第1問
円に内接する四角形ABCDにおいて
AB=5、 BC=4、 CD=4、 DA=2
とする。また、対角線ACとBDの交点をPとする。
(1) 三角形APBの外接円の半径をR1、三角形APDの外接円の半径をR2と
するとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{R_1}{R_2}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(2) ACの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、△APBに正弦定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2R_1=\frac{AB}{\sin\angle APB}\ \ \Leftrightarrow\ \ R_1=\frac{5}{2\sin\angle APB} \end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\sin\angle APD=\sin\left(180^{\circ}-\angle APB\right)=\sin\angle APB}$ なので、
△APDに正弦定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2R_2=\frac{AD}{\sin\angle APD}\ \ \Leftrightarrow\ \ R_2=\frac{1}{\sin\angle APB} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{5}{2\sin\angle APB}}{\frac{1}{\sin\angle APB}}=\underline{\frac{5}{2}}\end{align*}}$
(2)
四角形ABCDは円に内接するので、
$\scriptsize\sf{\cos\angle ADC=\cos\left(180^{\circ}-\angle ABC\right)=-\cos\angle ABC}$
△ABCと△ADCに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \cos\angle ABC=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot\left(-\cos\angle ABC\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\angle ABC=\frac{3}{8}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot\frac{3}{8}=26\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC=\underline{\sqrt{26}}\end{align*}}$
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- 2019/03/27(水) 23:57:00|
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第2問
次の関数のグラフに関する以下の問いに答えよ。ただし、mは実数とする。
$\small\sf{y=|x^2-2mx|-m}$
(1) m=1のときのグラフの概形をかけ。
(2) グラフとx軸の共有点の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=|x^2-2x|-1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)\ x^2-2x\gt 0}$ すなわち$\scriptsize\sf{x\lt 0\ ,\ 2\gt x}$ のとき
$\scriptsize\sf{y=x^2-2x-1=\left(x-1\right)^2-2}$
$\scriptsize\sf{(ii)\ x^2-2x\leqq 0}$ すなわち$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq 2}$ のとき
$\scriptsize\sf{y=-\left(x^2+2x\right)-1=-\left(x-1\right)^2}$
これを図示すると右図のようになる。
(2)
グラフとx軸との共有点の個数をMとおく。
(Ⅰ) m=0のとき
$\scriptsize\sf{y=x^2}$
となり、x軸とは原点のみを共有するので、M=1個
(Ⅱ) m≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=|x^2-2mx|-m \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)\ x^2-2mx\gt 0}$ であるxに対して
$\scriptsize\sf{y=x^2-2mx-m=\left(x-m\right)^2-m^2-m}$
$\scriptsize\sf{(ii)\ x^2-2mx\leqq 0}$ であるxに対して
$\scriptsize\sf{y=-\left(x^2+2mx\right)-m=-\left(x-m\right)^2+m^2-m}$
ここで極大・極小となるグラフ上の点を
$\scriptsize\sf{A(m,\ m^2-m)\ ,\ \ B(0,\ -m)\ ,\ \ C(2m,\ -m)}$
とすると、グラフの概形は下図のいずれかになる。
・A、B、Cがすべてx軸の上側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\gt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{m\lt 0}$ のときであり、このときM=0
・A、B、Cがすべてx軸の下側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\lt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\lt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{0\lt m\lt 1}$ のときであり、このときM=2
・Aがx軸の上側にあり、B、Cがx軸の下側にあるのは
$\scriptsize\sf{m^2-m\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{-m\lt 0}$
すなわち、$\scriptsize\sf{m\gt 1}$ のときであり、このときM=4
また、(1)のグラフより、$\scriptsize\sf{m=1}$ のときM=3
以上より
$\scriptsize\sf{\underline{\begin{eqnarray}\sf M = \begin{cases} \sf 0 &\sf (m\lt 0 ) \\ \sf 1 &\sf (m=0)\\ \sf 2&\sf (0\lt m\lt 1)\\ \sf 3&\sf (m=1)\\ \sf 4&\sf (m\gt 1) \end{cases}\end{eqnarray}}}$
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- 2019/03/28(木) 23:57:00|
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第3問
正の約数の個数がちょうどm個であるような、1900以上の自然数の中で
最小のものをdmとする。
(1) d5を求めよ。
(2) d15を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
正の約数が5個である数nは、素数aを用いて n=a4 と表せる。
$\scriptsize\sf{6^4=1296\lt 1900}$
$\scriptsize\sf{7^4=2401\gt 1900}$
なので、
$\scriptsize\sf{d_5=\underline{2401}}$
(2)
正の約数が5個である数nは、素数a、b (a≠b）を用いて
(i) n=a14 または (ii) n=a4・b2
の形で表される。
(i)の場合
$\scriptsize\sf{n=2^{14}=16384}$ が最小
(ii)の場合
・a=2のとき
$\scriptsize{\sf 2^4\cdot 7^2=784\lt 1900}$
$\scriptsize{\sf 2^4\cdot 11^2=1936\gt 1900}$
・a=3のとき
$\scriptsize{\sf 3^4\cdot 2^2=324\lt 1900}$
$\scriptsize{\sf 3^4\cdot 5^2=2025\gt 1900}$
・a≧5のとき
$\scriptsize{\sf n\geqq 5^4\cdot 2^2=2500}$
以上より、
$\scriptsize\sf{d_{15}=\underline{1936}}$
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- 2019/03/29(金) 23:57:00|
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第4問
コインが5枚ある。さいころを振って出た目によって、これらのコインを1枚ずつ
3つの箱A、B、Cに入れていく。出た目が1であればコインを1枚、箱Aに入れる。
出た目が2か3であればコインを1枚、箱Bに入れる。出た目が4か5か6であれば
コイン1枚、箱Cに入れる。さいころを5回振ったとき、次の問いに答えよ。
(1) 箱Aと箱Bにコインがそれぞれちょうど2枚ずつ入っている確率を求めよ。
(2) A、Bいずれの箱にもコインが1枚以上入っている確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
さいころを1回振ったとき、
1の目が出る事象をa
2か3の目が出る事象をb
4か5か6の目が出る事象をc
とする。
(1)
5回のうち、事象aが2回、事象bが2回、事象cが1回起こればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!}=\underline{\frac{5}{108}} \end{align*}}$
(2)
箱Aに1枚も入らないのは、5回ともbかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{5}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Bに1枚も入らないのは、5回ともaかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{4}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Aにも箱Bにも1枚も入らないのは、5回ともcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{3}{6}\right)^5\end{align*}}$
よって、余事象を考えると、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^5+\left(\frac{4}{6}\right)^5-\left(\frac{3}{6}\right)^5\right\}=\underline{\frac{215}{432}}\end{align*}}$
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- 2019/03/30(土) 23:57:00|
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第5問
三角形ABCにおいて∠A=45°、∠B=60°である。頂点Aから辺BCに引いた垂線と
BCが交わる点をDとし、頂点Cから辺ABに引いた垂線とABが交わる点をEとする。
また、$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf CA}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf CB}}$ とする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf CE}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ。
(2) 直線CEと直線ADの交点をHとするとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf CH}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CE=x\end{align*}}$ とおく。
△ACEにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE=\frac{CE}{\tan 45^{\circ}}=x\end{align*}}$
△BCEにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BE=\frac{CE}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE:BE=x:\frac{x}{\sqrt3}=\sqrt3:1\end{align*}}$
点EはABを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3:1\end{align*}}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CE}=\frac{\overrightarrow{\sf CA}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf CB}}{\sqrt3+1}=\underline{\frac{\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}}{\sqrt3+1}}\end{align*}}$
(2)
△AEHにおいて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf EH=AE\tan 30^{\circ}=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CH:CE=\left(x-\frac{x}{\sqrt3}\right):x=\left(\sqrt3-1\right):\sqrt3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}&=\sf\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}\overrightarrow{\sf CE} \\ &=\sf\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}}{\sqrt3+1} \\ &=\sf \underline{\frac{2\sqrt3-3}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\sqrt3\ \overrightarrow{\sf b}\right)}\end{align*}}$
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- 2019/03/31(日) 23:57:00|
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第6問
aは0でない実数とし、f(x)=ax3+3ax2+3x+3とおく。
(1) 関数y=f(x)のグラフをCと導関数y=f'(x)のグラフC'が相異なる3点で
交わるようなaの範囲を求めよ。
(2) aが(1)の範囲にあるときCとC'で囲まれた2つの図形の面積の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{f'(x)=3ax^2+6ax+3}$
2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf ax^3+3ax^2+3x+3=3ax^2+6ax+3\ \ \ \ (*)\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x\big\{ax^2-\left(6a-3\right)\big\}=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x=0\ \ or\ \ x^2=\frac{6a-3}{a} \end{align*}}$
(*)が異なる3つの実数解をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6a-3}{a}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a\lt 0\ ,\ \ \frac{1}{2}\lt a}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\sqrt{\frac{6a-3}{a}}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\gt\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{-\alpha\lt x\lt 0}$ の範囲で$\scriptsize\sf{f(x)\gt f'(x) }$
$\scriptsize\sf{0\lt x\lt\alpha}$ の範囲で$\scriptsize\sf{f(x)\lt f'(x) }$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{-\alpha\lt x\lt 0}$ の範囲で$\scriptsize\sf{f(x)\lt f'(x) }$
$\scriptsize\sf{0\lt x\lt\alpha}$ の範囲で$\scriptsize\sf{f(x)\gt f'(x) }$
なので、2曲線で囲まれた2つの図形の面積の合計をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \left|\int_{-\alpha}^0\big\{f(x)-f'(x)\big\}dx+\int_0^{\alpha}\big\{f'(x)-f(x)\big\}dx\right| \\ &=\sf \left|\int_{-\alpha}^0\big\{ax^3-\left(6a-3\right)x\big\}dx+\int_0^{\alpha}\big\{-ax^3+\left(6a-3\right)x\big\}dx\right| \\ &=\sf \left|\left[\frac{a}{4}x^4-\frac{6a-3}{2}x^2\right]_{-\alpha}^0+\left[-\frac{a}{4}x^4+\frac{6a-3}{2}x^2\right]_0^{\alpha}\right|\\ &=\sf 2\left|-\frac{a}{4}\alpha^4+\frac{6a-3}{2}\alpha^2\right|\\ &=\sf \underline{\frac{\left(6a-3\right)^2}{2|a|}} \end{align*}}$
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- 2019/04/01(月) 23:57:00|
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第7問
$\small\sf{a_1=3\ ,\ a_2=2}$ とし、n≧2のとき、
$\small\sf{a_{n+1}=a_n^2+a_n-1}$
として、数列$\small\sf{a_n}$ を定める。
(1) n≧2のとき、$\small\sf{a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n-1}$ が成り立つことを証明せよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n a_i^2=a_1a_2\cdots a_n+100\end{align*}}$ が成り立つような自然数nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{a_{n+1}=a_n^2+a_n-1\ \ (n\geqq 2)\ \ \ \cdots\cdots\cdots(*)}$
(1)
n≧2のとき、$\scriptsize\sf{a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n-1\ \ \ \cdots\cdots\cdots(A)}$ が成り立つことを
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=2のとき
(A)の左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_3=a_2^2+a_2-1 =2^2+2-1=5\end{align*}}$
(A)の右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2a_1-1=3\cdot 2-1=5\end{align*}}$
よって、成り立つ。
(ⅱ) n=kで(A)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}=a_1a_2\cdots a_k-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a_1a_2\cdots a_k=a_{k+1}+1\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}&=\sf \left(a_{k+1}+1\right)a_{k+1}-1 \\ &=\sf a_{k+1}^2+a_{k+1}-1 \\ &=\sf a_{k+2}\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも(A)は成り立つ。
以上より、n≧2の任意の自然数に対して$\scriptsize\sf{a_{n+1}=a_1a_2\cdots a_n-1}$ は成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n^2=a_{n+1}-a_n+1\ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
なので、与式の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^na_i^2&=\sf a_1^2+\sum_{i=2}^na_i^2 \\ &=\sf 3^2+\sum_{i=2}^n\left(a_{i+1}-a_i+1\right)\\ &=\sf 9+\left(a_3-a_2+1\right)+\left(a_4-a_3+1\right)+\cdots +\left(a_{n}-a_{n-1}+1\right)+\left(a_{n+1}-a_n+1\right)\\ &=\sf 9+\left(a_{n+1}-a_2\right)+(n-1)\\ &=\sf a_{n+1}+n+6\ \ \ (\because\ a_2=2)\end{align*}}$
また、（１）より与式の右辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1a_2\cdots a_n+100&=\sf \left(a_{n+1}+1\right)+100\\ &=\sf a_{n+1}+101\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}+n+6=a_{n+1}+101 \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{n=95} \end{align*}}$
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- 2019/04/02(火) 23:57:00|
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第8問
三角形ABCはAB+AC=2BCを満たしている。また、角Aの二等分線と辺BCの交点を
Dとするとき、AD=15である。さらに、三角形ABCの内接円の半径は4である。このとき
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ =∠BADとするとき$\small\sf{\sin\theta}$ の値を求めよ。また、A=∠BACとするとき、$\small\sf{\sin A}$ と$\small\sf{\cos A}$
の値を求めよ。
(2) 辺BCの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{AB=x\ ,\ \ AC=y}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB+AC=2BC\ \ \Leftrightarrow\ \ BC=\frac{x+y}{2}\end{align*}}$
ADは∠BACの二等分線なので、
$\scriptsize\sf{BD:CD=AB:AC=x:y}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BD=\frac{x}{x+y}BC=\frac{x}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CD=\frac{y}{x+y}BC=\frac{y}{2}\end{align*}}$
三角形ABCの内心をＩとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABC=\triangle ABD+\triangle ACD=\triangle \rm I\sf AB+\triangle \rm I\sf BC+\triangle \rm I\sf CA\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\cdot 15\cdot x\cdot \sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 15\cdot y\cdot \sin\theta=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(x+y+\frac{x+y}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{15}{2}\left(x+y\right)\sin\theta=3\left(x+y\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\underline{\frac{2}{5}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=\sqrt{1-\left(\frac{2}{5}\right)^2}=\underline{\frac{\sqrt{21}}{5}}\end{align*}}$
倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin A=2\sin\theta\cos\theta=\underline{\frac{4\sqrt{21}}{25}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos A=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\underline{\frac{17}{25}}\end{align*}}$
(2)
三角形ABDに余弦定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{x}{2}\right)^2=x^2+15^2-2\cdot x\cdot 15\cdot\frac{\sqrt{21}}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8\sqrt{21}x+300=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\sqrt{21}\pm 6\end{align*}}$
同様に、三角形ACDに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=4\sqrt{21}\pm 6\end{align*}}$
ここで、x=yと仮定すると、三角形ABCは正三角形となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin A=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
これは、(1)で求めた値と矛盾するのでx≠yである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=\frac{x+y}{2}=\frac{\left(4\sqrt{21}+6\right)+\left(4\sqrt{21}-6\right)}{2}=\underline{4\sqrt{21}}\end{align*}}$
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- 2019/04/03(水) 23:57:00|
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第9問
コインが5枚ある。さいころを振って出た目によって、これらのコインを1枚ずつ
3つの箱A、B、Cに入れていく。出た目が1であればコインを1枚、箱Aに入れる。
出た目が2か3であればコインを1枚、箱Bに入れる。出た目が4か5か6であれば
コイン1枚、箱Cに入れる。さいころを5回振ったとき、次の問いに答えよ。
(1) 箱Aと箱Bにコインがそれぞれちょうど2枚ずつ入っている確率を求めよ。
(2) A、B、Cいずれの箱にもコインが1枚以上入っている確率を求めよ。
(3) 試行の後に箱Aを開けるとちょうど2枚のコインが入っていた。このとき箱Bに
コインがちょうど2枚入っている確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
さいころを1回振ったとき、
1の目が出る事象をa
2か3の目が出る事象をb
4か5か6の目が出る事象をc
とする。
(1)
5回のうち、事象aが2回、事象bが2回、事象cが1回起こればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5!}{2!\cdot 2!}=\underline{\frac{5}{108}} \end{align*}}$
(2)
箱Aに1枚も入らないのは、5回ともbかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{5}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Bに1枚も入らないのは、5回ともaかcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{4}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Cに1枚も入らないのは、5回ともaかbが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{3}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Aにも箱Bにも1枚も入らないのは、5回ともcが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{3}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Bにも箱Cにも1枚も入らないのは、5回ともaが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{1}{6}\right)^5\end{align*}}$
箱Cにも箱Aにも1枚も入らないのは、5回ともbが起こるときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{2}{6}\right)^5\end{align*}}$
よって、余事象を考えると、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^5+\left(\frac{4}{6}\right)^5+\left(\frac{3}{6}\right)^5-\left(\frac{3}{6}\right)^5-\left(\frac{1}{6}\right)^5-\left(\frac{2}{6}\right)^5\right\}=\underline{\frac{305}{648}}\end{align*}}$
(3)
箱Aに2枚入るのは、5回のうちaが2回、bかcが2回起こるときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot\frac{5!}{2!\ 3!}=\frac{625}{3888}\end{align*}}$
よって、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{5}{108}}{\frac{625}{3888}}=\underline{\frac{36}{125}}\end{align*}}$
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- 2019/04/04(木) 23:57:00|
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第10問
座標平面上の円Cは、点(0，0)を通り、中心が直線x+y=0上にあり、さらに双曲線
xy=1と接する。このとき、円Cの方程式を求めよ。ただし、円と双曲線が接するとは、
その点における円の接線と双曲線の接線が一致することをいう。
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【解答】
円Cの中心の座標を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p,-p\right) \end{align*}}$ とおくと、Cは原点を通るので、半径は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=\sqrt{p^2+(-p)^2}=\sqrt2\ |p|\end{align*}}$
これより、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-p\right)^2+\left(y+p\right)^2=2p^2\end{align*}}$
と表せる。
接点は双曲線上にあるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\left(s,\ \frac{1}{s}\right)\end{align*}}$ と表すことができ、TはC上にもあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(s-p\right)^2+\left(\frac{1}{s}+p\right)^2=2p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^4-2ps^3+2ps+1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)\end{align*}}$
また、TにおけるCの接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(s-p\right)\left(x-p\right)+\left(\frac{1}{s}+p\right)\left(y+p\right)=2p^2\end{align*}}$
であり、この傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{s-p}{\frac{1}{s}+p}=-\frac{s(s-p)}{ps+1}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
一方、双曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{x}\end{align*}}$ の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=-\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
なので、Tにおける双曲線の接線の傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{s^2}\end{align*}}$
であり、これが(*)と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{s(s-p)}{ps+1}=-\frac{1}{s^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^4-ps^3-ps-1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{(i)-(ii)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -ps^3+3ps+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{2}{s^3-3s}=\frac{2}{s(s^2-3)}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (iii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\end{align*}}$ に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^4-\frac{2s^3}{s^3-3s}-\frac{2s}{s^3-3s}-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ s^6-3s^4-3s^2+1=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s^2+1\right)\left(s^4-4s^2+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2=2\pm\sqrt3\ \ (\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\ s^2=2+\sqrt3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s&=\sf \pm\sqrt{2+\sqrt3} \\ &=\sf \pm\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{\sqrt2}\\ &=\sf\pm\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2} \end{align*}}$
このとき$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{2}{\pm\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\left(2+\sqrt3-3\right)}=\pm\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot\ s^2=2-\sqrt3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s&=\sf \pm\sqrt{2-\sqrt3} \\ &=\sf \pm\frac{\sqrt{4-2\sqrt3}}{\sqrt2}\\ &=\sf\pm\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2} \end{align*}}$
このとき$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{2}{\pm\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\left(2-\sqrt3-3\right)}=\mp\sqrt2\end{align*}}$
以上より、円Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-\sqrt2\right)^2+\left(y+\sqrt2\right)^2=4\ ,\ \ \left(x+\sqrt2\right)^2+\left(y-\sqrt2\right)^2=4}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/05(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2019
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