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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019筑波大 数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*}\sf k\gt 0\ ,\ \ 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。放物線$\small\sf{C:\ y=x^2-kx}$ と直線$\small\sf{\ell :\ y=(\tan\theta)x}$ の交点のうち、
  原点Oと異なるものをPとする。放物線Cの点Oにおける接線を$\small\sf{\ell _1}$ とし、点Pにおける
  接線を$\small\sf{\ell_2}$ とする。直線$\small\sf{\ell_1}$ の傾きが$\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ で、直線$\small\sf{\ell_2}$ の傾きが$\small\sf{\tan2\theta}$ であるとき、以下の
  問いに答えよ。

 (1) kを求めよ。

 (2) $\small\sf{\tan2\theta}$ を求めよ。

 (3) 直線$\small\sf{\ell_1}$ と$\small\sf{\ell_2}$ の交点をQとする。∠PQO=$\small\sf{\alpha}$ (ただし$\small\sf{0\leqq\alpha\leqq\pi}$ )とするとき、
    $\small\sf{\tan\alpha}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/03/21(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2019
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2019筑波大 数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) a、b、c、x、y、z、Mは正の実数とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{a},\ \frac{y}{b},\ \frac{z}{c}\end{align*}}$ がすべてM以下のとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{x+y+z}{a+b+c}\leqq M\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\log_25}$ と$\small\sf{\log_35}$ の大小を比較せよ。

 (3) nが正の整数のとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 1\lt\frac{1+\log_25+\left(\log_25\right)^n}{1+\log_35+\left(\log_35\right)^n}\lt 2^n\end{align*}}$
    であることを示せ。




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  1. 2019/03/22(金) 23:57:00|
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2019筑波大 数学3



第3問

  四面体OABCについて、OA=OB=OCおよび∠AOB=∠BOC=∠COAが成り立つ
  とする。0<s<1、0<t<1を満たす実数s、tに対し、辺OAをs:1-sに内分する点をD、
  辺OBをt:1-tに内分する点をEとする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}=\overrightarrow{\sf BG}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となる点F、Gをとり、線分EFと
  線分DGが1点で交わるとし、その交点をPとする。
  $\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \ \angle AOB=\theta\end{align*}}$ とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) t=sであることを示し、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ をs $\small\sf{,\ \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ であるとき、$\small\sf{\cos\theta}$ をsを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ かつ$\small\sf{\sqrt3 OP=OA}$ であるとき、sの値を求めよ。



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  1. 2019/03/23(土) 23:57:00|
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2019筑波大 数学4



第4問

  $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、関数$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ を
        $\small\sf{f(x)=1+\sin x\ ,\ \ \ g(x)=-1-\cos x}$
  と定める。

 (1) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、$\small\sf{|f(x)|=|g(x)|}$ を満たすxを求めよ。

 (2) 曲線$\small\sf{y=f(x)}$ 、曲線$\small\sf{y=g(x)}$ 、直線$\small\sf{x=0}$ および直線$\small\sf{x=\pi}$ で囲まれる部分を、
    x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。





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  1. 2019/03/24(日) 23:57:00|
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2019筑波大 数学5



第5問

  数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{1}{2^n}\ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$ で定める。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf t\gt 0\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq\frac{e^t-1}{t}\leqq e^t\end{align*}}$ であることを示せ。

 (2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf\{x_n\}\ ,\ \{y_n\}\ ,\ \{z_n\} \end{align*}}$ を
        $\displaystyle\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x_n=\log\left(e^{a_n}+1\right) \\ \sf y_n=\log\left(e^{a_n}-1\right) \\ \sf z_n=y_n+\sum_{k=1}^nx_k \end{array} \right.\end{eqnarray}\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
    で定める。znはnによらない定数であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2019/03/25(月) 23:57:00|
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2019筑波大 数学6



第6問

  $\small\sf{|z|^2+3=2\left(z+\overline{z}\right)}$ を満たす複素数z全体の集合をAとする。ただし$\small\sf{\overline{z}}$ は
  zの共役複素数である。

 (1) 集合Aを複素数平面上に図示せよ。

 (2) Aの要素zの偏角を$\small\sf{\theta}$ とする。ただし$\small\sf{-\pi\lt\theta\leqq\pi}$ とする。zがAを動く
    とき、$\small\sf{\theta}$ の取りうる値の範囲を求めよ。

 (3) z60が正の実数となるAの要素zの個数を求めよ。




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  1. 2019/03/26(火) 23:57:00|
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