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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  nを3以上の自然数、aを正の実数とする。x≧0において定義された関数
  $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^n\ ,\ \ g(x)=a^2x^{n-2}\end{align*}}$ に対して$\small\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{y=f(x)}$ と$\small\sf{y=g(x)}$ はnの値によらずx= ア  で共有点をもつ。また、$\small\sf{f(x)}$ の第2次
    導関数$\small\sf{f''(x)}$ が関数$\small\sf{g(x)}$ に等しくなるのは、a= イ  のときである。

 (2) $\small\sf{n=3}$ とし、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ とする。このとき、Sをaを用いて表すと、S= ウ  である。
    また、$\small\sf{0\leqq x\leqq 1}$ の範囲において、$\small\sf{g(x)-f(x)}$ は、x= エ  のとき、最大値 オ  をとる。

 (3) Sをa、nを用いて表すと、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ であるとき、S= カ  、$\small\sf{a\geqq 1}$ であるとき、
    S= キ  である。各nに対して、Sを最小にするaをnを用いて表すと、a= ク  である。



2019立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  pを$\small{\sf 3\lt p\lt 4}$ を満たす定数として、$\small\sf{f(x)=px(1-x)}$ とおく。

 (1) xに関する方程式$\small\sf{x=f(x)}$ の解はx= ア  イ  ア  イ  )である。
    また、f’( イ  )= ウ  である。

 (2) $\small\sf{g(x)=f(f(x))}$ とおく。xに関する方程式$\small\sf{x=g(x)}$ の解のうち、$\small\sf{x=f(x)}$ を満たさないもの
    を$\small\sf{\alpha,\ \beta\ (\alpha\lt\beta)}$ とする。$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ はxに関する2次方程式x2+ エ  x+ オ  =0の解で
    あり、$\small\sf{f'(\alpha)\ f'(\beta)=}$  カ  である。さらに、不等式$\small\sf{\left|f'(\alpha)\ f'(\beta)\right|\lt 1}$ を満たすpの範囲を
    求めると、$\small\sf{3\lt p\lt}$  ク  を得る。
    また、$\small\sf{f(g(x))=g(f(x))}$ であることより、$\small\sf{f(\alpha),\ f(\beta)}$ も$\small\sf{x=g(x)}$ の解となることから、
    $\small\sf{f(\alpha)=\beta\ ,\ \ f(\beta)=\alpha}$ が成り立つ。これより、$\small\sf{g'(\alpha)=g'(\beta)=}$  ク  を得る。
      (注:すべて$\small\sf{f,\ g,\ \alpha,\ \beta}$ を用いずに答えよ。)