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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  nを3以上の自然数、aを正の実数とする。x≧0において定義された関数
  $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^n\ ,\ \ g(x)=a^2x^{n-2}\end{align*}}$ に対して$\small\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1\left|f(x)-g(x)\right|dx\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{y=f(x)}$ と$\small\sf{y=g(x)}$ はnの値によらずx= ア  で共有点をもつ。また、$\small\sf{f(x)}$ の第2次
    導関数$\small\sf{f''(x)}$ が関数$\small\sf{g(x)}$ に等しくなるのは、a= イ  のときである。

 (2) $\small\sf{n=3}$ とし、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ とする。このとき、Sをaを用いて表すと、S= ウ  である。
    また、$\small\sf{0\leqq x\leqq 1}$ の範囲において、$\small\sf{g(x)-f(x)}$ は、x= エ  のとき、最大値 オ  をとる。

 (3) Sをa、nを用いて表すと、$\small\sf{0\lt a\lt 1}$ であるとき、S= カ  、$\small\sf{a\geqq 1}$ であるとき、
    S= キ  である。各nに対して、Sを最小にするaをnを用いて表すと、a= ク  である。



2019立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  pを$\small{\sf 3\lt p\lt 4}$ を満たす定数として、$\small\sf{f(x)=px(1-x)}$ とおく。

 (1) xに関する方程式$\small\sf{x=f(x)}$ の解はx= ア  イ  ア  イ  )である。
    また、f’( イ  )= ウ  である。

 (2) $\small\sf{g(x)=f(f(x))}$ とおく。xに関する方程式$\small\sf{x=g(x)}$ の解のうち、$\small\sf{x=f(x)}$ を満たさないもの
    を$\small\sf{\alpha,\ \beta\ (\alpha\lt\beta)}$ とする。$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ はxに関する2次方程式x2+ エ  x+ オ  =0の解で
    あり、$\small\sf{f'(\alpha)\ f'(\beta)=}$  カ  である。さらに、不等式$\small\sf{\left|f'(\alpha)\ f'(\beta)\right|\lt 1}$ を満たすpの範囲を
    求めると、$\small\sf{3\lt p\lt}$  ク  を得る。
    また、$\small\sf{f(g(x))=g(f(x))}$ であることより、$\small\sf{f(\alpha),\ f(\beta)}$ も$\small\sf{x=g(x)}$ の解となることから、
    $\small\sf{f(\alpha)=\beta\ ,\ \ f(\beta)=\alpha}$ が成り立つ。これより、$\small\sf{g'(\alpha)=g'(\beta)=}$  ク  を得る。
      (注:すべて$\small\sf{f,\ g,\ \alpha,\ \beta}$ を用いずに答えよ。)




2019立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

  xyz空間に点$\small\sf{O\left(0,0,0,\right)\ ,\ A\left(1,-1,1\right)\ ,\ B\left(-3,1,3\right)}$ および点Pを考える。

 (1) Pが直線AB上にあるとする。Pが線分ABの中点であるとき、Pの座標は ア  である。
    Pがyz平面上にあるとき、Pの座標は イ  である。直線OPが直線ABと直交するとき、
    Pの座標は ウ  である。

 (2) PがAP=BPを満たすとする。このとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=}$ エ  である。また、$\small\sf{P\left(x,y,z\right)}$ とするとき、
    zをx、yを用いて表すと、z= オ  である。さらに、3点O、A、Pが同一直線上にあるとき、
    Pの座標は カ  である。

 (3) rを定数とし、PはAP+BP=rを満たしながら動くとする。rのとり得る範囲はr≧ キ  である。
    r= キ  のとき、Pは2点 ク  ケ  を端点とする線分上にある。
    r> キ  とする。Pが直線AB上にあるならば、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}=}$  コ  $\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ または、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}=}$  サ  $\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ が
    成り立つ。また、Pと直線ABの距離の最大値をrを用いて表すと、 シ  となる。



2019立命館大 理系(2月3日) 数学4



第4問

  A君とB君が箱を1つずつもっていて、それぞれの箱の中には1から4の数字が1つずつ
  書かれた4個の球が入っている。

 (1) A君は、箱から1個の球を取り出し、そこに書かれた数字を記録して、箱に球を戻す。
    この試行をn回繰り返したとき、記録された数字の和をSnとする。この試行を2回行っ
    たとき、S2が4以下になる確率は ア  である。この試行を4回繰り返したとき、S4
    が16になる確率は イ  である。この試行を10回繰り返してS2が6以上であり、
    かつS10が15になる確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{\mbox{ウ}}{2^{19}}\end{align*}}$ である。

 (2) 次に、A君とB君の2名で以下の試行(★)を行う:
   (★) A君とB君が各自の箱からそれぞれ1個球を取り出し、そこに書かれた数字を比較
      する。2つの数字が異なる場合は、大きな数であった方のみが3点を得る。2つの
      数字が同じであった場合は、双方が1点を得る。取り出した球は元の箱に戻す。
    この試行を1回行ったとき、A君が得点する確率は エ  である。少なくとも一方の
    得点の合計が10点以上になるまでこの試行を繰り返す。試行は最大で オ 
    行われる。試行は最小で カ  回行われ、その確率は キ  である。試行がちょうど
    5回で終わる確率は ク  である。
    (注:確率はすべて既約分数で答えよ。)