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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  以下、極形式の偏角はすべて0以上$\small\sf{2\pi}$ 未満である。

 (1) 2次方程式z2+2z+2=0の2つの解のうち、虚部が正であるものをz1
    負であるものをz2とおく。それぞれを極形式で表すと、
        z1= ア  、  z2= イ 
 
 (2) wを複素数とする。wがw2=z1を満たすとき、wを極形式で表すと、
        w= ウ  エ 
    となる。また、wがw2=z2を満たすとき、wを極形式で表すと、
        w= オ  カ 
    となる。これら4つの複素数を、偏角が小さい順にw1、w2、w3、w4とする。
    各wk (k=1,2,3,4)は、wの4次方程式 キ  =0の解となる。
    ここで、 キ  はw4の係数が1であるwについて整理された多項式である。
    また、w1+w2+w3+w4= ク  、 w1w2w3w4= ケ 
    w12+w22= コ  である。

 (3) 複素数平面上の3点0、z1、w1を頂点とする三角形の面積をS1
    3点0、z2、w2を頂点とする三角形の面積をS2とおくと、
        S22= サ 、  $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{S_1}{S_2}=\end{align*}}$  シ 
    である。





2019立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問
  
 (1) a1を0以上63以下の整数として、2a1を64で割った余りをa2とする。以下同様に、
    n=2,3,・・・に対して、2anを64で割った余りをan+1とすることで、数列{an}を
    定める。
    a1=43とする。a1を2進法で表すと ア  (2)となる。このとき、a2を2進法で表すと
     イ  (2)であり、10進法で表すと ウ  となる。以降の項を10進法で表すとa3=
     エ  、a4= オ  、a8= カ  である。n≧ キ  のとき、a1の値によらず
    an=0である。n≧6のときan=0を満たすa1 ク  個ある。

 (2) b1を0以上127以下の整数として、4b1を128で割った余りをb2とする。以下同様に、
    n=2,3,・・・に対して、4bnを128で割った余りをbn+1とすることで、数列{bn}を
    定める。n≧ ケ  のとき、b1の値によらずbn=0である。n≧2のときbn=0を満たすb1
    は コ  個ある。

 (3) c1を0以上80以下の整数として、3c1+1を81で割った余りをc2とする。以下同様に、
    n=2,3,・・・に対して、3cn+1を81で割った余りをcn+1とすることで、数列{cn}を
    定める。n≧ サ  のとき、c1の値によらずcn= シ  である。

  (注: キ  ケ  サ  は条件を満たす最小の自然数で答えよ。)




2019立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  閉区間$\small\sf{[0,\ \pi]}$ 上で定義された連続関数f(x)があり、区間$\small\sf{(0,\ \pi]}$ 上では
  $\small\sf{\begin{align*}\sf f(t)=\frac{t\sin t}{1-\cos t} \end{align*}}$ で与えられている。定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf\int_0^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ の値を求めたい。

 [1] $\small\sf{\begin{align*}\sf f(0)=\lim_{t\rightarrow +0}f(t)=\end{align*}}$  ア  である。

 [2] $\small\sf{0\lt a\leqq \pi}$ として、定積分$\small{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\int_a^{\pi}f(t)dt\end{align*}}$ を考える。$\small\sf{\log (1-\cos t)}$ の導関数が
     イ  であるので、部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$  ウ  $\small\sf{\begin{align*}\sf -a\log(1-\cos a)-\int_a^{\pi}\log (1-\cos t)dt\end{align*}}$   (1)
    となる。三角関数の半角の公式を用い、$\small\sf{t=2x}$ と置換積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_a^{\pi}\log\left(1-\cos t\right)dt=\end{align*}}$  エ  $\small\sf{\begin{align*}\sf +4\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$   (2)
    となる。

   極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}\rm I\sf (a)\end{align*}}$ が存在すること、および$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +a}a\log\left(1-\cos a\right)=0\end{align*}}$ であることを用いると、
   関係式(1)、(2)より、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +a}\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx\end{align*}}$ が存在することがわかる。
   そこで、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{a\rightarrow +0}\log\left(\sin x\right)dx=J\end{align*}}$ とおいてJを求める。

 [3] $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt b\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\sin x\right)dx\ ,\ \ \ L(b)=\int_b^{\frac{\pi}{2}-b}\log\left(\cos x\right)dx\end{align*}}$
    とする。まず、$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\pi}{2}-x\end{align*}}$ とおいて置換積分法を用いると、
        $\small\sf{k(b)-L(b)=}$  オ 
    がわかる。一方、和については、三角関数の倍角の公式を用い、$\small\sf{2x=t}$ とおくと、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf K(b)+L(b)=\int_{2b}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin t\right)dt+\end{align*}}$  カ 
    となる。
    これらより、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{b\rightarrow +0}K(b)=\end{align*}}$  キ  となる。

 [4] $\small\sf{\begin{align*}\sf J=\lim_{b\rightarrow +0}K(b)\end{align*}}$ と関係式(1)、(2)より
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f(t)\ dt=\lim_{a\rightarrow +0}\rm I\sf (a)=\end{align*}}$  ク 
    が得られる。




2019立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  4つのチームA、B、C、Dが参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは、
  2つのチームが対戦し、必ず勝敗は決まり、引き分けはないとしている。
  A、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は次の①~④の
  とおりである。
   ① AがBに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{2}{3}\end{align*}}$ である。
   ② AがCに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
   ③ AがDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
   ④ B、C、Dの3チームにおけるどの組合わせも互いに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。

 [1] 春の大会ではA、B、C、Dから選ぶすべての組合わせについて1回ずつ試合を行い、
    最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし、複数のチームの勝ち数が最大である
    場合は、勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
    すべての試合数は ア  である。Aが全勝する確率は イ  である。AがCのみに
    負けるが、Cが全勝しない確率は ウ  である。春の大会で、Aが優勝する確率は
     エ  である。

 [2] 秋の大会では、くじで2チームずつに分かれて1回戦を行い、1回戦の勝者同士で
    2回戦を行ってその勝者を優勝とする。Aが1回戦でBと対戦し、かつ2回戦でCと
    対戦する確率は オ  である。秋の大会で、Aが優勝する確率は カ  である。

 [3] AがA'チームと交代して、A'、B、C、Dが大会に参加する。大会のルールは
    変わらず、A'、B、C、Dがそれぞれ対戦した時に、対戦相手に勝つ確率は、
    A'については次の①'~③'の通りであり、その他については④のままである。

     ①' A'がBに勝つ確率はpである。
     ②' A'がCに勝つ確率はqである。ただし、q$\small\sf{\begin{align*}\sf\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
     ③' A'がDに勝つ確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
    春の大会でA'が優勝する確率が$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{49}{100}\end{align*}}$ であり、秋の大会でA'が優勝する確率が
    $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{23}{75}\end{align*}}$ であるならば、p= キ  である。