第1問
$\small\sf{\begin{align*}\sf k\gt 0\ ,\ \ 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。放物線$\small\sf{C:\ y=x^2-kx}$ と直線$\small\sf{\ell :\ y=(\tan\theta)x}$ の交点のうち、
原点Oと異なるものをPとする。放物線Cの点Oにおける接線を$\small\sf{\ell _1}$ とし、点Pにおける
接線を$\small\sf{\ell_2}$ とする。直線$\small\sf{\ell_1}$ の傾きが$\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ で、直線$\small\sf{\ell_2}$ の傾きが$\small\sf{\tan2\theta}$ であるとき、以下の
問いに答えよ。
(1) kを求めよ。
(2) $\small\sf{\tan2\theta}$ を求めよ。
(3) 直線$\small\sf{\ell_1}$ と$\small\sf{\ell_2}$ の交点をQとする。∠PQO=$\small\sf{\alpha}$ （ただし$\small\sf{0\leqq\alpha\leqq\pi}$ ）とするとき、
$\small\sf{\tan\alpha}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{f(x)=x^2-kx}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{f'(x)=2x-k}$
点Oにおける接線の傾きを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(0)=-k=-\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{k=\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(2)
（１）より、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=x^2-\frac{1}{3}x\end{align*}}$
となるので、Cと$\scriptsize\sf{\ell}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-\frac{1}{3}x=(\tan\theta) x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{1}{3}+\tan\theta\end{align*}}$
点Pにおける接線の傾きを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf & f'\left(\frac{1}{3}+\tan\theta\right)=\tan2\theta\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ & 2\left(\frac{1}{3}+\tan\theta\right)-\frac{1}{3}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ & 6\tan^3\theta+\tan^2\theta-1=0\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ & (2\tan\theta-1)\left\{3\left(\tan\theta+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}\right\}=0\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ & \underline{\tan\theta=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(3)
右図のように$\scriptsize\sf{\ell_1}$ がx軸正方向となす角を$\scriptsize\sf{\beta}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\tan\beta=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\ell_2}$ がx軸正方向となす角は$\scriptsize\sf{2\theta}$ であり、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{4}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha&=\sf \tan\left(\beta-2\theta\right) \\ &=\sf \frac{\tan\beta-\tan 2\theta}{1+\tan\beta\tan 2\theta}\\ &=\sf \frac{-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}{1+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}}\\ &=\sf \underline{-3}\end{align*}}$
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- 2019/03/21(木) 23:57:00|
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第2問
以下の問いに答えよ。
(1) a、b、c、x、y、z、Mは正の実数とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{a},\ \frac{y}{b},\ \frac{z}{c}\end{align*}}$ がすべてM以下のとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{x+y+z}{a+b+c}\leqq M\end{align*}}$
であることを示せ。
(2) $\small\sf{\log_25}$ と$\small\sf{\log_35}$ の大小を比較せよ。
(3) nが正の整数のとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf 1\lt\frac{1+\log_25+\left(\log_25\right)^n}{1+\log_35+\left(\log_35\right)^n}\lt 2^n\end{align*}}$
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\gt 0\ ,\ \ b\gt 0\ ,\ \ c\gt 0\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{a}\leqq M\ ,\ \ \frac{y}{b}\leqq M\ ,\ \ \frac{z}{c}\leqq M\ \ \Leftrightarrow\ \ x\leqq aM\ ,\ \ y\leqq bM\ ,\ \ z\leqq cM\end{align*}}$
これらの和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y+z\leqq M\left(a+b+c\right)\end{align*}}$
両辺を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+b+c\gt 0\end{align*}}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x+y+z}{a+b+c}\leqq M\end{align*}}$
(2)
底＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_25\gt \log_24=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_35\lt\log_39=2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\log_25\gt \log_35}\end{align*}}$
(3)
底＞1と(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_25\gt \log_35\gt\log_31=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+\log_25+\left(\log_25\right)^2\gt 1+\log_35+\left(\log_35\right)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1+\log_25+\left(\log_25\right)^n}{1+\log_35+\left(\log_35\right)^n}\gt 1\end{align*}}$
が成り立つ。
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_25-2\log_35&=\sf \frac{1}{\log_52}-\frac{2}{\log_53}\\ &=\sf \frac{\log_53-2\log_52}{\log_52\cdot \log_53}\\ &=\sf \frac{\log_53-\log_54}{\log_52\cdot \log_53}\\ &\lt\sf 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log_25}{\log_35}\lt 2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{1}\lt 2^n\ ,\ \ \frac{\log_25}{\log_35}\lt 2^n\ ,\ \ \frac{\left(\log_25\right)^n}{\left(\log_35\right)^n}\lt 2^n\end{align*}}$
これと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+\log_25+\left(\log_25\right)^n}{1+\log_35+\left(\log_35\right)^n}\lt 2^n\end{align*}}$
が成り立つ。
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- 2019/03/22(金) 23:57:00|
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第3問
四面体OABCについて、OA=OB=OCおよび∠AOB=∠BOC=∠COAが成り立つ
とする。0＜s＜1、0＜t＜1を満たす実数s、tに対し、辺OAをs:1-sに内分する点をD、
辺OBをt:1-tに内分する点をEとする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AF}=\overrightarrow{\sf BG}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ となる点F、Gをとり、線分EFと
線分DGが1点で交わるとし、その交点をPとする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \ \angle AOB=\theta\end{align*}}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) t=sであることを示し、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ をs $\small\sf{,\ \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}}$ で表せ。
(2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ であるとき、$\small\sf{\cos\theta}$ をsを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}}$ かつ$\small\sf{\sqrt3 OP=OA}$ であるとき、sの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}=s\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=t\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OF}=\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OG}=\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf EP:FP=u:1-u\ ,\ \ DP:GP=v:1-v\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(1-u\right)\overrightarrow{\sf OE}+u\overrightarrow{\sf OF}=\left(1-v\right)\overrightarrow{\sf OD}+v\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-u\right)t\overrightarrow{\sf b}+u\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\right)=\left(1-v\right)s\overrightarrow{\sf a}+v\left(\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ u\overrightarrow{\sf a}+\left(1-u\right)t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}=\left(1-v\right)s\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}+v\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a},\ \overrightarrow{\sf b},\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\sf u=(1-v)s \\ \sf (1-u)t=v \\ \sf u=v \end{array} \right.\end{eqnarray}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=t\ ,\ \ u=v=\frac{s}{s+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\underline{\frac{s}{s+1}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)}\sf \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA=OB=OC=L\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=L\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=L^2\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EF}\bot\overrightarrow{\sf DG}\end{align*}}$ より、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EF}\cdot\overrightarrow{\sf DG}&=\left(\overrightarrow{\sf OF}-\overrightarrow{\sf OE}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OD}\right)\\ &=\sf\left(\overrightarrow{\sf a}-s\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(-s\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf -s|\overrightarrow{\sf a}|^2-s|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+\left(1+s^2\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf -\left(2s-1\right)L^2+\left(s^2-2s+3\right)L^2\cos\theta=0\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^2-2s+3=\left(s-1\right)^2+2\gt 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=\underline{\frac{2s-1}{s^2-2s+3}}\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2&=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right|^2\\ &=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a} \right)\\ &=\sf \left\{\frac{s}{s+1}\right)^2\left(3L^2+6L^2\cos\theta\right)\\ &=\sf \left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left(3+\frac{6(2s-1)}{s^2-2s+3}\right\}L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3OP^2=OA^2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3\cdot\left(\frac{s}{s+1}\right)^2\left\{3+\frac{6(2s-1)}{s^2-2s+3}\right\}L^2=L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{9s^2}{(s+1)^2}\cdot\frac{s^2+2s+1}{s^2-2s+3}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 8s^2+2s-3=(2s-1)(4s+3)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\frac{1}{2}}\ \ \ \left(\because\ \ 0\lt s\lt 1\right)\end{align*}}$
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- 2019/03/23(土) 23:57:00|
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第4問
$\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、関数$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ を
$\small\sf{f(x)=1+\sin x\ ,\ \ \ g(x)=-1-\cos x}$
と定める。
(1) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ の範囲において、$\small\sf{|f(x)|=|g(x)|}$ を満たすxを求めよ。
(2) 曲線$\small\sf{y=f(x)}$ 、曲線$\small\sf{y=g(x)}$ 、直線$\small\sf{x=0}$ および直線$\small\sf{x=\pi}$ で囲まれる部分を、
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq \pi}$ より、$\small\sf{0\leqq \sin x\leqq 1\ ,\ \ -1\leqq\cos x\leqq 1}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |f(x)|=|g(x)|& \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |1+\sin x|=|-1-\cos x|\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1+\sin x=1+\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=\cos x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\underline{\frac{\pi}{4}} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\ ,\ y=g(x)\ ,\ x=0\ ,\ x=\pi\end{align*}}$ で囲まれた部分（右下図の水色部分）のx軸回転体は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\ ,\ y=-g(x)\ ,\ x=0\ ,\ x=\pi\end{align*}}$ およびx軸で囲まれた部分（左下図のピンク色部分）
のx軸回転体と一致する。
回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+\cos x\right)^2dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+\sin x\right)^2dx\\ &=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\cos x+\cos^2 x\right)dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\sin x+\sin^2x\right)dx\\ &=\sf \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\cos x+\frac{1+\cos2 x}{2}\right)dx+\pi\int_{\frac{\pi}{4}}\left(1+2\sin x+\frac{1-\cos2x}{2}\right)dx\\ &=\sf \pi\left[\frac{3}{2}x+2\sin x+\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}+\pi\left[\frac{3}{2}x-2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\\ &=\underline{\frac{3\pi+4\sqrt2+5}{2}\pi}\end{align*}}$
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- 2019/03/24(日) 23:57:00|
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第5問
数列$\small\sf{\{a_n\}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{1}{2^n}\ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$ で定める。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf t\gt 0\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq\frac{e^t-1}{t}\leqq e^t\end{align*}}$ であることを示せ。
(2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf\{x_n\}\ ,\ \{y_n\}\ ,\ \{z_n\} \end{align*}}$ を
$\displaystyle\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x_n=\log\left(e^{a_n}+1\right) \\ \sf y_n=\log\left(e^{a_n}-1\right) \\ \sf z_n=y_n+\sum_{k=1}^nx_k \end{array} \right.\end{eqnarray}\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
で定める。znはnによらない定数であることを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)=e^t-t-1\ \ (t\gt 0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(t)=e^t-1\gt 0\end{align*}}$
なので、f(t)は単調に増加する。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t-1\geqq t\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq\frac{e^t-1}{t}\end{align*}}$
一方、関数$\scriptsize\sf{g(t)}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(t)=(t-1)e^t+1\ \ (t\gt 0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(t)=e^t+(t-1)e^t=te^t\gt 0\gt 0\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{g(t)}$ は単調に増加する。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(0)=0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(t)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t-1\leqq te^e\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{e^t-1}{t}\leqq e^t\end{align*}}$
以上より、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=2,3,4,\cdots\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a_n=2\cdot\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}=a_{n-1}\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_n+x_n&=\sf \log\left(e^{a_n}-1\right)+\log\left(e^{a_n}+1\right)\\ &=\sf \log\left(e^{a_n}-1\right)\left(e^{a_n}+1\right)\\ &=\sf \log\left(e^{2a_n}-1\right)\\ &=\sf \log\left(e^{a_{n-1}}-1\right)\\ &=\sf y_{n-1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n&=\sf y_n+\sum_{k=1}^nx_k\\ &=\sf y_n+\left(x_n+x_{n-1}+x_{n-2}\cdots x_2+x_1\right)\\ &=\sf \left(y_n+x_n\right)+x_{n-1}+x_{n-2}+\cdots x_2+x_1\\ &=\sf \left(y_{n-1}+x_{n-1}\right)+x_{n-2}\cdots x_2+x_1\\ &=\sf \left(y_{n-2}+x_{n-2}\right)\cdots x_2+x_1\\ &\vdots \\ &=\sf y_1+x_1\\ &=\sf \log\left(e^{\frac{1}{2}}-1\right)+\log\left(e^{\frac{1}{2}}-1\right)\\ &=\sf \log\left(e^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(e^{\frac{1}{2}}-1\right)\\ &=\sf \underline{\log\left(e-1\right)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sum_{k=1}^n\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)&=\sf\sum_{k=1}^n\big\{\log\left(e^{a_k}+1\right)-\log2\big\}\\ &=\sf \sum_{k=1}^nx_k-n\log 2\\ &=\sf z_n-y_n-n\log 2\\ &=\sf \log (e-1)-\log\left(e^{\frac{1}{2^n}}-1\right) -\log2^n\\ &=\sf \log (e-1)-\log\frac{e^{\frac{1}{2^n}}-1}{\frac{1}{2^n}}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2^n}\gt 0\end{align*}}$ なので、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq\frac{e^{\frac{1}{2^n}}-1}{\frac{1}{2^n}}\leqq e^{\frac{1}{2^n}}\end{align*}}$
自然対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\log\frac{e^{\frac{1}{2^n}}-1}{\frac{1}{2^n}}\leqq \frac{1}{2^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{1}{2}\lt 1\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2^n}=0\end{align*}}$ なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log\frac{e^{\frac{1}{2^n}}-1}{\frac{1}{2^n}}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\infty}\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\log\left(\frac{e^{a_k}+1}{2}\right)=\underline{\log (e-1)}\end{align*}}$
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- 2019/03/25(月) 23:57:00|
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第6問
$\small\sf{|z|^2+3=2\left(z+\overline{z}\right)}$ を満たす複素数z全体の集合をAとする。ただし$\small\sf{\overline{z}}$ は
zの共役複素数である。
(1) 集合Aを複素数平面上に図示せよ。
(2) Aの要素zの偏角を$\small\sf{\theta}$ とする。ただし$\small\sf{-\pi\lt\theta\leqq\pi}$ とする。zがAを動く
とき、$\small\sf{\theta}$ の取りうる値の範囲を求めよ。
(3) z60が正の実数となるAの要素zの個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf |z|^2+3=2\left(z+\overline{z}\right)\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf z\overline{z}-2z-2\overline{z}+3=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left(z-2\right)\left(\overline{z}-2\right)=1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left|z-2\right|^2=1 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left|z-2\right|=1 \end{align*}}$
となるので、zは点2を中心とする半径1の円周上を動く。
これを図示すると右図のようになる。
(2)
zの偏角が最大・最小になるのは、zと原点を結ぶ直線（Lとする）が、
(1)の円（Aとする）と接するときである。円Aの中心をP、接点をTと
すると、OP=2、 PT=1、 OT⊥PTなので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle OPT=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
よって、zの偏角の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \ \left(r\gt 0\ ,\ \ -\frac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
とおくと、ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^{60}=r^{60}\left(\cos60\theta+i\sin60\theta\right)\ \ \ \ \left( -10\pi\leqq \theta\leqq10\pi\right)\end{align*}}$
これが正の実数となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 60\theta=0\ ,\ \pm 2\pi\ ,\ \pm 4\pi\ ,\ \pm 6\pi\ ,\ \pm 8\pi\ ,\ \pm 10\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=0\ ,\ \pm\frac{\pi}{30}\ ,\ \pm\frac{\pi}{15}\ ,\ \pm\frac{\pi}{10}\ ,\ \pm\frac{4\pi}{15}\ ,\ \pm\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta= \pm\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ に対応するzはそれぞれ1つずつあり（下図左）、
それ以外の$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ に対してzはそれぞれ2つずつある（下図右）ので、
合計は
$\scriptsize\sf{2+2\times 9=\underline{20}}$ 個
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/03/26(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2019
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