(2) ｔ≧0において、関数F(ｔ)が最小値をとるときのｔの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｔ≧0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=|x^2-t^2|=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+t^2 & (\sf -t\leqq x\leqq t) \\ \sf x^2-t^2 & (\sf x<-t\ ,\ t\lt x) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
となる。
(ⅰ)0≦ｔ≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (t)=\int_0^t\left(-x^2+t^2\right)\ dx+\int_t^1\left(x^2-t^2\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{3}x^3+t^2x\right]_0^t+\left[\frac{1}{3}x^3-t^2x\right]_t^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{1}{3}t^3+t^3\right)+\left(\frac{1}{3}-t^2\right)-\left(\frac{1}{3}t^3-t^3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}t^3-t^2+\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
(ⅱ)1＜ｔのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (t)=\int_0^1\left(-x^2+t^2\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{3}x^3+t^2x\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ t^2-\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(ⅰ)0≦ｔ≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(t)=4t^2-2t=2t(2t-1)\end{align*}}$
(ⅱ)1＜ｔのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(t)=2t\end{align*}}$
これらをもとに、ｔ≧0における増減表を書くと下の通り。
よって、F(ｔ)が最小となるときのｔの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
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第2問
実数$\small\sf{\theta}$ に対し、座標空間の2点A(cos$\small\sf{\theta}$ ，sin$\small\sf{\theta}$ ，0)、
B(0，sin2$\small\sf{\theta}$ ，cos2$\small\sf{\theta}$ )を考える。次の問いに答えよ。
(1) 点A、Bと原点Ｏの3点は同一直線上にないことを示せ。
(2) 三角形ＯABの面積Sをsin$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) $\small\sf{\theta}$ が実数全体を動くとき、(2)で求めたSの最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
3点Ｏ、A、Bが同一直線上にあると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=k\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ････①
となる実数ｋが存在する。
ここで、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =0となる$\scriptsize\sf{\theta}$ は存在しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ は零ベクトルとはなりえず、ｋ≠0。
①の両辺の各成分を比較すると、
cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0 ････② かつ
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =ｋsin2$\scriptsize\sf{\theta}$ かつ
0=ｋcos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ････③
ｋ≠0と③より、
cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ =2cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －1=0
これと②を同時に満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ は存在せず、仮定と矛盾する。
よって、3点Ｏ、A、Bは同一直線上にはない。
(2)
△ＯABの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)^2}\end{align*}}$
として求めることができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2=\cos^22\theta+\sin^22\theta=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\sin2\theta\sin\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{1\cdot 1-\left(\sin2\theta\sin\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1-\sin^22\theta\sin^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1-4\sin^4\theta\cos^2\theta}\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1-4\sin^4\theta\left(1-\sin^2\theta\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{4\sin^6\theta-4\sin^4\theta+1}\ \ }\end{align*}}$
(3)
ｔ=sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、－1≦ｔ≦1．
ｔについての3次関数ｆ(ｔ)を
ｆ(ｔ)=4ｔ3－4ｔ2+1
とおくと、
ｆ'(ｔ)=12ｔ2－8ｔ=4ｔ(3ｔ－2)
となるので、－1≦ｔ≦1におけるｆ(ｔ)の増減は次のようになる。
よって、
ｆ(ｔ)の最大値は1、最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{27}\end{align*}}$
となり、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{f\ (t)}\end{align*}}$
なので、
Sの最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
Sの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{33}}{18}\end{align*}}$
となる。
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- 2012/02/26(日) 00:23:40|
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第3問
三角形ABCの頂点A、B、Cは反時計回りに並んでいるものとする。
点Pはいずれかの頂点の位置にあり、1枚の硬貨を1回投げるごとに、
表が出れば時計回りに隣の頂点へ、裏が出れば反時計回りに隣の頂
点へ、移動するものとする。点Pは最初、頂点Aの位置にあったとする。
硬貨をｎ回投げたとき、点Pが頂点Aの位置に戻る確率をanで表す。
次の問いに答えよ。
(1) ｎ≧2に対しanをan-1を用いて表せ。
(2) anを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
硬貨をｎ回（ｎ=0，1，2，････）投げたとき、点Pが頂点A、B、Cの
位置にある確率をそれぞれ an、bn、cnとおくと、
a0=1 、 b0=c0=0 ････①
コインを投げて点Pが頂点Aに来るのは、
Bに位置する状態から表を出す、または、
Cに位置する状態から裏を出す場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{2}\ b_{n-1}+\frac{1}{2}\ c_{n-1}\end{align*}}$
ここで、an-1+bn-1+cn-1=1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{2}\left(1- a_{n-1}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a_{n-1}-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_{n}-\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列となる。
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(a_0-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
理系と共通問題ですが、文系の生徒でもこの手の問題は
一回ぐらいは解いたことがあると思います。
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- 2012/02/26(日) 00:23:44|
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第4問
xy平面において、x軸のx＜0である部分をC1、x軸のx＞1である部分を
C2とする。また、2点(0，－1)、(1，－1)を結ぶ線分をＫとする。y＞0を
みたす点(x，y)からは、C1とC2が障害となり、C1とC2の間を通してしか、
Ｋは見えないものとする。点(s，1)から見えるＫの部分の長さをｆ(s)、
点(2，ｔ)（ｔ＞0）から見えるＫの部分の長さをｇ(ｔ)とおく。ただし、Ｋがまっ
たく見えないとき、または、Ｋの1点のみが見えるとき、ｆ(s)、ｇ(ｔ)の値は
0とする。次の問いに答えよ。
(1) ｆ(s)を求めよ。また、sが実数全体を動くとき、関数ｆ(s)のグラフを描け。
(2) ｇ(ｔ)を求めよ。また、ｔが正の実数全体を動くとき、関数ｇ(ｔ)のグラフを
描け。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2点(0，0)、(s，1)を通る直線は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{s}x\end{align*}}$ であり、
これと直線y=-1との交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-s\end{align*}}$
一方、2点(1，0)、(s，1)を通る直線は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{s-1}\left(x-1\right)\end{align*}}$ であり、
これと直線y=-1との交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s-1}\left(x-1\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-s+2\end{align*}}$
以上より、点(s，1)からは、直線y=-1の-s≦x≦-s+2 ・・・・・・(A)
の部分が見えるので、(A)とKの共通部分の長さがf(s)である。
s＜-1のとき、1＜-sなので、
f(s)=0
-1≦s＜0のとき、0＜-s≦1なので
f(s)=1-(-s)=s+1
0≦s＜1のとき、-s≦0かつ1＜2-sなので、
f(s)=1
1≦s＜2のとき、0＜2-s≦1なので、
f(s)=-s+2
2＜sのとき、2-s＜0なので、
f(s)=0
これらを図示すると右図のようになる。
(2)
2点(0，0)、(2，t)を通る直線は、y=t(x-1)であり、
これと直線y=-1との交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\left(x-1\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1-\frac{1}{t}\end{align*}}$
よって、点(2，t)からは、直線y=-1の $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{t}\leqq x<1\end{align*}}$ ・・・・・・(B)
の部分が見えるので、(B)とKの共通部分の長さがg(s)である。
0＜ｔ＜1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{t}<0\end{align*}}$ なので、
g(t)=0
1≦tのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 1-\frac{1}{t}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=1-\frac{1}{t}\end{align*}}$
これらを図示すると右図のようになる。
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- 2012/02/26(日) 00:23:49|
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