第3問
a1=1、 an+1=an2+2an (n=1，2，･･･)で定められる数列{an}を考える。
次の問いに答えよ。ただし、答えはすべて10進法で答えよ。
(1) bn=an+1とおく。bn+1をbnで表し、bnをnを用いて表せ。
(2) bnを2進法で表したときの桁数を求めよ。
(3) anを2進法で表したときの各位の数の和を求めよ。
(4) cn=b1b2･･･bnとおく。cnをnで表し、an2を整数$\small\sf{\sqrt{2c_n}}$ で割ったときの商と余りを
求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=a_n+1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=b_n-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=a_n^{\ 2}+2a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-1=\left(b_n-1\right)^2+2\left(b_n-1\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{b_{n+1}=b_n^{\ 2}}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=a_1+1=2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_{n-1}^{\ 2} \\ &=\sf b_{n-2}^{\ 4}\\ &\vdots\\ &=\sf b_{1}^{\ 2^{n-1}}\\ &=\sf \underline{2^{ 2^{n-1}}} \end{align*}}$
(2)
(1)で求めたbnを2進法で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\sf 2^{ 2^{n-1}}\ _{(10)} =1\underbrace{ 00 \ldots 0 }_{2^{n-1}\mbox{個} }\ _{(2)} \end{align*}}$
となるので、bnを2進法で表すと$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{2^{n-1}+1}\end{align*}}$ 桁の数となる。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=b_n-1=\underbrace{ 11 \ldots 1 }_{2^{n-1}\mbox{個} }\ _{(2)} \end{align*}}$
なので、anを2進法で表したときの各位の数の和は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{2^{n-1}}\end{align*}}$ である。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_n&=\sf b_1b_2b_3\cdot \cdots\cdot b_n \\ &=\sf 2^1\cdot 2^2\cdot 2^4\cdot \cdots \cdot 2^{2^{n-1}}\\ &=\sf 2^{1+2+4+\cdots +2^{n-1}}\\ &=\sf 2^{\frac{2^n-1}{2-1}}\\ &=\sf \underline{2^{2^n-1}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{2c_n}=\sqrt{2\cdot 2^{2^n-1}}=\sqrt{2^{2^n}}=2^{2^{n-1}}=b_n\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n\ ^2&=\sf \left(b_n-1\right)^2 \\ &=\sf b_n^2-2b_n+1\\ &=\sf b_n\left(b_n-2\right)+1\end{align*}}$
となるので、an2を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{2c_n}\end{align*}}$ で割ったときの商は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n-2=\underline{2^{2^{n-1}}-2} \end{align*}}$ 、余りは1である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/27(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019（2/2）
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第4問
次の をうめよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\sin 2\theta-\sqrt3\cos 2\theta\ \ \left(\frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{7}{12}\pi\right)\end{align*}}$ の最大値は ① で、最小値は ② である。
(2) さいころを2回続けて投げ、出る目を順にa、bとする。a、b、6が三角形の3辺の長さになる
確率は ③ である。また、a、b、6が三角形の3辺の長さになるとき、その三角形が二等辺
三角形である条件つき確率は ④ である。
(3) xy座標平面上において、直線$\small\sf{y=x}$ に関して、曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ と対称な曲線をC1とし、
直線$\small\sf{y=-1}$ に関して、曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ と対称な曲線をC2とする。曲線C2の漸近線と曲線C1の
交点の座標をすべて求めると、 ⑤ である。
(4) 3x+5y=7を満たす整数x、yで、100≦x+y≦200となる(x，y)の個数は ⑥
である。
(5) 実数x、y、zがx2+y2+z2=18を満たしながら変化するとき、2x+y+2zが最小値を
とるのは、(x，y，z)= ⑦ のときである。
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【解答】
① 2 ② 1 ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{7}{12} \end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{13}{21}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-1,-3\right)\ ,\ \left(-2,-2\right)\end{align*}}$
⑥ 50 ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(-2\sqrt2,-\sqrt2,-2\sqrt2\right) \end{align*}}$
【解説】
① 、 ②
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)&=\sf \sin 2\theta-\sqrt3\cos 2\theta \\ &=\sf 2\left(\frac{1}{2}\sin 2\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos 2\theta\right)\\ &=\sf 2\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{7}{12}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{3}\leqq 2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{5}{6}\pi \end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)\end{align*}}$ は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、最大値2
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ のとき、最小値1
をとる。
③ 、 ④
a+6＞b とb+6＞aは常に成り立つので、a、b、6が
三角形の3辺の長さにならないのはa+b≦6のときであり、
このようなa、bの目の出方は15通りある。
（右表の×印）
よって、a、b、6が三角形の3辺の長さになる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{15}{6^2}=\underline{\frac{7}{12}} \end{align*}}$
また、a、b、6が二等辺三角形の3辺の長さになるのは、
a=6 または b=6 または a=b
のときであり、このようなa、bの目の出方は13通りある。
（右表の〇印）
よって、a、b、6が二等辺三角形の3辺の長さになる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{13}{6^2}=\frac{13}{36}\end{align*}}$
となるので、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{13}{36}}{\frac{7}{12}}=\underline{\frac{13}{21}} \end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ x+1=\frac{2}{y}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2}{y}-1\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ の逆関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x}-1\end{align*}}$ となり、これがC1である。
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ の漸近線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-1\ ,\ y=0\end{align*}}$
なので、C2の漸近線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-1\ ,\ y=-2\end{align*}}$
よって、C1と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-1 \end{align*}}$ の交点のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{-1}-1=-3\end{align*}}$
C1と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-2 \end{align*}}$ の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2=\frac{2}{x}-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2\end{align*}}$
以上より、求める交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\left(-1,-3\right)\ ,\ \left(-2,-2\right)}\end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=x+y\end{align*}}$ とおくと、zは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 100\leqq z\leqq 200 \end{align*}}$ ･･･(#) を満たす整数であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x+5y=7&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3z+2y=7 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y=\frac{7-3z}{2}=3-z+\frac{1-z}{2}\end{align*}}$
yが整数であるためには、zが奇数であればよいので、(#)の範囲には50個ある
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x+y+2z=k\ \ \Leftrightarrow\ \ y=k-2x-2z\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+y^2+z^2=18 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(k-2x-2z\right)^2+z^2=18 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2+\left(8z-4k\right)x+5z^2-4kz+k^2-18=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5\left(x+\frac{4z-2k}{5}\right)^2+\frac{9}{5}z^2-\frac{4}{5}kz+\frac{1}{5}k^2-18=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5\left(x+\frac{4z-2k}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\left(z-\frac{2k}{5}\right)^2=18-\frac{k^2}{9}\end{align*}}$
x、zは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 18-\frac{k^2}{9}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -9\sqrt2\leqq k\leqq 9\sqrt2\end{align*}}$
よって、kの最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k_{min}=-9\sqrt2\end{align*}}$ であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\frac{2k}{9}=-2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-\frac{4z-2k}{5}=-2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=k-2x-2z=-\sqrt2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x,y,z\right)=\underline{\left(-2\sqrt2,-\sqrt2,-2\sqrt2\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/02/28(木) 23:57:00|
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