第1問
ｎを自然数とするとき、すべての正の数xに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \log x +\frac{a}{x^n}>0\end{align*}}$
が成り立つための実数aの値の範囲をｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
xn＞0より、
与式 ⇔ a＞－xnlogx ････①
ここで、
ｆ(x)=－xnlogx （x＞0）
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-nx^{n-1}\log x-\frac{x^n}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^{n-1}(n\log x+1)\end{align*}}$
ｆ'(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\log x=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{-\frac{1}{n}}\end{align*}}$
のときである。x＞0の範囲で増減表を書くと下の通り。
これより、①がx＞0で常に成り立つようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a>\frac{1}{ne}\ \ }\end{align*}}$
これは平易でありますよ。
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- 2012/03/07(水) 23:55:00|
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第2問
定点Ｏを含む平面上に4辺の長さが
AB=BC=CD=r 、 AD=2r
の等脚台形ABCDがあり、2つの対角線の交点をEとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=4\sqrt3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=12\sqrt3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OE}=3+8\sqrt3\end{align*}}$
が成り立つとき、次の問いに答えよ。
(1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 線分ＯAの長さを求めよ。
(3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。このとき、rの値および
cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
AB=BC=CD=r 、 AD=2r ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=4\sqrt3\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=12\sqrt3\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OE}=3+8\sqrt3\end{align*}}$ ････④
(1)
△AED∽△CEBで相似比が2：1なので、
Eは線分ACを2：1の比に内分する点となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf OA}+2\overrightarrow{\sf OC}}{3}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)の結論を④に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OA}+2\overrightarrow{\sf OC}}{3}=3+8\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OA}|^2+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=9+24\sqrt3\end{align*}}$ .
これと③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf OA}|=3\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$
(3)
AD//BCかつAD=2BCなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf OA}\cdot 2\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
これに②、③を代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=16\sqrt3\ \ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf OA}\cdot \left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
これと(2)および②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=4\sqrt3-9\ \ }\end{align*}}$
(4)
ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ のなす角が$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=|\overrightarrow{\sf OA}|\ |\overrightarrow{\sf AD}|\ \cos\theta\end{align*}}$
①、(2)、(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3r\ \cos\theta=8\sqrt3\end{align*}}$ ････⑤
また、∠BAD=60°より、
ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ のなす角は$\scriptsize\sf{\theta}$ ±60°となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=|\overrightarrow{\sf OA}|\ |\overrightarrow{\sf AB}|\ \cos\ (\theta\pm 60^{\circ})\end{align*}}$
①、(2)、(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3r\ \cos\ (\theta\pm 60^{\circ})=4\sqrt3 -9\end{align*}}$
加法定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3r\ \left(\cos\theta\ \cos 60^{\circ}\mp\sin\theta\ \sin 60^{\circ}\right)=4\sqrt3 -9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3r\ \left(\cos\theta\pm\sqrt3\sin\theta\right)=8\sqrt3 -18\end{align*}}$ ････⑥
⑤、⑥よりrを消去して整理すると、
3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =±4sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ････⑦
ここで、⑤においてr＞0よりcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0であり、
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より、sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0なので、
⑦ ⇔ 3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =4sin$\scriptsize\sf{\theta}$
これと、sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ =1とを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \cos\theta=\frac{4}{5}\ \ }\end{align*}}$
⑤に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{10\sqrt3}{3}\ \ }\end{align*}}$
これまた(3)までは簡単ですが･････
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第3問
座標平面上を移動するアリがいる。このアリは点(a，b)にいるとき、
1秒後に点(a+1，b)、(a，b+1)、(a－1，b)、(a，b－1)のいず
れかに移動し、それぞれの点に移動する確率は4分の1である。
このアリが原点Ｏを出発し、2ｎ+ｍ秒後に点(ｎ，ｎ)にいる確率を
P(ｍ)とする。ここで、ｎ、ｍは非負の整数である。このとき、次の問い
に答えよ。
(1) ｍ=0，1，2に対して、確率P(ｍ)をそれぞれ求めよ。
(2) 一般の非負の整数ｍに対して、確率P(ｍ)を求めよ。
なお、p、q、rを非負の整数とし、p≧q+rとするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{i=0}^r\ _pC_{q+r-i}\ \cdot\ _rC_i=_{p+r}C_{q+r}\end{align*}}$
が成り立つことを用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点(a，b)から点(a+1，b)、(a，b+1)、(a－1，b)、(a，b－1)への
移動をそれぞれ
→ ↑ ← ↓
と表し、それぞれの移動が起こる回数をx、y、z、ｗとおく。
(1)
ｍ=0のとき
2ｎ回の移動で点(ｎ，ｎ)に到達すればよいので、
x+y+z+ｗ=2ｎ
x－z=y－ｗ=ｎ
より、(x、y、z、ｗ)=(ｎ、ｎ、0、0)．
2ｎ回の移動うち、→の移動を何回目に行うか
（以下、「→の場所」のように表す）は、
2nCn通りの場合があるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (0)=\left(\frac{1}{4}\right)^{2n}\ _{2n}C_n=\underline{\ \frac{(2n)\ !}{4^{2n}\ (n\ !)^2}\ \ }\end{align*}}$
ｍ=1のとき
2ｎ+1回の移動で点(ｎ，ｎ)に到達すればよいので、
x+y+z+ｗ=2ｎ+1
x－z=y－ｗ=ｎ
これらからx、yを消去すると、
2(z+ｗ)=1
となり、これを満たす整数z、ｗは存在しないので、
P(1)=0
ｍ=2のとき
2ｎ+2回の移動で点(ｎ，ｎ)に到達すればよいので、
x+y+z+ｗ=2ｎ+2
x－z=y－ｗ=ｎ
より、(x、y、z、ｗ)=(ｎ+1、ｎ、1、0)、(ｎ、ｎ+1、0、1)．
(x、y、z、ｗ)=(ｎ+1、ｎ、1、0)のとき、
2ｎ+2回の移動うち、→の場所は、
2n+2Cn+1通りの場合があり、残りのｎ+1回の移動のうち、
↑の場所はn+1C1通り考えられる。
(x、y、z、ｗ)=(ｎ、ｎ+1、0、1)のときも同様なので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (2)=\left(\frac{1}{4}\right)^{2n+2}\ _{2n+2}C_{n+1}\cdot\ _{n+1}C_1\ \times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{4}\right)^{2n+2}\ \frac{(2n+2)\ !}{(n+1)!\ (n+1)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\ \times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2(2n+2)!}{4^{2n+2}(n+1)!\ n!}\ \ }\end{align*}}$
(2)
2ｎ+ｍ回の移動で点(ｎ，ｎ)に到達すればよいので、
x+y+z+ｗ=2ｎ+ｍ
x－z=y－ｗ=ｎ
(ⅰ)ｍ=2ｋ+1（ｋは0以上の整数）のとき
ｍ=1のときと同様、上の条件を満たす整数x、y、z、ｗは
存在しえないので、
P(ｍ)=0
(ⅱ)ｍ=2ｋ（ｋは0以上の整数）のとき
上の条件を満たす整数x、y、z、ｗの組は、
z=ｉ （ｉ=0，1，･･･，ｋ）とすると、
(x，y，z，ｗ)=(ｎ+ｉ、ｎ+ｋ－ｉ、ｉ、ｋ－ｉ)．
2ｎ+2ｋ回の移動のうち、←または↓の場所は
2n+2kCk通りの場合が考えられる。
そのうちで←の場所はkCi通り。
一方、←と↓以外の2ｎ+ｋ回の移動のうち、→の場所は
2n+kCn+k-i通りの場合が考えられる。
ｉは、ｉ=0，1，･･･，ｋの値をとるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (m)=\left(\frac{1}{4}\right)^{2n+2k}\ \sum_{i=0}^{k}\ _{2n+2k}C_k\ \cdot\ _{k}C_{i}\ \cdot\ _{2n+k}C_{n+k-i}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{4}\right)^{2n+2k}\ _{2n+2k}C_k\ \sum_{i=0}^{k} \ _{2n+k}C_{n+k-i}\ \cdot\ _{k}C_{i}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{4}\right)^{2n+2k}\ _{2n+2k}C_k\ \cdot\ _{2n+2k}C_{n+k}\end{align*}}$ ←与えられた等式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\{(2n+2k)!\}^2}{4^{2n+2k\ }(2n+k)!\ k!\ \{(n+k)!\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\{(2n+m)!\}^2}{4^{2n+m\ }\left(2n+\frac{m}{2}\right)!\ \left(\frac{m}{2}\right)!\ \bigg(\left(n+\frac{m}{2}\right)!\bigg)^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)の計算が難しいかもしれませんね。
与えられた等式をうまく使うために、変数ｉが登場しない組み合わせを考える
必要があります。
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- 2012/03/07(水) 23:57:00|
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第4問
座標平面上で
3x2+4y2=r2
の表す図形をCとし、また
$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)+2\sin^2\left(\frac{\pi y}{a}\right)=1\end{align*}}$
|x|≦a 、 |y|≦a
の表す図形をDとする。ここでr＞0とし、aは正の定数とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 図形Dを図示せよ。
(2) 図形CとDが相異なる12個の共有点をもつとき、図形CとDを
同一座標平面上に図示せよ。
(3) 図形CとDが相異なる12個の共有点をもつためのrの範囲を
aを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Dについての式を変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{\pi y}{a}\right)\end{align*}}$
となり、右辺にcosの倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)=\cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right)\end{align*}}$ ．
これを満たすためには、ｎを整数として、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi x}{a}=\pm\frac{2\pi y}{a}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{x}{2}+an\end{align*}}$
となればよい。
これは右図1のような直線群を表し、
|x|≦a、|y|≦aの範囲においては、
右図2のようになる。
(2)
図形Cの式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3x^2}{r^2}+\frac{4y^2}{r^2}=1\end{align*}}$
と変形できるので、図形Cは
原点中心、短軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{2}\end{align*}}$ 、長軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{\sqrt3}\end{align*}}$ の楕円を表す。
12個の共有点をもつようにCとDを図示すると、
右図3のようになる。
(3)
図の対称性より、CとDが12個の共有点をもつとき、
第Ⅰ象限内には3個の共有点がある。
まず、Cと線分 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x}{2}\ \ (0\lt x\lt a)\end{align*}}$ の共有点を考えるために、
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x^2+4\left(\frac{x}{2}\right)^2=r^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{r}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
0＜x＜aなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{r}{2}\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt r\lt 2a\end{align*}}$ ･････①
この範囲の下で、Cと線分 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{x}{2}+a\ \ (0\lt x\lt a)\end{align*}}$
が共有点を2つもてばよい。
まず、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x^2+4\left(-\frac{x}{2}+a\right)^2=r^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-4ax+4a^2-r^2=0\end{align*}}$
ここで、
ｆ(x)=4x2－4ax+4a2－r2
とおくと、方程式ｆ(x)=0が0＜x＜aの範囲に異なる2解を
もてばよいので、
・判別式
D/4=4a2－4(4a2－r2)＞0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r>\sqrt3\ a\ (>0)\end{align*}}$ ･････②
・a＞0より、0＜軸＜a
・①よりｆ(0)=ｆ(a)=4a2－r2＞0
以上より、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ \sqrt3\ a\lt r<2a\ \ }\end{align*}}$
(3)が少しヤヤコシイですかね？？
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- 2012/03/07(水) 23:58:00|
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第5問
aを正の定数とする。自然数ｎに対して、関数Ｉn(ｔ)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf \ (t)=\int_0^t\ x^n\ e^{-ax}\ dx\end{align*}}$
で定めるとき、次の問いに答えよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^n\ e^{-at}=0\end{align*}}$
であることは証明なしに用いてもよい。
(1) Ｉ1(ｔ)を求めよ。
(2) Ｉn+1(ｔ)とＩn(ｔ)の関係式を求めよ。
(3) すべての自然数ｎに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$
が存在することを数学的帰納法を用いて示せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf J_n=\lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$ とするとき、Ｊnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf (t)=\int_0^t\ x\ e^{-ax}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{x\ e^{-ax}}{a}\ \right]_0^t-\int_0^t\ \left(-\frac{e^{-ax}}{a}\ \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{t\ e^{-at}}{a}+\frac{1}{a}\left[-\frac{e^{-ax}}{a}\right]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{t\ e^{-at}}{a}-\frac{e^{-at}}{a^2}+\frac{1}{a^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様、部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf (t)=\int_0^t\ x^{n+1}\ e^{-ax}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{x^{n+1}\ e^{-ax}}{a}\ \right]_0^t-\int_0^t\ \left(-\frac{(n+1)x^n\ e^{-ax}}{a}\ \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{t^{n+1}\ e^{-at}}{a}+\frac{n+1}{a}\int_0^tx^n\ e^{-ax}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \rm I_{\sf n+1}\sf (t)=-\frac{t^{n+1}\ e^{-at}}{a}+\frac{n+1}{a}\ \rm I_{\sf n}\sf (t)\ \ }\end{align*}}$
(3)
(ⅰ)ｎ=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf 1}\sf \ (t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\ \left(-\frac{t\ e^{-at}}{a}-\frac{e^{-at}}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)=\frac{1}{a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\because\ \lim_{t\rightarrow\infty}\ e^{-at}=\lim_{t\rightarrow\infty}\ t\ e^{-at}=0\right)\end{align*}}$
(ⅱ)ｎ=ｋのとき、
極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf k}\sf \ (t)\end{align*}}$ が存在するとし、その極限値をＪnとおく。
ｎ=ｋ+1のとき、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf k+1}\sf \ (t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\ \left(-\frac{t^{k+1}\ e^{-at}}{a}+\frac{k+1}{a}\ \rm I_{\sf k}\sf (t)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\frac{k+1}{a}\lim_{t\rightarrow\infty}\ \ \rm I_{\sf k}\sf (t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k+1}{a}\ J_n\end{align*}}$
となり、このときも極限が存在する。
(ⅰ)、(ⅱ)より、
すべての自然数ｎに対して極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$ が存在する。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$ とおくと、(3)における(ⅱ)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\frac{n}{a}\ J_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n-1}=\frac{n-1}{a}\ J_{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n-2}=\frac{n-2}{a}\ J_{n-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_3=\frac{3}{a}\ J_{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_2=\frac{2}{a}\ J_{1}\end{align*}}$
これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\frac{n}{a}\cdot\frac{n-1}{a}\cdot\frac{n-2}{a}\cdot\ldots\frac{3}{a}\cdot\frac{2}{a}\cdot J_{1}\end{align*}}$
ここで、(3)の(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_1=\frac{1}{a^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ J_n=\frac{n\ !}{a^{n+1}}\ \ }\end{align*}}$
あっさり完答！！
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