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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{e^x}{\sin x}\end{align*}}$ について、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数f'(x)を求めよ。

 (2) $\small\sf{0\lt x\lt 2\pi}$ において、f(x)の極値を求めよ。

 (3) $\small\sf{2\pi\lt x}$ において、f(x)の極小値を小さい方から順に並べたものを
    a1,a2,・・・,ak,・・・ (k≧1)とする。akを求めよ。
    ただし、akの求め方を述べる必要はない。akの値のみを答えよ。

 (4) (3)で求めたak (k=1,2,・・・,n,・・・)に対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(a_k\right)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(a_1\right)^{\frac{1}{n}}+\left(a_2\right)^{\frac{1}{n}}+\cdots +\left(a_n\right)^{\frac{1}{n}}}{n}\end{align*}}$
    の値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/25(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019(2/2)
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2019関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  虚数単位を i で表した複素数平面上の図形について、次の    をうめよ。

  原点をO(0)とする複素数平面上に2点A(2)、B(z)を考える。ここで点Bは原点O
  と点Aと異なる点とし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{\left(\sqrt3+i\right)z}{2\left(z-2\right)}\end{align*}}$
  を定義する。$\small\sf{w=\sqrt3}$ のとき、z= ①  + ②  i である。 ①  ② 
  実数値で答えよ。また、このzに対して、∠OBA= ③  である。ただし ③ 
  弧度法で答えよ。
  wが実数値をとるようなzがどのような図形の上にあるかを考える。$\small\sf{w=\overline{w}}$ を整理して
  zのみの式にすると
        $\small\sf{\big|z-\big(}$  ④  $\small\sf{\big)\big|=}$  ⑤    ・・・・・・(*)
  となるので、点zは中心が複素数 ④  で表され、半径 ⑤  の円周上にある
  ことがわかる。この円をCとする。次の式
        $\small\sf{\left(1+2i\right)z+\left(1-2i\right)\overline{z}=2-4\sqrt3}$
  をみたす点zの表す図形Lと円Cとの共有点を調べる。複素数$\small\sf{\alpha}$ に対して
        $\small\sf{\beta=\left(1+2i\right)\alpha}$
  とおく。$\small\sf{\alpha}$ が図形Lと円Cとの共有点になるとする。$\small\sf{\alpha}$ は図形L上の点だから、$\small\sf{\beta}$ の実部
  は ⑥  である。さらに$\small\sf{\alpha}$ は(*)の式を満たすので、点$\small\sf{\beta}$ は中心を表す複素数が
  $\small\sf{1-2\sqrt3+\big(}$  ⑦  $\small\sf{\big)\ i}$ であって、半径が ⑧  である円周上にある。このことから
        $\small\sf{\beta=}$  ⑥  $\small\sf{+\big(2+\sqrt3\pm}$  ⑨  $\small\sf{\big)\ i}$
  と求まる。




2019関西大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  a1=1、 an+1=an2+2an (n=1,2,・・・)で定められる数列{an}を考える。
  次の問いに答えよ。ただし、答えはすべて10進法で答えよ。

 (1) bn=an+1とおく。bn+1をbnで表し、bnをnを用いて表せ。

 (2) bnを2進法で表したときの桁数を求めよ。

 (3) anを2進法で表したときの各位の数の和を求めよ。
 
 (4) cn=b1b2・・・bnとおく。cnをnで表し、an2を整数$\small\sf{\sqrt{2c_n}}$ で割ったときの商と余りを
    求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/27(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019(2/2)
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2019関西大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\sin 2\theta-\sqrt3\cos 2\theta\ \ \left(\frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{7}{12}\pi\right)\end{align*}}$ の最大値は ①  で、最小値は ②  である。

 (2) さいころを2回続けて投げ、出る目を順にa、bとする。a、b、6が三角形の3辺の長さになる
    確率は ③  である。また、a、b、6が三角形の3辺の長さになるとき、その三角形が二等辺
    三角形である条件つき確率は ④  である。

 (3) xy座標平面上において、直線$\small\sf{y=x}$ に関して、曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ と対称な曲線をC1とし、
    直線$\small\sf{y=-1}$ に関して、曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2}{x+1}\end{align*}}$ と対称な曲線をC2とする。曲線C2の漸近線と曲線C1
    交点の座標をすべて求めると、 ⑤  である。

 (4) 3x+5y=7を満たす整数x、yで、100≦x+y≦200となる(x,y)の個数は ⑥ 
    である。

 (5) 実数x、y、zがx2+y2+z2=18を満たしながら変化するとき、2x+y+2zが最小値を
    とるのは、(x,y,z)= ⑦  のときである。