第1問
pを自然数とする。数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ を
$\small\sf{a_1=1\ ,\ \ a_2=p^2\ ,\ \ a_{n+2}=a_{n+1}-a_n+13\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
により定める。数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ に平方数でない項が存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた漸化式を用いて項を順次求めていくと、
$\scriptsize\sf{a_3=p^2-1+13=p^2+12}$
$\scriptsize\sf{a_4=(p^2+12)-p^2+13=25}$
$\scriptsize\sf{a_5=25-(p^2+12)+13=26-p^2}$
$\scriptsize\sf{a_6=(26-p^2)-25+13=14-p^2}$
$\scriptsize\sf{p=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_3=13}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p=2}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_5=22}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p=3}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_5=17}$ は平方数ではない
$\scriptsize\sf{p\gt 4}$ のとき
$\scriptsize\sf{a_6\lt 0}$ となり、平方数とならない
以上より、数列$\scriptsize\sf{\left\{a_n\right\}}$ に平方数でない項が存在する。
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- 2019/04/19(金) 23:57:00|
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第2問
原点をOとする座標平面上の点$\small\sf{Q}$ は円$\small\sf{x^2+y^2=1}$ 上のx≧0かつy≧0の部分を動く。
点$\small\sf{Q}$ と点A(2，2)に対して
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}=\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\right)\overrightarrow{\sf OQ}}$
を満たす点Pの軌跡を求め、図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}=\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)\ \ \ \left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}=\left(2\ ,\ 2\right)\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=2\left(\cos\theta+\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP}=\left(x\ ,\ y\right) \end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\right)\overrightarrow{\sf OQ} \\ &=\sf 2\left(\cos\theta+\sin\theta\right)\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)\\ &=\sf \left(2\sin\theta\cos\theta+2\cos^2\theta\ ,\ 2\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta\right)\\ &=\sf \left(\sin2\theta+\cos2\theta+1\ ,\ \sin2\theta-\cos2\theta+1\right) \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}\sf x=\sin2\theta+\cos2\theta+1\\ \sf y=\sin2\theta-\cos2\theta+1\end{array} \right.\end{eqnarray}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin2\theta=\frac{x+y}{2}-1\ ,\ \ \ \cos2\theta=\frac{x-y}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^22\theta+\cos^22\theta=\left(\frac{x+y}{2}-1\right)^2+\left(\frac{x-y}{2}\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2-2x-2y=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 2\theta\leqq\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\sin2\theta\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq\frac{x+y}{2}-1\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ -x+2\leqq y\leqq -x+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leqq\cos2\theta\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq\frac{x-y}{2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ x-2\leqq y\leqq x+2\end{align*}}$
以上より、点Pの軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\ \ \ \left(y\geqq -x+2\right)}\end{align*}}$
であり、これを図示すると下図のようになる。
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- 2019/04/20(土) 23:57:00|
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第3問
$\small\sf{f(x)=x^3-3x+2}$ とする。また、$\small\sf{\alpha}$ は1より大きい実数とする。曲線$\small\sf{C:\ y=f(x)}$ 上の
点$\small\sf{P\left(\alpha\ ,\ f(\alpha)\right)}$ における接線とx軸の交点を$\small\sf{Q}$ とする。点$\small\sf{Q}$ を通るCの接線の中で
傾きが最小のものを$\small\sf{\ell}$ とする。
(1) $\small\sf{\ell}$ とCの接点のx座標を$\small\sf{\alpha}$ の式で表せ。
(2) $\small\sf{\alpha=2}$ とする。$\small\sf{\ell}$ とCで囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-3x+2\ ,\ \ f'(x)=3x^2-3\end{align*}}$
なので、点PにおけるCの接線をmとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m:\ y-\left(\alpha^3-3\alpha+2\right)=\left(3\alpha^2-3\right)\left(x-\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(3\alpha^2-3\alpha\right)x-2\alpha^3+2\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\left(3\alpha^2-3\alpha\right)x-2\alpha^3+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2(\alpha^3-1)}{3(\alpha^2-1)}=\frac{2(\alpha^2+\alpha+1)}{3(\alpha+1)}\end{align*}}$
上と同様に、C上の点(t，f(t))における接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(3t^2-3t\right)x-2t^3+2\end{align*}}$ ･････････(*)
であり、これが点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\left(3t^2-3t\right)\cdot\frac{2(\alpha^2+\alpha+1)}{3(\alpha+1)}-2t^3+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\alpha+1)t^3-(\alpha^2+\alpha+1)t^2+\alpha^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-\alpha\right)\left(t-1\right)\left\{\left(\alpha+1\right)t+\alpha\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ ,\ \ \alpha\ ,\ \ -\frac{\alpha}{\alpha+1}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^gt 1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(\alpha)=3\alpha^2-3\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(-\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)=--\frac{3(2\alpha+1)}{(\alpha+1)^2}\lt 0\end{align*}}$
なので、接線の傾きが最小になるような接点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x=-\frac{\alpha}{\alpha+1}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=2\end{align*}}$ のとき、(1)で求めた接点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-\frac{2}{3}\end{align*}}$
よって、接線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ の方程式は(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}\end{align*}}$
これとCの共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}=x^3-3x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 27x^3-36x-16=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3x+2\right)^2\left(3x-4\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{2}{3}\ ,\ \ \frac{4}{3}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ とCで囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left\{\left(-\frac{5}{3}x+\frac{70}{27}\right)-\left(x^3-3x+2\right)\right\}dx \\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\left(x-\frac{4}{3}\right)dx\\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\left(x+\frac{2}{3}-2\right)dx\\ &=\sf -\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\left\{\left(x+\frac{2}{3}\right)^3-2\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\right\}dx\\ &=\sf -\left[\frac{1}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)^4-\frac{2}{3}\left(x+\frac{2}{3}\right)^3\right]_{-\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}}\\ &=\sf \underline{\frac{4}{3}} \end{align*}}$
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- 2019/04/21(日) 23:57:00|
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第4問
原点をOとする座標平面上に、点(2，0)を中心とする半径2の円C1と、点(1，0)を
中心とする半径1の円C2がある。点Pを中心とする円C3はC1に内接し、かつC2に外接
する。ただし、Pはx軸上にないものとする。Pを通りx軸に垂直な直線とx軸の交点を$\small\sf{Q}$
とするとき、三角形$\small\sf{OPQ}$ の面積の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円C1、C2の中心をそれぞれA、Bとし、
Pの座標を(X，Y)、円C3の半径をr (＞0)とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PA=\sqrt{(X-2)^2+Y^2}=2-r\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^2-4X+Y^2=r^2-4r\ \ \ \ (r\leqq 2)\ \ \cdots\cdots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PB=\sqrt{(X-1)^2+Y^2}=1+r\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^2-2X+Y^2=r^2+2r\ \ \cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)-(ii)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2X=-6r\ \ \Leftrightarrow\ \ X=3r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\end{align*}}$ に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9r^2-12r+Y^2=r^2-4r\ \ \Leftrightarrow\ \ Y^2=-8r^2+8r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle OPQ\end{align*}}$ の面積をSとし、$\scriptsize\sf{T(r)=S^2}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T(r)&=\sf\left(\frac{1}{2}XY\right)^2 \\ &=\sf\frac{1}{4}\cdot\left(3r\right)^2\cdot\left(-8r^2+8r\right) \\ &=\sf -18(r^4-3r^3)\end{align*}}$
rで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T'(r)&=\sf -18(4r^3-9r^2) \\ &=\sf -18r^2(4r-9) \end{align*}}$
これよりT(r)の増減は次のようになる
よって、Sの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}&=\sf \sqrt{T\left(\frac{9}{4}\right)} \\ &=\sf \sqrt{-18\left\{\left(\frac{9}{4}\right)^4-3\left(\frac{9}{4}\right)^3\right\}}\\ &=\sf \underline{\frac{9}{16}\sqrt6}\end{align*}}$
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- 2019/04/22(月) 23:57:00|
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第5問
右上の図のような縦3列横3列の9個のマスがある。異なる3個のマスを選び、それぞれに
1枚ずつコインを置く。マスの選び方は、どれも同様に確からしいものとする。縦と横の各列
について、点数を次のように定める。
・その列に置かれているコインが1枚以下のとき、0点
・その列に置かれているコインがちょうど2枚のとき、1点
・その列に置かれているコインが3枚のとき、3点
縦と横のすべての列の点数の合計をSとする。たとえば、右下の図のようにコインが置かれ
ている場合、縦の1列目と横の2列目の点数が1点、他の列の点数が0点であるから、
S=2となる。
(1) S=3となる確率を求めよ。
(2) S=1となる確率を求めよ。
(3) S=2となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
コインの置き方の総数は$\scriptsize\sf{_9C_3=84}$ 通り
(1)
S=3となるのは、縦または横1列に3枚並ぶときで、並べ方は6通り。
よって、S=3となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{84}=\underline{\frac{1}{14}}\end{align*}}$
(2)
S=1となるのは、縦または横のある1列に2枚並び、他の列には1枚並ぶとき。
2枚並ぶ列の選び方は6通り、その2枚の並べ方は3通り、残り1枚の並べ方は
2通りあるので、6×3×2=36通り。
よって、S=3となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{36}{84}=\underline{\frac{3}{7}}\end{align*}}$
(3)
S=0となるのは、縦および横の各列にそれぞれ1枚ずつ並ぶとき。
縦1列目の並び方は3通り、縦2列目の並び方は2通り、縦3列目の並び方は
1通りなので、3×2×1=6通り。
よって、S=0となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{84}=\frac{1}{14}\end{align*}}$
Sの値は0，1，2，3のいずれかなので、S=2となる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{14}-\frac{3}{7}-\frac{1}{14}=\underline{\frac{3}{7}}\end{align*}}$
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- 2019/04/23(火) 23:57:00|
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