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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008大阪府立大 工学部 数学1







第1問

  nを自然数とするとき、すべての正の数xに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \log x +\frac{a}{x^n}>0\end{align*}}$
  が成り立つための実数aの値の範囲をnを用いて表せ。





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  1. 2012/03/07(水) 23:55:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2008(工)
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2008大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  定点Oを含む平面上に4辺の長さが
      AB=BC=CD=r 、 AD=2r
  の等脚台形ABCDがあり、2つの対角線の交点をEとする。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=4\sqrt3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=12\sqrt3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OE}=3+8\sqrt3\end{align*}}$
  が成り立つとき、次の問いに答えよ。

 (1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 線分OAの長さを求めよ。

 (3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。このとき、rの値および
    cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




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  1. 2012/03/07(水) 23:56:00|
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2008大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  座標平面上を移動するアリがいる。このアリは点(a,b)にいるとき、
  1秒後に点(a+1,b)、(a,b+1)、(a-1,b)、(a,b-1)のいず
  れかに移動し、それぞれの点に移動する確率は4分の1である。
  このアリが原点Oを出発し、2n+m秒後に点(n,n)にいる確率を
  P(m)とする。ここで、n、mは非負の整数である。このとき、次の問い
  に答えよ。

 (1) m=0,1,2に対して、確率P(m)をそれぞれ求めよ。

 (2) 一般の非負の整数mに対して、確率P(m)を求めよ。
    なお、p、q、rを非負の整数とし、p≧q+rとするとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{i=0}^r\ _pC_{q+r-i}\ \cdot\ _rC_i=_{p+r}C_{q+r}\end{align*}}$
    が成り立つことを用いてもよい。




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  1. 2012/03/07(水) 23:57:00|
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2008大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  座標平面上で
       3x2+4y2=r2
  の表す図形をCとし、また
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)+2\sin^2\left(\frac{\pi y}{a}\right)=1\end{align*}}$
       |x|≦a 、 |y|≦a
  の表す図形をDとする。ここでr>0とし、aは正の定数とする。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 図形Dを図示せよ。

 (2) 図形CとDが相異なる12個の共有点をもつとき、図形CとDを
    同一座標平面上に図示せよ。

 (3) 図形CとDが相異なる12個の共有点をもつためのrの範囲を
    aを用いて表せ。




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  1. 2012/03/07(水) 23:58:00|
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2008大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  aを正の定数とする。自然数nに対して、関数In(t)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf \ (t)=\int_0^t\ x^n\ e^{-ax}\ dx\end{align*}}$
  で定めるとき、次の問いに答えよ。ただし、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^n\ e^{-at}=0\end{align*}}$
  であることは証明なしに用いてもよい。

 (1) I1(t)を求めよ。

 (2) In+1(t)とIn(t)の関係式を求めよ。

 (3) すべての自然数nに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$
    が存在することを数学的帰納法を用いて示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf J_n=\lim_{t\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf n}\sf \ (t)\end{align*}}$ とするとき、Jnを求めよ。



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  1. 2012/03/07(水) 23:59:00|
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