青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2019(2/2)

2019立命館大　理系（2月2日）　数学１

第1問

　　以下、極形式の偏角はすべて0以上$\small\sf{2\pi}$ 未満である。

　(１) 2次方程式z²+2z+2=0の2つの解のうち、虚部が正であるものをz₁、
　　　負であるものをz₂とおく。それぞれを極形式で表すと、
　　　　　　　　z₁=　ア　、　　z₂=　イ　
　
　(２) wを複素数とする。wがw²=z₁を満たすとき、wを極形式で表すと、
　　　　　　　　w=　ウ　、　エ　
　　　となる。また、wがw²=z₂を満たすとき、wを極形式で表すと、
　　　　　　　　w=　オ　、　カ　
　　　となる。これら4つの複素数を、偏角が小さい順にw₁、w₂、w₃、w₄とする。
　　　各w_k （ｋ＝1，2，3，4）は、wの4次方程式　キ　 =0の解となる。
　　　ここで、　キ　はw⁴の係数が1であるwについて整理された多項式である。
　　　また、w₁+w₂+w₃+w₄=　ク　、 w₁w₂w₃w₄=　ケ　、
　　　 w₁²+w₂²=　コ　である。

　(３) 複素数平面上の3点0、z₁、w₁を頂点とする三角形の面積をS₁、
　　　 3点0、z₂、w₂を頂点とする三角形の面積をS₂とおくと、
　　　　　　　　S₂²=　サ　、　 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{S_1}{S_2}=\end{align*}}$ 　シ　
　　　である。

解答はこちら↓

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【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\right)\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\end{align*}}$

　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\end{align*}}$　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)\end{align*}}$　

　　キ $\scriptsize\sf{w^4+2w^2+2}$　　　　ク 0　　　　ケ 2　　　　コ $\scriptsize\sf{-2}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt2+1}{4}\end{align*}}$　　　　シ 1

　

【解説】

　　ア　、　イ　
　　　　$\scriptsize\sf{z^2+2z+2=0}$ ･･････(i) の解は$\scriptsize\sf{z=-1\pm i}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1&=\sf -1+i \\ &=\sf\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}i\right) \\ &=\sf \underline{\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi +i\sin\frac{3}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2&=\sf -1-i \\ &=\sf\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}i\right) \\ &=\sf \underline{\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi +i\sin\frac{5}{4}\pi\right)}\end{align*}}$

　　ウ　、　エ　
　　　　$\scriptsize\sf{w=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \left(r\gt 0\ ,\ \ 0\leqq\theta\lt 2\pi\right)}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^2=z_1\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{3}{4}\pi +i\sin\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　両辺の絶対値と偏角を比較すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=\sqrt2\ ,\ \ 2\theta=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \ \left(k=0,1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt[4]{2}\ (\gt 0)\ ,\ \ \theta=\frac{3}{8}\pi,\ \frac{11}{8}\pi\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\underline{\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\ ,\ \ \sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)}\end{align*}}$

　　オ　、　カ　
　　　　$\scriptsize\sf{w=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \left(r\gt 0\ ,\ \ 0\leqq\theta\lt 2\pi\right)}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^2=z_2\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{5}{4}\pi +i\sin\frac{5}{4}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　両辺の絶対値と偏角を比較すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=\sqrt2\ ,\ \ 2\theta=\frac{5}{4}\pi+2k\pi\ \ \left(k=0,1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt[4]{2}\ (\gt 0)\ ,\ \ \theta=\frac{5}{8}\pi,\ \frac{13}{8}\pi\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\underline{\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\ ,\ \ \sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)}\end{align*}}$

　　キ　
　　　　ウ～カより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_1=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{3}{8}\pi+i\sin\frac{3}{8}\pi\right)\ ,\ \ w_2=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{5}{8}\pi+i\sin\frac{5}{8}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_3=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{11}{8}\pi+i\sin\frac{11}{8}\pi\right)\ ,\ \ w_4=\sqrt[4]{2}\left(\cos\frac{13}{8}\pi+i\sin\frac{13}{8}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{z_1\ (=w_1^2)}$ は(i)の解なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1^2+2z_1+2=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(w_1^2\right)^2+2w_1^2+2=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w_1^4+2w_1^2+2=0 \end{align*}}$
　　　　同様に、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_2^4+2w_2^2+2=w_3^4+2w_3^2+2=w_4^4+2w_4^2+2=0 \end{align*}}$
　　　　が成り立つので、$\scriptsize\sf{w_1,\ w_2,\ w_3,\ w_4}$ はwについての4次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\underline{w^4+2w^2+2=0}}$　　･･････(ii)
　　　　の解となる。

　　ク　、　ケ　
　　　　(ii)の左辺は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{w^4+2w^2+2=(w-w_1)(w-w_2)(w-w_3)(w-w_4)}$
　　　　と因数分解できるので、両辺のw³の係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{w_1+w_2+w_3+w_4=\underline{0}}$
　　　　定数項を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{w_1w_2w_3w_4=\underline{2}}$

　　コ　
　　　　(i)の解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{w_1^2+w_2^2=z_1+z_2=\underline{-2}}$

　　サ　
　　　　複素数平面上で0、z₁、w₁に対応する点をそれぞれO、P₁、Q₁とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{OP_1=\sqrt2\ ,\ \ OQ_1=\sqrt[4]{2}\ ,\ \ \angle Q_1OP_1=\frac{3}{4}\pi-\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi}$
　　　　なので、半角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1^2&=\sf\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt2\cdot \sqrt[4]{2}\cdot\sin\frac{3}{8}\pi\right)^2 \\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\sin^2\frac{3}{8}\pi\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-\cos\frac{3}{4}\pi}{2}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt2+1}{4}}\end{align*}}$

　　シ　
　　　　複素数平面上で0、z₂、w₂に対応する点をそれぞれO、P₂、Q₂とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{OP_2=\sqrt2\ ,\ \ OQ_2=\sqrt[4]{2}\ ,\ \ \angle Q_2OP_2=\frac{5}{4}\pi-\frac{5}{8}\pi=\frac{5}{8}\pi}$
　　　　なので、半角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2^2&=\sf\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt2\cdot \sqrt[4]{2}\cdot\sin\frac{5}{8}\pi\right)^2 \\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\sin^2\frac{5}{8}\pi\\ &=\sf \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-\cos\frac{5}{4}\pi}{2}\\ &=\sf \frac{\sqrt2+1}{4}\\ &=\sf S_1^2\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{S_1}{S_2}=\underline{1}\end{align*}}$

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2019/02/05(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2019(2/2)

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2019立命館大　理系（2月2日）　数学２

第2問
　　
　(１) a₁を0以上63以下の整数として、2a₁を64で割った余りをa₂とする。以下同様に、
　　　 n=2，3，･･･に対して、2a_nを64で割った余りをa_n+1とすることで、数列{a_n}を
　　　定める。
　　　 a₁=43とする。a₁を2進法で表すと　ア　 ₍₂₎となる。このとき、a₂を2進法で表すと
　　　　イ　 ₍₂₎であり、10進法で表すと　ウ　となる。以降の項を10進法で表すとa₃=
　　　　エ　、a₄=　オ　、a₈=　カ　である。n≧　キ　のとき、a₁の値によらず
　　　 a_n=0である。n≧6のときa_n=0を満たすa₁は　ク　個ある。

　(２) b₁を0以上127以下の整数として、4b₁を128で割った余りをb₂とする。以下同様に、
　　　 n=2，3，･･･に対して、4b_nを128で割った余りをb_n+1とすることで、数列{b_n}を
　　　定める。n≧　ケ　のとき、b₁の値によらずb_n=0である。n≧2のときb_n=0を満たすb₁
　　　は　コ　個ある。

　(３) c₁を0以上80以下の整数として、3c₁+1を81で割った余りをc₂とする。以下同様に、
　　　 n=2，3，･･･に対して、3c_n+1を81で割った余りをc_n+1とすることで、数列{c_n}を
　　　定める。n≧　サ　のとき、c₁の値によらずc_n=　シ　である。

　　（注：　キ　、　ケ　、　サ　は条件を満たす最小の自然数で答えよ。）

解答はこちら↓

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【解答】

　　ア 101011　　　　イ 10110　　　　ウ 22　　　　エ 44　　　オ 24

　　カ 0　　　　キ 7　　　　ク 32　　　　ケ 5　　　　コ 4

　　サ 5　　　　ｓ 40　
　

【解説】

　　ア　
　　　　$\scriptsize\sf{a_1=43=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_1=\underline{101011_{(2)}}}$

　　イ　、　ウ　
　　　　$\scriptsize\sf{2a_1=1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_2=0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=\underline{10110_{(2)}}=\underline{22}}$

　　エ　～　カ　
　　　　$\scriptsize\sf{2a_2=0\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_3=1\cdot 0^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=\underline{44}}$
　　　　$\scriptsize\sf{2a_3=1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_4=0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=\underline{24}}$
　　　　$\scriptsize\sf{2a_4=0\cdot 2^6+1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_5=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　$\scriptsize\sf{2a_5=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_6=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　$\scriptsize\sf{2a_6=1\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_7=0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　$\scriptsize\sf{2a_7=0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_8=0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=\underline{0}}$

　　キ　、　ク　
　　　　a₁は0以上63以下の整数なので、0または1の値をとる6つの整数$\scriptsize\sf{p_0,p_1,\cdots ,p_5}$
　　　　を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_1=p_5\cdot 2^5+p_4\cdot 2^4+p_3\cdot 2^3+p_2\cdot 2^2+p_1\cdot 2^1+p_0\cdot 2^0}$
　　　　と表すことができる。上と同じように計算していくと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_2=p_4\cdot 2^5+p_3\cdot 2^4+p_2\cdot 2^3+p_1\cdot 2^2+p_0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_3=p_3\cdot 2^5+p_2\cdot 2^4+p_1\cdot 2^3+p_0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_4=p_2\cdot 2^5+p_1\cdot 2^4+p_0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_5=p_1\cdot 2^5+p_0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_6=p_0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a_7=0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=0}$
　　　　となるので、n≧7のときは、a₁の値によらずa_n=0となる。
　　　　また、n≧6のときにa_n=0を満たすのは、p₀=0の場合なので、
　　　　$\scriptsize\sf{p_1,p_1,\cdots ,p_5}$ の値を考えると、a₁の個数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{2^5=\underline{32}}$ 個

　　ケ　、　コ　
　　　　b₁は0以上127以下の整数なので、0または1の値をとる7つの整数$\scriptsize\sf{q_0,q_1,\cdots ,q_6}$
　　　　を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{b_1=q_6\cdot 2^6+q_5\cdot 2^5+q_4\cdot 2^4+q_3\cdot 2^3+q_2\cdot 2^2+q_1\cdot 2^1+q_0\cdot 2^0}$
　　　　と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{4b_1=q_6\cdot 2^8+q_5\cdot 2^7+q_4\cdot 2^6+q_3\cdot 2^5+q_2\cdot 2^4+q_1\cdot 2^3+q_0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{b_2=q_4\cdot 2^6+q_3\cdot 2^5+q_2\cdot 2^4+q_1\cdot 2^3+q_0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　以下も同様に計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{b_3=q_2\cdot 2^6+q_1\cdot 2^5+q_0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{b_4=q_0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{b_5=0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0}$
　　　　となるので、n≧5のときは、b₁の値によらずb_n=0となる。
　　　　また、n≧2のときにb_n=0を満たすのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{q_0=q_1=q_2=q_3=q_4=0}$
　　　　の場合なので、$\scriptsize\sf{q_5\ ,q_6}$ の値を考えると、b₁の個数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{2^2=\underline{4}}$ 個

　　サ　、　シ　
　　　　c₁は0以上80以下の整数なので、0または1または2の値をとる4つの整数$\scriptsize\sf{r_0,r_1,r_2,r_3}$
　　　　を用いて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{c_1=r_3\cdot 3^3+r_2\cdot 3^2+r_1\cdot 3^1+r_0\cdot 3^0}$
　　　　と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{3c_1+1=r_3\cdot 3^4+r_2\cdot 3^3+r_1\cdot 3^2+r_0\cdot 3^1+1\cdot 3^0}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{c_2=r_2\cdot 3^3+r_1\cdot 3^2+r_0\cdot 3^1+1\cdot 3^0}$
　　　　以下も同様に計算すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{c_3=r_1\cdot 3^3+r_0\cdot 3^2+1\cdot 3^1+1\cdot 3^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{c_4=r_0\cdot 3^3+1\cdot 3^2+1\cdot 3^1+1\cdot 3^0}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{c_5=1\cdot 3^3+1\cdot 3^2+1\cdot 3^1+1\cdot 3^0=40}$
　　　　となるので、n≧5のときは、c₁の値によらずc_n=40となる。
　　　　

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2019/02/06(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2019(2/2)

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2019立命館大　理系（2月2日）　数学３

第3問

　　閉区間$\small\sf{[0,\ \pi]}$ 上で定義された連続関数f(x)があり、区間$\small\sf{(0,\ \pi]}$ 上では
　　$\small\sf{\begin{align*}\sf f(t)=\frac{t\sin t}{1-\cos t} \end{align*}}$ で与えられている。定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf\int_0^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ の値を求めたい。

　[1] $\small\sf{\begin{align*}\sf f(0)=\lim_{t\rightarrow +0}f(t)=\end{align*}}$ 　ア　である。

　[2] $\small\sf{0\lt a\leqq \pi}$ として、定積分$\small{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\int_a^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ を考える。$\small\sf{\log (1-\cos t)}$ の導関数が
　　　　イ　であるので、部分積分法を用いると、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$ 　ウ　 $\small\sf{\begin{align*}\sf -a\log(1-\cos a)-\int_a^{\pi}\log (1-\cos t)dt\end{align*}}$　　　(1)
　　　となる。三角関数の半角の公式を用い、$\small\sf{t=2x}$ と置換積分法を用いると、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt=\end{align*}}$ 　エ　 $\small\sf{\begin{align*}\sf +4\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$　　　(2)
　　　となる。

　　　極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}\rm I\sf (a)\end{align*}}$ が存在すること、および$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}a\log\left(1-\cos a\right)=0\end{align*}}$ であることを用いると、
　　　関係式(1)、(2)より、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +a}\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$ が存在することがわかる。
　　　そこで、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +0}\log\left(\sin x\right)dx=J\end{align*}}$ とおいてJを求める。

　[3] $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt b\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対し、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\sin x\right)dx\ ,\ \ \ L(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\cos x\right)dx\end{align*}}$
　　　とする。まず、$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\pi}{2}-x\end{align*}}$ とおいて置換積分法を用いると、
　　　　　　　　$\small\sf{k(b)-L(b)=}$ 　オ　
　　　がわかる。一方、和については、三角関数の倍角の公式を用い、$\small\sf{2x=t}$ とおくと、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)+L(b)=\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin t\right)dt+\end{align*}}$ 　カ　
　　　となる。
　　　これらより、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{b\rightarrow +0}K(b)=\end{align*}}$ 　キ　となる。

　[4] $\small\sf{\begin{align*}\sf J=\lim_{b\rightarrow +0}K(b)\end{align*}}$ と関係式(1)、(2)より
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f(t)\ dt=\lim_{a\rightarrow +0}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$ 　ク　
　　　が得られる。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 2　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sin t}{1-\cos t}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\log 2\right)\pi\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\log 2\right)\left(\pi-a\right)\end{align*}}$　　　オ 0

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\log 2\right)\left(2b-\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\log 2}{2}\pi\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2\log 2\right)\pi\end{align*}}$

　

【解説】

　　ア　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)&=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t\sin t}{1-\cos t} \\ &=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t\sin t\left(1+\cos t\right)}{\left(1-\cos t\right)\left(1+\cos t\right)}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t\sin t\left(1+\cos t\right)}{\sin^2 t}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow +0}\frac{t}{\sin t}\cdot \lim_{t\rightarrow +0}\left(1+\cos t\right)\\ &=\sf 1\cdot \left(1+\cos 0\right)\\ &=\sf \underline{2}\end{align*}}$

　　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\log\left(1-\cos t\right)\right\}'=\frac{\left(1-\cos t\right)'}{1-\cos t}=\underline{\frac{\sin t}{1-\cos t}}\end{align*}}$

　　ウ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I\sf (a)&=\sf \int_a^{\pi}\frac{t\sin t}{1-\cos t}dt \\ &=\sf\int_a^{\pi}t\left\{\log\left(1-\cos t\right)\right\}'dt \\ &=\sf \bigg[t\left\{\log\left(1-\cos t\right)\right\}\bigg]_a^{\pi}-\int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt\\ &=\sf \underline{(\log 2)\pi-a\log (1-\cos a)-\int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt}\end{align*}}$

　　エ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt&=\sf \int_a^{\pi}\log\left(2\sin^2\frac{t}{2}\right)dt \ \ \ \left(\because\ \cos t=1-2\sin^2\frac{t}{2}\right)\\ &=\sf \int_a^{\pi}(\log 2)dt+2\int_a^{\pi}\log\left(\sin\frac{t}{2}\right)dt\\ &=\sf (\log 2)(\pi -a)+2\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)\cdot 2dx\ \ \ \ \left(\because\ t=2x\ ,\ \ \frac{dt}{dx}=2\right)\\ &=\sf \underline{(\log 2)(\pi -a)}+4\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$

　　オ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf K(b)&=\sf\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log(\sin x)dx \\ &=\sf \int_{\frac{\pi}{2}-b}^b\log\left\{\sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\right\}\cdot (-dy)\\ &=\sf \int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log(\cos y)dy\\ &=\sf L(b)\end{align*}}$
　　　　なので、$\scriptsize\sf{k(b)-L(b)=\underline{0}}$

　　カ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf K(b)+L(b)&=\sf\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\left\{\log(\sin x)+\log(\cos x)\right\}dx \\ &=\sf\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log(\sin x\cos x)dx \\ &=\sf\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)dx\\ &=\sf\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log(\sin 2x)dx-\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}(\log 2)dx \\ &=\sf\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)\cdot \frac{dt}{2}-(\log 2)\left\{\left(\frac{\pi}{2}-b\right)-b\right\}\ \ \ \ \left(\because\ 2x=t\ ,\ \ \frac{dt}{dx}=2\right)\\ &=\sf\frac{1}{2} \int_{2b}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)dt+(\log 2)\left(2b-\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{2b}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)dt=\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)dt\end{align*}}$
　　　　であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=\pi-t\end{align*}}$ と置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)dt&=\sf \int_{\frac{\pi}{2}}^{2b}\log\left\{\sin\left(\pi-u\right)\right\}\cdot (-du) \\ &=\sf \int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin u\right)du\\ &=\sf \int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{2b}^{\frac{\pi}{2}-2b}\log(\sin t)dt=2\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt\end{align*}}$
　　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf K(b)+L(b)=\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt+\underline{(\log 2)\left(2b-\frac{\pi}{2}\right)}\end{align*}}$

　　キ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf K(b)&=\sf \frac{\left\{K(b)-L(b)\right\}+\left\{K(b)+L(b)\right\}}{2} \\ &=\sf \frac{1}{2}\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt+(\log 2)\left(b-\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
　　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{b\rightarrow +0}\frac{1}{2}\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin t)dt=\lim_{b\rightarrow +0}\frac{1}{2}\int_{b}^{\frac{\pi}{2}-b}\log(\sin t)dt=\lim_{b\rightarrow +0}K(b)\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{b\rightarrow +0}k(b)=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +0}K(b)+\lim_{b\rightarrow +0}(\log 2)\left(b-\frac{\pi}{4}\right) \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{b\rightarrow +0}K(b)=\underline{-\frac{\log 2}{2}\pi}\end{align*}}$

　　ク　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int_0^{\pi}f(t)dt &=\sf\lim_{a\rightarrow +0}\rm I\sf (a) \\ &=\sf\lim_{a\rightarrow +0}\left\{(\log 2)\pi-a\log (1-\cos a)-\int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt\right\} \ \ \ \left(\because\ \ (1)\ \right)\\ &=\sf (\log 2)\pi-\lim_{a\rightarrow +0}\int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt\\ &=\sf (\log 2)\pi-\lim_{a\rightarrow +0}\left\{(\log 2)(\pi -a)+4\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\right\}\ \ \ \left(\because\ \ (2)\ \right)\\ &=\sf (\log 2)\pi-(\log 2)\pi-4J\\ &=\sf \underline{(2\log 2)\pi}\end{align*}}$

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2019/02/07(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2019(2/2)

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2019立命館大　理系（2月2日）　数学４

第4問

　　4つのチームA、B、C、Dが参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは、
　　2つのチームが対戦し、必ず勝敗は決まり、引き分けはないとしている。
　　A、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は次の①～④の
　　とおりである。
　　　① AがBに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
　　　② AがCに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
　　　③ AがDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
　　　④ B、C、Dの3チームにおけるどの組合わせも互いに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。

　[1] 春の大会ではA、B、C、Dから選ぶすべての組合わせについて1回ずつ試合を行い、
　　　最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし、複数のチームの勝ち数が最大である
　　　場合は、勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
　　　すべての試合数は　ア　である。Aが全勝する確率は　イ　である。AがCのみに
　　　負けるが、Cが全勝しない確率は　ウ　である。春の大会で、Aが優勝する確率は
　　　　エ　である。

　[2] 秋の大会では、くじで2チームずつに分かれて1回戦を行い、1回戦の勝者同士で
　　　 2回戦を行ってその勝者を優勝とする。Aが1回戦でBと対戦し、かつ2回戦でCと
　　　対戦する確率は　オ　である。秋の大会で、Aが優勝する確率は　カ　である。

　[3] AがA'チームと交代して、A'、B、C、Dが大会に参加する。大会のルールは
　　　変わらず、A'、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は、
　　　 A'については次の①'～③'の通りであり、その他については④のままである。

　　　　　①' A'がBに勝つ確率はpである。
　　　　　②' A'がCに勝つ確率はqである。ただし、q$\small\sf{\begin{align*}\sf\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
　　　　　③' A'がDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
　　　春の大会でA'が優勝する確率が$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{49}{100}\end{align*}}$ であり、秋の大会でA'が優勝する確率が
　　　 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{23}{75}\end{align*}}$ であるならば、p=　キ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 6　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{9}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{29}{72}\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{9}\end{align*}}$

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{13}{54}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{4}{5}\end{align*}}$　　　　

　

【解説】

　　ア　
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{_4C_2=\underline{6}}$ 通り

　　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\frac{1}{9}}\end{align*}}$

　　ウ　
　　　　AがBとDに勝ち、Cに負ける確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{9}\end{align*}}$
　　　　Cが全勝しない、すなわちBとD相手に2勝しない確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　　以上より、AがCのみに負け、Cが全勝しない確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{4}=\underline{\frac{1}{6}}\end{align*}}$

　　エ　
　　　　春の大会でAが優勝するのは、次の4パターン
　　　　　　・Aが全勝する･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}\end{align*}}$
　　　　　　・AがCのみに負け、Cが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　　　・AがBのみに負け、Bが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}\end{align*}}$
　　　　　　・AがDのみに負け、Dが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{12}\end{align*}}$
　　　　以上より、春の大会でAが優勝する確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\underline{\frac{29}{72}}\end{align*}}$

　　オ　
　　　　Aが1回戦でBと対戦する確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{_3C_1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ であり、Aが1回戦に勝つ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　1回戦でCがDに勝つ確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　以上より、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{9}\end{align*}}$

　　カ　
　　　　秋の大会でAが優勝するのは、次の6パターン
　　　　　　・Aが1回戦でBに、2回戦でCに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
　　　　　　・Aが1回戦でBに、2回戦でDに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}\end{align*}}$
　　　　　　・Aが1回戦でCに、2回戦でBに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
　　　　　　・Aが1回戦でCに、2回戦でDに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}\end{align*}}$
　　　　　　・Aが1回戦でDに、2回戦でBに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{18}\end{align*}}$
　　　　　　・Aが1回戦でDに、2回戦でCに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{36}\end{align*}}$
　　　　以上より、秋の大会でAが優勝する確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{27}+\frac{1}{18}+\frac{1}{27}+\frac{1}{36}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}=\underline{\frac{13}{54}}\end{align*}}$

　　キ　
　　　　春の大会でA'が優勝するのは、次の4パターン
　　　　　　・A'が全勝する･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\frac{1}{2}pq\end{align*}}$
　　　　　　・A'がBのみに負け、Bが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-p\right)\cdot q\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}(1-p)q\end{align*}}$
　　　　　　・A'がCのみに負け、Cが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\cdot\left(1-q\right)\cdot\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}p(1-q)\end{align*}}$
　　　　　　・A'がDのみに負け、Dが全勝しない･･･$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\cdot q\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)\times\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}pq\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}pq+\frac{3}{8}(1-p)q+\frac{3}{8}p(1-q)+\frac{3}{8}pq=\frac{49}{100}\ \ \Leftrightarrow\ \ pq+3(p+q)=\frac{98}{25}\end{align*}}$　　　　･･････(i)

　　　　秋の大会でA'が優勝するのは、次の6パターン
　　　　　　・A'が1回戦でBに、2回戦でCに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot p\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{6}pq\end{align*}}$
　　　　　　・A'が1回戦でBに、2回戦でDに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot p\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}p\end{align*}}$
　　　　　　・A'が1回戦でCに、2回戦でBに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot q\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{6}pq\end{align*}}$
　　　　　　・A'が1回戦でCに、2回戦でDに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot q\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}q\end{align*}}$
　　　　　　・A'が1回戦でDに、2回戦でBに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times p=\frac{1}{12}p\end{align*}}$
　　　　　　・A'が1回戦でDに、2回戦でCに勝って優勝する確率
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times q=\frac{1}{12}q\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}pq+\frac{1}{12}p+\frac{1}{6}pq+\frac{1}{12}q+\frac{1}{12}p+\frac{1}{12}q=\frac{23}{75}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2pq+(p+q)=\frac{46}{25}\end{align*}}$　　　　･･････(ii)

　　　　(i)、(ii)を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+q=\frac{6}{5}, \ \ \ pq=\frac{8}{25}\end{align*}}$
　　　　解と係数の関係より、pとqはtについての二次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2-\frac{6}{5}t+\frac{8}{25}=0\end{align*}}$
　　　　の2解、すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{5}\ ,\ \frac{4}{5}\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\underline{\frac{4}{5}}\end{align*}}$

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