第５問
$\small\sf{0\lt a\lt 2\pi}$ とする。$\small\sf{0\lt x\lt 2\pi}$ に対して、
$\small\sf{\begin{align*} {\sf F}({\sf x})=\int_{\sf x}^{{\sf x}+{\sf a}}\sqrt{1-\cos \theta}\ {\sf d}\theta\end{align*}}$
と定める。
(１) F’(x)を求めよ。
(２) F’(x)≦0となるxの範囲を求めよ。
(３) F(x) の極大値および極小値を求めよ。
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【解答】
(１)
与式の被積分関数を$\scriptsize\sf{g(\theta)}$ とし、その不定積分を$\scriptsize\sf{G(\theta)}$ とおく。すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G'(\theta)=g(\theta)=\sqrt{1-\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F'(x)=\int_x^{x+a}g(\theta)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sf \frac{d}{dx} \left[G(\theta) \right]_x^{x+a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sf \frac{d}{dx} \left(G(x+a)-G(x) \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sf G'(x+a)-G'(x) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sf g(x+a)-g(x) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} =\sf \sqrt{1-\cos(x+a)}-\sqrt{1-\cos x} \end{align*}}$
(２)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F'(x)=\sqrt{1-\cos(x+a)}-\sqrt{1-\cos x}\leqq0 \end{align*}}$
整理すると、
$\scriptsize\sf{\cos(x+a)-\cos x\geqq 0}$
ここに和→積の公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\sin\left(x+\frac{a}{2}\right)\sin\frac{a}{2}\geqq 0\end{align*}}$
簡単のため
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a}{2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\sin(x+b)\sin b\leqq 0}$
ここで、$\scriptsize\sf{0\lt b\lt \pi}$ より、$\scriptsize\sf{\sin b\gt 0}$なので、
$\scriptsize\sf{\sin(x+b)\leqq 0}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{b\lt x+b\lt2\pi+b}$ の範囲で、①を満たすのは
$\scriptsize\sf{\pi\leqq x+b\leqq\pi}$
よって、F'(x)≦0を満たすxは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi-\frac{a}{2}\leqq x \leqq 2\pi-\frac{a}{2}\end{align*}}$
(３)
(２)の結果より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F'(x)\lt 0\ \Longleftrightarrow\ \pi-\frac{a}{2}\lt x \lt 2\pi-\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F'(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x=\pi-\frac{a}{2}\ ,\ 2\pi-\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F'(x)\gt 0\ \Longleftrightarrow\ x\lt \pi-\frac{a}{2}\ ,\ 2\pi-\frac{a}{2}\lt x\end{align*}}$ 
これをもとに書いた増減表が右図
【極大値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F \left(\pi-\frac{a}{2}\right)=\int_{\pi-\frac{a}{2}}^{\pi+\frac{a}{2}} \sqrt{1-\cos \theta}d\theta\end{align*}}$
まず、$\scriptsize\sf{y=\theta-\pi}$ と置換
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F \left(\pi-\frac{a}{2}\right)=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1-\cos (y+\pi)}dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ =\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1+\cos y}dy\end{align*}}$･････①
根号の中に平方の形をつくるために、cosの半角公式を用いると、
①$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{2\cos^2 \frac{y}{2}}dy\end{align*}}$･････①’
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2} \lt -\frac{a}{2} \leqq \frac{y}{2} \leqq \frac{a}{2} \lt \frac{\pi}{2}\ \Longleftrightarrow \ \sf \cos \frac{y}{2} \gt 0\end{align*}}$
なので、
①'$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{2} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos \frac{y}{2} dy\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F \left(\pi-\frac{a}{2}\right)=4\sqrt{2}\sin \frac{a}{4}\end{align*}}$
【極小値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F \left(2\pi-\frac{a}{2}\right)=\int_{2\pi-\frac{a}{2}}^{2\pi+\frac{a}{2}} \sqrt{1-\cos \theta}d\theta\end{align*}}$
まず、$\scriptsize\sf{z=\theta-2\pi}$ と置換
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F \left(2\pi-\frac{a}{2}\right)=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1-\cos (z+2\pi)}dz\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ =\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{1-\cos z}dz\end{align*}}$･････②
根号の中に平方の形をつくるために、sinの半角公式を用いると、
②$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sqrt{2\sin^2 \frac{z}{2}}dz\end{align*}}$･････②’
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{a}{2} \leqq \frac{z}{2} \leqq 0 \ \Longleftrightarrow \ \sf \sin \frac{z}{2} \leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0 \leqq \frac{z}{2} \leqq \frac{a}{2} \ \Longleftrightarrow \ \sf \sin \frac{z}{2} \geqq 0\end{align*}}$
なので、
②'$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{2} \int_{-\frac{a}{2}}^{0} \left(-\sin\frac{z}{2} \right)dz + \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{a}{2}} \sin \frac{z}{2} dz\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F \left(2\pi-\frac{a}{2}\right)=4\sqrt{2} \left(1-\cos \frac{a}{4} \right)\end{align*}}$
単なる積分計算だといってナメてかかると大変なことになります。
要点は２つ。
・半角公式を用いて、根号の中身を平方の形にする。
・符号に気をつけて根号を外す
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/30(火) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2011
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