－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① 3 ② m+2 ③ $\scriptsize\sf{a_m+m+2}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\left(m+1\right)\left(m+2\right)\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\left(n+2\right)\left(n+3\right)\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
【解説】
①
この範囲にある格子点は$\scriptsize\sf{(0,0),\ (1,0),\ (0,1)}$ なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=\underline{3}\end{align*}}$
②
この線分上にある格子点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (0,m+1),\ (1,m),\ (2,m-1),\ \cdots ,(m+1,0)\end{align*}}$
の$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{m+2}\end{align*}}$ 個
③
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{m+1}=\underline{a_m+m+2}\end{align*}}$
④
m≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_m&=\sf a_1+\sum_{k=1}^{m-1}(k+2) \\ &=\sf 3+\frac{1}{2}m(m-1)+2(m-1)\\ &=\sf\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+1 \\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}(m+1)(m+2)}\end{align*}}$
⑤
z=kのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y+z\leqq n\ \ \Leftrightarrow\ \ x+y\leqq n-k \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\geqq 0\ ,\ \ y\geqq 0\end{align*}}$
これらの連立不等式で表される領域に含まれる格子点の個数は、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n-k}=\underline{\frac{1}{2}(n-k+1)(n-k+2)}\end{align*}}$
⑥
0≦k≦nなので、⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_n&=\sf \sum_{k=0}^n\frac{1}{2}(n-k+1)(n-k+2) \\ &=\sf \frac{1}{2}(n+1)(n+2)+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left\{k^2-(2n+3)k+(n+1)(n+2)\right\}\\ &=\sf \frac{1}{2}(n+1)(n+2)+\frac{1}{12}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n(n+1)(2n+3)+\frac{1}{2}n(n+1)(n+2)\\ &=\sf \frac{1}{12}(n+1)(2n^2+10n+12)\\ &=\sf (n+1)\cdot\underline{\frac{1}{6}(n+2)(n+3)}\end{align*}}$
⑦
⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^N\frac{1}{b_n}&=\sf\sum_{n=1}^N\frac{6}{n(n+1)(n+2)} \\ &=\sf\sum_{n=1}^N\left\{\frac{3}{n(n+1)}-\frac{3}{(n+1)(n+2)}\right\} \\ &=\sf \left(\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{3}{3\cdot 4}\right)+\left(\frac{3}{3\cdot 4}-\frac{3}{4\cdot 5}\right)+\cdots +\left\{\frac{3}{(N+1)(N+2)}-\frac{3}{(N+2)(N+3)}\right\}\\ &=\sf \frac{1}{2}-\frac{3}{(N+2)(N+3)}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n} &=\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{b_n} \\ &=\sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\left\{\frac{1}{2}-\frac{3}{(N+2)(N+3)}\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
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- 2019/02/10(日) 23:57:00|
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第3問
四面体OABCと0＜x＜1に対して、辺OAを(1-x)：xに内分する点をP、辺BCを
x：(1-x)に内分する点をQ、線分PQをx：(1-x)に内分する点をRとする。
ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA},\ \overrightarrow{\sf OB},\ \overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}}$ で表す。このとき次の問いに答えよ。
(1) ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OR}}$ をxと$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}}$ を用いて表せ。
(2) 四面体OABCの底面ABC上の点をSとする。ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OS}}$ を実数s、t、uを用いて
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OS}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}}$ と表したとき、s+t+u=1を示せ。
(3) 直線ORと四面体OABCの底面ABCの交点をTとする。このとき実数kを用いて
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OT}=k\overrightarrow{\sf OR}}$ と表すことができる。kをxを用いて表せ。さらにxが0＜x＜1の範囲を
動くとき、kの最大値を求めよ。
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【解説】
(1)
Pは辺OAを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x-1):x \end{align*}}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=(1-x)\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
Qは辺BCを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x:(1-x)\end{align*}}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}=(1-x)\overrightarrow{\sf b}+x\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
Rは線分PQを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x:(1-x)\end{align*}}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OR}&=\sf (1-x)\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OQ} \\ &=\sf \underline{(1-x)^2\overrightarrow{\sf a}+x(1-x)\overrightarrow{\sf b}+x^2\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
Sは平面ABC上の点なので、実数t、uを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AS}=t\overrightarrow{\sf AB}+u\overrightarrow{\sf AC} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf a}=t\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)+u\left(\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OS}=(1-t-u)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OS}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-t-u=s\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{s+t+u=1} \end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OT}=k\overrightarrow{\sf OR}=k(1-x)^2\overrightarrow{\sf a}+kx(1-x)\overrightarrow{\sf b}+kx^2\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
Tは平面ABC上の点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k(1-x)^2+kx(1-x)+kx^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{(1-x)^2+x(1-x)+x^2}=\underline{\frac{1}{x^2-x+1}}\end{align*}}$
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のときにkは最大となり、その値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{4}{3}}\end{align*}}$
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- 2019/02/11(月) 23:57:00|
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第4問
次の をうめよ。
(1) 座標平面上に2点A(2，1)、B(a，2)をとる。線分ABの垂直二等分線が
(1，3)を通るようなaの値は ① である。
(2) $\small\sf{-\pi\lt \theta\lt\pi}$ において、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=-1\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ は ② である。
(3) 極座標$\small\sf{(r,\ \theta)}$ に関する極方程式
$\small\sf{r\left(1+2\sin\theta\right)=3}$
を直交座標(x，y)に関する方程式で表すと、
③ $\small\sf{x^2+(y-2)^2=1}$
である。
(4) -2、1、1、2、4、4と書かれたさいころを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。
積abcが8となる確率は ④ である。
(5) nn+55が平方数であるような自然数nのうちで最大のnは ⑤ である。
ここで平方数とは、自然数の2乗で表される数のことである。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{3,\ -1}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{54}\end{align*}}$ ⑤ 3
【解説】
(1)
C(1，3)とおくと、AB=BCなので
$\scriptsize\sf{(2-1)^2+(1-3)^2=(a-1)^2+(2-3)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{3,\ -1}}$
(2)
$\scriptsize\sf{-\pi\lt \theta\lt\pi}$ において、$\scriptsize\sf{\sin\theta\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta\ne 0}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=1&t\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\theta-\cos\theta=-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sqrt2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}\ , \ -\frac{3}{4}\pi\ \ \ \ \ \left(-\frac{\pi}{4}\lt\theta-\frac{\pi}{4}\lt\frac{3}{4}\pi\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta=\underline{-\frac{\pi}{2}\ \left(\ne 0\right)} \end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r+2r\sin\theta=3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r+2y=3\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=3-2y \end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=(3-2y)^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2=4y^2-12y+9 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -x^2+3y^2-12y+9=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\underline{-\frac{1}{3}x^2+\left(y-2\right)^2=1} \end{align*}}$
(4)
目の出方の総数は63通り
・2の目が3回出る場合は1通り
・2の目が1回、-2の目が2回出る場合は3通り
・1、2、4の目が1回ずつ出る場合は2・2・3!=24通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1+3+24}{6^3}=\underline{\frac{7}{54}}\end{align*}}$
(5)
mを自然数とすると、
$\scriptsize\sf{9^n+55=m^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 55=m^2-9^n=(m-3^n)(m+3^n)}$
と表すことができる。$\scriptsize\sf{m\ ,\ \ 3^n}$ はともに自然数なので、
$\scriptsize\sf{(m-3^n,\ m+3^n)=(1,\ 55)\ ,\ (5,\ 11)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m,\ 3^n)=(28,\ 27)\ ,\ (8,\ 3)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m,\ n)=(28,\ 3)\ ,\ (8, \ 1)}$
よって、題意を満たす最大のnはn=3である。
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- 2019/02/12(火) 23:57:00|
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