FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  aを定数とし、関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x\left(e^{-x^2}+a\right)\end{align*}}$ の変曲点はすべてx軸上にあるとする。
  このとき次の問いに答えよ。

 (1) aの値を求めよ。

 (2) 曲線y=f(x)の漸近線を求めよ。必要なら$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}te^{-t}=0\end{align*}}$ を用いてもよい。

 (3) f'(x)=0を満たす実数解はちょうど2個あり、それらを$\small\sf{\alpha,\ \beta\ (\alpha\lt 0\lt \beta)}$ とする。
    曲線y=f(x)の概形と(2)で求めた漸近線を解答欄の座標平面上にかけ。
    そのとき必要なら$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ を用いてよい。ただし、曲線の凹凸は調べなくてもよい。

 (4) x軸と曲線y=f(x)とで囲まれた2つの部分の面積をの和Sを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/09(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019(全学部)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2019関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  座標平面と座標空間において、点の座標すべてが整数である点を格子点と呼ぶことにする。
  mを正の整数とする。座標平面においてm=1,2,・・・に対して、連立不等式x+y≦m、
  x≧0、 y≧0で表される領域に含まれる格子点(x,y)の個数をamで表す。m=1のとき、
  a1 ①  である。x+y=m+1、 x≧0、 y≧0で表される線分上の格子点の個数は
   ②  個だから、am+1をamとmで表すと、am+1= ③  である。この漸化式から
  amを求めると、am= ④  である。
  nを正の整数とする。座標空間において、x+y+z≦n、 x≧0、 y≧0、 z≧0で定義された
  立体をVnで表す。0≦k≦nである整数kに対して、xy平面と平行な平面z=k上の格子点
  であり、かつVnに含まれる
  格子点(x,y,z)の個数は ⑤  である。よってVnに含まれる格子点の個数bnはnの
  1次式の積で表せて、bn=(n+1)・ ⑥  であることが分かる。このとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots +\frac{1}{b_n}+\cdots \end{align*}}$
  の値は ⑦  である。



2019関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

  四面体OABCと0<x<1に対して、辺OAを(1-x):xに内分する点をP、辺BCを
  x:(1-x)に内分する点をQ、線分PQをx:(1-x)に内分する点をRとする。
  ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA},\ \overrightarrow{\sf OB},\ \overrightarrow{\sf OC}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}}$ で表す。このとき次の問いに答えよ。

 (1) ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OR}}$ をxと$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}}$ を用いて表せ。

 (2) 四面体OABCの底面ABC上の点をSとする。ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OS}}$ を実数s、t、uを用いて
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OS}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}}$ と表したとき、s+t+u=1を示せ。

 (3) 直線ORと四面体OABCの底面ABCの交点をTとする。このとき実数kを用いて
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OT}=k\overrightarrow{\sf OR}}$ と表すことができる。kをxを用いて表せ。さらにxが0<x<1の範囲を
    動くとき、kの最大値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/11(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2019(全学部)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2019関西大 理系(全学部) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 座標平面上に2点A(2,1)、B(a,2)をとる。線分ABの垂直二等分線が
    (1,3)を通るようなaの値は ①  である。

 (2) $\small\sf{-\pi\lt \theta\lt\pi}$ において、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=-1\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ は ②  である。

 (3) 極座標$\small\sf{(r,\ \theta)}$ に関する極方程式
        $\small\sf{r\left(1+2\sin\theta\right)=3}$
    を直交座標(x,y)に関する方程式で表すと、
         ③  $\small\sf{x^2+(y-2)^2=1}$
    である。

 (4) -2、1、1、2、4、4と書かれたさいころを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。
    積abcが8となる確率は ④  である。

 (5) nn+55が平方数であるような自然数nのうちで最大のnは ⑤  である。
    ここで平方数とは、自然数の2乗で表される数のことである。