第1問
(1) h＞0とする。座標平面上の点O(0，0)、点P(h，s)、点Q(h，t)に対して、
三角形OPQの面積をSとする。ただし、s＜tとする。三角形OPQの辺OP、OQ、
PQの長さをそれぞれp、q、rとするとき、不等式
p2+q2+r2≧$\small\sf{4\sqrt3}$ S
が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときのs、tの値を求めよ。
(2) 四面体ABCDの表面積をT、辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa、b、cとし、
辺AD、BD、CDの長さをそれぞれL、m、nとする。このとき、不等式
a2+b2+c2+L2+m2+n2≧$\small\sf{2\sqrt3}$ T
が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような
四面体のときか答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\angle POQ=\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}pq\sin\theta\end{align*}}$
また、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=p^2+q^2-2pq\cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf p^2+q^2+r^2-4\sqrt3\ S \\ =&\sf p^2+q^2+\left(p^2+q^2-2pq\cos\theta\right)-2\sqrt3\ pq\sin\theta\\ =&\sf 2p^2-2\left(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\right)pq+2q^2\\ =&\sf 2p^2-4pq\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+2q^2\\ =&\sf 2\left\{p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right\}^2+2q^2-2q^2\sin^2\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\\ =&\sf 2\left\{p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right\}^2+2q^2\cos^2\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\\ \geqq&\sf 0\end{align*}}$
よって、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2+q^2+r^2\geqq 4\sqrt3\ S\end{align*}}$
が成り立つ。
また、等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=q\cos\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=0 \end{align*}}$
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q\sin\frac{\pi}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=q\end{align*}}$
のときであり、このとき△OPQは正三角形となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=q=r=\frac{h}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2h}{\sqrt3}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{r}{2}=\underline{\frac{h}{\sqrt3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=-t==\underline{-\frac{h}{\sqrt3}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L^2+m^2+c^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle ABD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m^2+n^2+a^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n^2+L^2+b^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle CAD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+b^2+c^2\geqq 4\sqrt3\ \triangle ABC\end{align*}}$
これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left(a^2+b^2+c^2+L^2+m^2+n^2\right)\geqq 4\sqrt3\left(\triangle ABD+\triangle BCD+\triangle CAD+\triangle ABC\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2+c^2+L^2+m^2+n^2\geqq 2\sqrt3\ T\end{align*}}$
を得る。
(1)と同様に考えると、等号が成立するのは、
△ABD、△BCD、△CAD、△ABCがすべて正三角形のときであり、このとき四面体ABCDは
正四面体となる。
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第2問
次の等式が1≦x≦2で成り立つような関数f(x)と定数A、Bを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\left|\log y\right|\ f\left(xy\right)dy=3x\left(\log x-1\right)+A+\frac{B}{x}\end{align*}}$
ただし、f(x)は1≦x≦2に対して定義される連続関数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{xy=t}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dy}=x \end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y:\ \frac{1}{x}\rightarrow\frac{2}{x}\end{align*}}$ に対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:\ 1\rightarrow 2 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\left|\log y\right|\ f\left(xy\right)dy&=\sf \int_1^2\left|\log \frac{t}{x}\right|\ f\left(t\right)\cdot\frac{dt}{x} \\ &=\sf \frac{1}{x}\int_1^2\left|\log t-\log x\right|\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e\gt 1 \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\sf \left|\log t-\log x\right|= \begin{cases}\sf -\left(\log t-\log x\right) & \sf (1\leqq t\leqq x ) \\ \sf \log t-\log x &\sf ( x\leqq t\leqq 2) \end{cases}\end{eqnarray}}$
なので、与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x\left(\log x-1\right)+A+\frac{B}{x}&=\sf -\frac{1}{x}\int_1^x\left(\log t-\log x\right)\ f\left(t\right)dt+\frac{1}{x}\int_x^2\left(\log t-\log x\right)\ f\left(t\right)dt \\ &=\sf -\frac{1}{x}\int_1^x\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\frac{\log x}{x}\int_1^x\ f\left(t\right)dt+\frac{1}{x}\int_x^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt-\frac{\log x}{x}\int_x^2\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
両辺にxをかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3x^2\left(\log x-1\right)+Ax+B=-\int_1^x\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\left(\log x\right)\int_1^x\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\int_x^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt-\left(\log x\right)\int_x^2\ f\left(t\right)dt\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
両辺をxで微分すると、左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x\left(\log x-1\right)+3x^2\cdot\frac{1}{x}+A=6x\log x-3x+A \end{align*}}$
右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf -\left(\log x\right)\ f(x)+\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt+\left(\log x\right)\ f(x)-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt+\left(\log x\right) f(x)-\left(\log x\right)\ f(x) \\ =&\sf \frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x\log x-3x+A=\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt-\frac{1}{x}\int_x^2f(t)dt\end{align*}}$
両辺にxをかけて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6x^2\log x-3x^2+Ax=\int_1^xf(t)dt-\int_x^2f(t)dt\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**)\end{align*}}$
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 12x\log x+6x^2\cdot\frac{1}{x}-6x+A=f(x)+f(x) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)=6x\log x+\frac{A}{2}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (***)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3+A=-\int_1^2f(t)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=2\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 24\log 2-12+2A=\int_1^2f(t)dt\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{A=5-8\log 2}\ ,\ \ \int_1^2f(t)dt=-2+8\log 2\end{align*}}$
これと$\scriptsize\sf{(***)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\underline{6x\log x+\frac{5}{2}-4\log 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3+A+B=\int_1^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=2\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 12\left(\log 2-1\right)+2A+B=-\int_1^2\left(\log t\right)\ f\left(t\right)dt+\left(\log 2\right)\int_1^2\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B&=\sf \frac{1}{2}\left(\log x\right)\int_1^2f(t)dt-6\left(\log 2-1\right)-\frac{3}{2}A-\frac{3}{2} \\ &=\sf \frac{1}{2}\left(\log x\right)\left(-2+8\log 2\right)-6\left(\log 2-1\right)-\frac{3}{2}\left(5-8\log 2\right)-\frac{3}{2}\\ &=\sf \underline{4\left(\log 2\right)^2+5\log 2}\end{align*}}$
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第3問
i を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数zにより$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z}{3+2i}\end{align*}}$ と
表される複素数全体の集合をMとする。
(1) 原点を中心とする半径rの円上またはその内部に含まれるMの要素の個数を
$\small\sf{N(r)}$ とする。このとき、集合$\small\sf{\left\{\ r\ |\ 10\leqq N(r)\lt 25\right)}$ を求めよ。
(2) 複素数平面の相異なる2点z、wを結ぶ線分をL(z，w)で表すとき、6つの線分
$\small\sf{\begin{align*}\sf L\left(0\ ,\ 1\right)\ ,\ \ L\left(1\ ,\ 1+\frac{i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(1+\frac{i}{2}\ ,\ \frac{1+i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1+i}{2}\ ,\ \frac{1}{2}+i\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1}{2}+i\ ,\ i\right)\ ,\ \ L\left(i\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
で囲まれる領域の内部または境界に含まれるMの要素の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left|\frac{z}{3+2i}\right|\leqq r\ \ \Leftrightarrow\ \ |z|\leqq |3+2i|\ r=\sqrt{13}\ r\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N(r)\end{align*}}$ は、実部と虚部がともに整数であるような複素数（以下「ガウス整数」
と書く）のうちで、
原点を中心とする半径$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{13}\ r \end{align*}}$ の円上またはその内部に含まれるものの個数に等しい。
ガウス整数zを、$\scriptsize\sf{|z|}$ の値が小さいものから順に挙げていくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=0\end{align*}}$ の1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=1\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\ ,\ \pm i\end{align*}}$ の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\pm i\end{align*}}$ （複号任意）の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 2\ ,\ \pm 2i\end{align*}}$ の4個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt5\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 1\pm 2i\ ,\ \ \pm 2\pm i\end{align*}}$ （複号任意）の8個
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=2\sqrt2\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\pm 2\pm 2i\end{align*}}$ （複号任意）の4個
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\leqq N(r)\lt 25\end{align*}}$ となるようなrの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\leqq\sqrt{13}\ r\lt 2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{2}{13}\sqrt{13}\leqq r\lt\frac{2}{13}\sqrt{26}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\cdot\left(3+2i\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\cdot\left(3+2i\right)=3+2i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{i}{2}\right)\left(3+2i\right)=2+\frac{7}{2}i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+i}{2}\cdot\left(3+2i\right)=\frac{1+5i}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}+i\right)\left(3+2i\right)=-\frac{1}{2}+4i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf i\ \left(3+2i\right)=-2+3i\end{align*}}$
求めるMの要素の個数は、6つ線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\left(0\ ,\ 3+2i\right)\ ,\ \ L\left(3+2i\ ,\ 2+\frac{7}{2}i\right)\ ,\ \ L\left(2+\frac{7}{2}i\ ,\ \frac{1+5i}{2}\right)\ ,\ \ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\left(\frac{1+5i}{2}\ ,\ -\frac{1}{2}+4i\right)\ ,\ \ L\left(-\frac{1}{2}+4i\ ,\ -2+3i\right)\ ,\ \ L\left(-2+3i\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
で囲まれる領域な内部または協会に含まれつガウス整数zの個数に等しいので、
下図より12個（青点）
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第5問
$\small\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{2^8}{3^4}\end{align*}}$ として、数列
$\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=\frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\ \ \ \left(k=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
を考える。
(1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(x+1\right)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$ はx＞0で減少することを示せ。
(2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_k\right\}\end{align*}}$ の項の最大値Mを既約分数で表し、$\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=M\end{align*}}$ となるkをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(x+1\right)\left\{\log (x+1)-\log x\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf \log(x+1)-\log x+(x+1)\cdot\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right) \\ &=\sf\log(x+1)-\log x+1- \frac{x+1}{x}\\ &=\sf\log(x+1)-\log x- \frac{1}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \\ &=\sf \frac{x^2-(x+1)x+(x+1)}{x^2(x+1)}\\ &=\sf \frac{1}{x^2(x+1)}\ \gt 0\ \ \ \left(\because\ x\gt 0\right)\end{align*}}$
これらより、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x) \end{align*}}$ は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow +\infty}f'(x)&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\log(x+1)-\log x- \frac{1}{x}\right\} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)- \frac{1}{x}\right\} \\ &=\sf \log 1\\ &=\sf 0\end{align*}}$
x＞0で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\lt 0 \end{align*}}$ となる。
よって、f(x)はx＞0で単調に減少する。
(2)
k≧2に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_k=\frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\ ,\ \ b_{k-1}=\frac{k^{k}}{a^{k-1}(k-1)!} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{b_k}{b_{k-1}}&=\sf \frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\cdot\frac{a^{k-1}(k-1)!}{k^{k}} \\ &=\sf \frac{(k+1)^{k+1}}{ak^k\cdot k}\\ &=\sf \frac{1}{a}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}\end{align*}}$
この値は正なので自然対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}&=\sf\log\frac{1}{a}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1} \\ &=\sf (k+1)\log\left(1+\frac{1}{k}\right)-\log a\\ &=\sf f(k)-f(3)\ \ \ \left(\because\ \log a=\log\frac{2^8}{3^4}=log\left(\frac{4}{3}\right)^4=(3+1)\log\left(1+\frac{1}{3}\right)\right)\end{align*}}$
(1)よりf(x)はx＞0で減少するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\lt 3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_k}{b_{k-1}}\gt 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{k-1}\lt b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\gt 3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_k}{b_{k-1}}\lt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_k}{b_{k-1}}\lt 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{k-1}\gt b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log \frac{b_3}{b_{2}}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{b_3}{b_{2}}=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b_{2}=b_3\end{align*}}$
まとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1\lt b_2=b_3\gt b_4\gt b_5\gt \cdots\end{align*}}$
となるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_k\right\}\end{align*}}$ の値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{k=2\ ,\ 3}\end{align*}}$ のとき最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M=b_2&=\sf \frac{3^3}{a^2\cdot 2!} \\ &=\sf \underline{\frac{3^{11}}{2^{17}}} \end{align*}}$
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