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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(2月5日) 数学1



第1問

  関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{x^3+ax}{x^2+3}\end{align*}}$ があり、x=1で極値をもつ。ただし、aは定数である。
  また、座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。次の問いに答えよ。

 (1) aの値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\big\{f(x)-x\big\}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) f(x)の極値を求め、増減表をかけ。ただし、曲線の凹凸については調べる
    必要はない。

 (4) Cとx軸のx≧0の部分で囲まれる図形の面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/03/01(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019(2/5)
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2019関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  数列$\small\sf{\{a_n\}\ ,\ \{b_n\}\ ,\ \{c_n\} }$ を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{3}\ ,\ \ b_1=5a_1a_2\ ,\ \ \end{align*}}$ $\small\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sf a_n-a_{n+1}=2a_na_{n+1}\\ \sf b_{n+1}-b_n=4a_na_{n+1}a_{n+2} \\ \sf c_n=\frac{1}{a_n} \end{array} \right.\end{eqnarray}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
  このとき、次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{b_1=}$  ①  である。

 (2) $\small\sf{c_{n+1}=c_n+}$  ②  と表される。また、$\small\sf{\begin{align*}\sf S=c_1^2+c_2^2+c_3^2+\cdots +c_n^2\end{align*}}$ をnを用いて表すと、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{n}{3}\big(\end{align*}}$  ③  $\small\sf{\big)}$ である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{30}a_ka_{k+1}=\end{align*}}$  ④  である。

 (4) $\small\sf{a_na_{n+1}a_{n+2}=}$  ⑤  $\small\sf{\left(a_na_{n+1}-a_{n+1}a_{n+2}\right)}$ を利用すると、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{30}b_k=\end{align*}}$  ⑥  である。



2019関西大 理系(2月5日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標平面上に、2つの焦点$\small\sf{F_1\left(p,0\right)\ ,\ F_2\left(-p,0\right)\ \ \left(p\gt 0\right)}$ からの距離の和が
  一定である楕円Cがあり、Cは2点$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(-3,0\right)\ ,\ \left(\sqrt3,-\frac{2\sqrt6}{3}\right)\end{align*}}$ を通る。このとき、次の   
  をうめよ。

 (1) Cの方程式は ①  =1である。

 (2) p= ②  である。

 (3) kを定数とする。Cと直線$\small\sf{\begin{align*}\sf y\frac{1}{2}x+k\end{align*}}$ が異なる2つの共有点をもつときのkの値の範囲は
    ③  である。

 (4) F1、F2を焦点とし、2本の漸近線が$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\pm\frac{1}{2}x\end{align*}}$ をもつ双曲線の方程式は ④  =1
    である。

 (5) (4)の双曲線とCの共有点のうち、第1象限にあるものをAとする。Aの座標は ⑤ 
    であり、∠OAF1= ⑥  °である。




2019関西大 理系(2月5日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 原点を出発して数直線上を移動する点Pがある。さいころを1回投げて奇数の目が
    出たらPは正の方向に3だけ進み、偶数の目が出たらPは負の方向に2だけ進む。
    さいころを10回投げたとき、Pが原点にある確率は ①  である。

 (2) k>0とする。Oを原点とする座標平面上に傾きがkで、点(2,0)を通る直線がある。
    この直線と点Oとの距離が1以上$\small\sf{\sqrt2}$ 以下であるようなkの値の範囲は 2  である。

 (3) $\small\sf{t=\log _2x}$ とする。$\small\sf{\log_x8}$ をtを用いて表すと$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\mbox{③}}{t}\end{align*}}$ である。また、$\small\sf{x\gt 1}$ のとき、
    $\small\sf{\log_x8+\log_2x^2}$ の最小値は ④  である。

 (4) 座標空間に3点$\small\sf{A(1,2,0)\ ,\ B(1,1,1)\ ,\ C(0,-1,a)}$ があり、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf AC}}$ のなす角は90°である。
    a= ⑤  であり、点$\small\sf{P(2,3,b)}$ が平面ABC上にあるとき、b= ⑥  である。

 (5) 複素数平面上に3点$\small\sf{A(-2)\ ,\ B(\beta)\ ,\ C(\gamma)}$ を頂点とする正三角形があり、O(0)が
    その重心であるとき、$\small\sf{\beta\gamma=}$  ⑦  である。