－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{5}{2}\lt k\lt\frac{5}{2}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{4}-y^2\end{align*}}$
⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{6}{\sqrt5},\ \frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$ ⑥ 45
【解説】
①
Cの方程式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \ \left(a,b\gt 0\right) \end{align*}}$
とおくと、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (-3,0)\end{align*}}$ は長軸上の頂点となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=3\end{align*}}$
また、Cは点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\sqrt3,\ -\frac{2\sqrt6}{3}\right)\end{align*}}$ を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(\sqrt3\right)^2}{3^2}+\frac{\left(-\frac{2\sqrt6}{3}\right)^2}{b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=4\end{align*}}$
よって、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}\end{align*}}$
②
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\underline{\sqrt5} \end{align*}}$
③
Cの方程式と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{2}x+k\end{align*}}$ を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}x+k\right)^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 25x^2+36kx+36k^2-144=0\end{align*}}$
これが異なる2つの実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(18k)^2-25(36k^2-144)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\frac{5}{2}\lt k\lt\frac{5}{2}}\end{align*}}$
④
求める双曲線をDとする。Dの方程式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1\ \ \ \left(c,d\gt 0\right) \end{align*}}$
とおくと、焦点に関して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{c^2+d^2}=\sqrt5\ \ \Leftrightarrow\ \ c^2+d^2=5 \end{align*}}$
Dの漸近線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{c}\pm\frac{y}{d}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{d}{c}x\end{align*}}$
であり、これが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{1}{2}x\end{align*}}$ と一致するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2d \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2\ ,\ d=1\end{align*}}$ となるので、Dの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{x^2}{4}-y^2=1}\end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C：\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2+9y^2=36\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D：\ \frac{x^2}{4}-y^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4y^2=4\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2=\frac{36}{5}\ ,\ \ y^2=\frac{4}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{6}{\sqrt5}\ ,\ \ y=\pm\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$
Aは第1象限内の共有点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{A\left(\frac{6}{\sqrt5}\ ,\ \frac{2}{\sqrt5}\right)}\end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AO}=\left(-\frac{6}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AF_1}=\left(-\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AO}\right|=\sqrt{\left(-\frac{6}{\sqrt5}\right)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2}=2\sqrt{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf AF_1}\right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt5}\right)^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AO}\cdot\overrightarrow{\sf AF_1}=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2 \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle OAF_1=\frac{2}{2\sqrt2\cdot 1} =\frac{1}{\sqrt2} \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle OAF_1=\underline{45^{\circ}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/03(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（2/5）
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第4問
次の をうめよ。
(1) 原点を出発して数直線上を移動する点Pがある。さいころを1回投げて奇数の目が
出たらPは正の方向に3だけ進み、偶数の目が出たらPは負の方向に2だけ進む。
さいころを10回投げたとき、Pが原点にある確率は ① である。
(2) k＞0とする。Oを原点とする座標平面上に傾きがkで、点(2，0)を通る直線がある。
この直線と点Oとの距離が1以上$\small\sf{\sqrt2}$ 以下であるようなkの値の範囲は 2 である。
(3) $\small\sf{t=\log _2x}$ とする。$\small\sf{\log_x8}$ をtを用いて表すと$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\mbox{③}}{t}\end{align*}}$ である。また、$\small\sf{x\gt 1}$ のとき、
$\small\sf{\log_x8+\log_2x^2}$ の最小値は ④ である。
(4) 座標空間に3点$\small\sf{A(1,2,0)\ ,\ B(1,1,1)\ ,\ C(0,-1,a)}$ があり、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf AC}}$ のなす角は90°である。
a= ⑤ であり、点$\small\sf{P(2,3,b)}$ が平面ABC上にあるとき、b= ⑥ である。
(5) 複素数平面上に3点$\small\sf{A(-2)\ ,\ B(\beta)\ ,\ C(\gamma)}$ を頂点とする正三角形があり、O(0)が
その重心であるとき、$\small\sf{\beta\gamma=}$ ⑦ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{105}{512}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{\sqrt3}\leqq k\leqq 1 \end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{t}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt6\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3\end{align*}}$
⑥ 5 ⑦ 4
【解説】
①
10回のうち、奇数の目がx回、偶数の目がy回出たとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x+y=10 \\ 3x-2y=0\end{array} \right.\end{eqnarray}}$
これを解くと、$\scriptsize\sf{x=4\ ,\ \ y=6}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{10}C_4\left(\frac{3}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^6=\underline{\frac{105}{512}} \end{align*}}$
②
この直線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=k\left(x-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ kx-y-2k=0\end{align*}}$
なので、原点からの距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq\frac{\left|0-0-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}}\leqq \sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+1\leqq 4k^2\leqq 2(k^2+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\leqq k^2\leqq 1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{1}{\sqrt3}\leqq k\leqq 1\ \ (\because\ k\gt 0)}\end{align*}}$
③
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_8x=\frac{\log_28}{\log_2x}=\underline{\frac{3}{t}}\end{align*}}$
④
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_2x^2=2\log_2x=2t \end{align*}}$
x＞1より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\log_2x\gt 0\end{align*}}$ なので、相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_x8+\log_2x^2&=\sf \frac{3}{t}+2t \\ &\geqq\sf 2\sqrt{\frac{3}{t}\cdot 2t} \\ &=\sf 2\sqrt6\end{align*}}$
よって、求める最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{2\sqrt6}\end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A(1,2,0)\ ,\ B(1,1,1)\ ,\ C(0,-1,a)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(0,-1,1\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(-1,-3,a\right)\end{align*}}$
これら2つのベクトルのなす角が90°なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=0+3+a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=-3} \end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(1,1,b\right) \end{align*}}$
Pは平面ABC上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1,1,b\right)=s\left(0,-1,1\right)+t\left(-1,-3,-3\right)\end{align*}}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf 1=-t\\ \sf 1=-s-3t\\ \sf b=s-3t \end{array} \right.\end{eqnarray} }$
これらを連立させて解くと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{b=5} \end{align*}}$
⑦
Oは正三角形ABCの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA=OB=OC=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle COA=\angle AOB=\angle BOC=120^{\circ}\end{align*}}$
右図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=1+\sqrt3\ i \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \gamma=2\left\{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right\}=1-\sqrt3\ i \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\gamma=\left(1+\sqrt3\ i\right)\left(1-\sqrt3\ i\right)=\underline{4}\end{align*}}$
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- 2019/03/04(月) 23:57:00|
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