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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019東京工業大 数学1



第1問

 (1) h>0とする。座標平面上の点O(0,0)、点P(h,s)、点Q(h,t)に対して、
    三角形OPQの面積をSとする。ただし、s<tとする。三角形OPQの辺OP、OQ、
    PQの長さをそれぞれp、q、rとするとき、不等式
       p2+q2+r2≧$\small\sf{4\sqrt3}$ S
    が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときのs、tの値を求めよ。

 (2) 四面体ABCDの表面積をT、辺BC、CA、ABの長さをそれぞれa、b、cとし、
    辺AD、BD、CDの長さをそれぞれL、m、nとする。このとき、不等式
       a2+b2+c2+L2+m2+n2≧$\small\sf{2\sqrt3}$ T
    が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような
    四面体のときか答えよ。





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  1. 2019/06/03(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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2019東京工業大 数学2



第2問

  次の等式が1≦x≦2で成り立つような関数f(x)と定数A、Bを求めよ。

        $\small\sf{\begin{align*}\sf\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\left|\log y\right|\ f\left(xy\right)dy=3x\left(\log x-1\right)+A+\frac{B}{x}\end{align*}}$
  ただし、f(x)は1≦x≦2に対して定義される連続関数とする。




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  1. 2019/06/04(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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2019東京工業大 数学3



第3問

  i を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数zにより$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z}{3+2i}\end{align*}}$ と
  表される複素数全体の集合をMとする。

 (1) 原点を中心とする半径rの円上またはその内部に含まれるMの要素の個数を
    $\small\sf{N(r)}$ とする。このとき、集合$\small\sf{\left\{\ r\ |\ 10\leqq N(r)\lt 25\right)}$ を求めよ。

 (2) 複素数平面の相異なる2点z、wを結ぶ線分をL(z,w)で表すとき、6つの線分
    $\small\sf{\begin{align*}\sf L\left(0\ ,\ 1\right)\ ,\ \ L\left(1\ ,\ 1+\frac{i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(1+\frac{i}{2}\ ,\ \frac{1+i}{2}\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1+i}{2}\ ,\ \frac{1}{2}+i\right)\ ,\ \ L\left(\frac{1}{2}+i\ ,\ i\right)\ ,\ \ L\left(i\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
    で囲まれる領域の内部または境界に含まれるMの要素の個数を求めよ。






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  1. 2019/06/05(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2019
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2019東京工業大 数学5



第5問

  $\small\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{2^8}{3^4}\end{align*}}$ として、数列
        $\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=\frac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\ \ \ \left(k=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left(x+1\right)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$ はx>0で減少することを示せ。

 (2) 数列$\small\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_k\right\}\end{align*}}$ の項の最大値Mを既約分数で表し、$\small\sf{\begin{align*}\sf b_k=M\end{align*}}$ となるkをすべて求めよ。




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  1. 2019/06/07(金) 23:57:00|
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