第1問
表に3、裏に8が書かれた硬貨がある。この硬貨を10回投げるとき、出た数字10個の
積が8桁になる確率を求めよ。ただし、$\small\sf{\log_{10}2=0.3010\ ,\ \log_{10}3=0.4771}$ とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
10回中、表がx回（0≦x≦10）出たとし、10個の数字の積をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3^x\cdot 8^{10-x}=3^x\cdot 2^{30-3x}\end{align*}}$
pは8桁の数なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10^7\leqq p\lt 10^8\end{align*}}$
であり、常用対数をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 7\leqq \log_{10}p\lt 8 \end{align*}}$ ･･････(*)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}p&=\sf \log_{10}\left(3^x\cdot 2^{30-3x}\right) \\ &=\sf x\log_{10}3+(30-3x)\log_{10}2\\ &=\sf 0.4771x+0.3010(30-3x)\\ &=\sf 9.03-0.4259x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ 7\leqq 9.03-0.4259x\lt 8\ \ \Leftrightarrow\ \ 2.41\cdots \lt x\leqq 4.76\cdots\end{align*}}$
よって、表が出る回数は3回または4回なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_{10}C_3+ _{10}C_4}{2^{10}}=\underline{\frac{165}{512}}\end{align*}}$
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第2問
kを実数とする。3次関数$\small\sf{y=x^3-kx^2+kx+1}$ が極大値と極小値をもち、極大値から
極小値を引いた値が4|k|3になるとする。このとき、kの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-kx^2+kx+1\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-2kx+k\end{align*}}$
3次関数$\scriptsize\sf{f(x)}$ が極値を持つのは、2次方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ が異なる2つの実数解を
もつときなので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=k^2-3k=k(k-3)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{k\lt 0\ ,\ \ 3\lt k}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
このとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ の2解を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha,\ \beta\ \ (\alpha\lt \beta) \end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{k-\sqrt{k^2-3k}}{3}\ ,\ \ \beta=\frac{k+\sqrt{k^2-3k}}{3} \end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}}$ の符号は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ の前後で正から負に変化し、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ の前後で負から正に変化するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x) \end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\alpha\end{align*}}$ で極大、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\beta\end{align*}}$ で極小となる。
よって、この差は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\alpha)-f(\beta)&=\sf\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx \\ &=\sf \int_{\beta}^{\alpha}3(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ &=\sf -\frac{3}{6}(\alpha-\beta)\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(\frac{k-\sqrt{k^2-3k}}{3}-\frac{k+\sqrt{k^2-3k}}{3}\right)^3\\ &=\sf \frac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3 \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{27}\left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=4|k|^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{k^2-3k}\right)^3=27|k|^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{k^2-3k}=3|k|\ (\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-3k=9k^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ k=0\ ,\ \frac{3}{8}\end{align*}}$
(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{k=-\frac{3}{8}}\end{align*}}$
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第3問
座標空間内の3点$\small\sf{A(1,2,3)\ ,\ B(3,2,3)\ ,\ C(4,5,6)}$ を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とし、平面$\small\sf{\alpha}$ 上にない
点$\small\sf{P(6,p,q)}$ を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pから平面$\small\sf{\alpha}$ に下した垂線を$\small\sf{\alpha}$ との交点をHとする。線分PHの長さをp、qを
用いて表せ。
(2) 点Pが$\small\sf{(p-9)^2+(q-7)^2=1}$ を満たしながら動くとき、四面体ABCPの体積の最大値
と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=(2,0,0)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(3,3,3)\end{align*}}$
Hは平面$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}-(1,2,3)=s(2,0,0)+t(3,3,3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}=\left(2s+3t+1,\ 3t+2,\ 3t+3\right)\end{align*}}$
と表すことができる。これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(2s+3t-5 ,\ -p+3t+2,\ -q+3t+3\right)\end{align*}}$
PH⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ よりPH⊥ABかつPH⊥ACなので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=2(2s+3t-5)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=3(2s+3t+1)+3(3t+2)+3(3t+3)=0\end{align*}}$
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2s-3t-5=2s+9t-p-q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=-\frac{p+q-15}{4}\ ,\ \ t=\frac{p+q-5}{6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PH}=\left(0,\ -\frac{p-q+1}{2},\ \frac{p-q+1}{2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=\sqrt{0+\left(-\frac{p-q+1}{2}\right)^2+\left( \frac{p-q+1}{2}\right)^2} =\underline{\frac{|p-q+1|}{\sqrt2}} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-q+1=k\ \ \Leftrightarrow\ \ q=p+1-k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (p-9)^2+(q-7)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (p-9)^2+(p-k-6)^2=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^2-2(k+15)p+k^2+12k+116=0\end{align*}}$
pは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(k+15)^2-2(k^2+12k+116)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-6k+7\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (0\lt )\ \ 3-\sqrt2\leqq k\leqq 3+\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3-\sqrt2}{\sqrt2}\leqq PH\leqq \frac{3+\sqrt2}{\sqrt2}\ \ \ \cdots\cdots\cdots \end{align*}}$ (*)
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|=2\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=6+0+0=6\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\triangle ABC &=\sf\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2} \\ &=\sf\frac{1}{2}\sqrt{2^2\cdot \left(3\sqrt3\right)^2-6^2} \\ &=\sf 3\sqrt2\end{align*}}$
四面体ABCPの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{1}{3}\triangle ABC\cdot PH=\sqrt2\ PH\end{align*}}$
これと(*)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3-\sqrt2\leqq V\leqq 3+\sqrt2\end{align*}}$
よって、Vの最大値および最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{max}=\underline{3+\sqrt2}\ ,\ \ V_{min}=\underline{3-\sqrt2}\end{align*}}$
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第4問
0でない2つの整式$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ が以下の恒等式を満たすとする。
$\small\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7}$
$\small\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2}$
(1) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ の次数はともに2以下であることを示せ。
(2) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)}$
$\scriptsize\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)}$
(1)
$\scriptsize\sf{f(x),\ g(x)}$ の次数をそれぞれn、mとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^n+F(x)\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(a\ne 0\ ,\ F(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=px^m+G(x)\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(p\ne 0\ ,\ G(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
と表すことができる。
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^{2n}+F(x^2)&=\sf (x^2+2)\{px^{m}+G(x)\}+7 \\ &=\sf px^{m+2}+x^2G(x)+2px^m+2G(x)+7 \end{align*}}$
最高次の項の指数と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n=m+2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
また、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^{3m}+G(x^3)&=\sf x^4\{ax^n+F(x)\}-2x^2\{px^m+G(x)\}-6x^2-2 \\ &=\sf ax^{n+4}-2px^{m+2}+x^4F(x)-2x^2G(x)-6x^2-2\end{align*}}$
最高次の項の指数と係数を比較すると、
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\gt m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4\end{align*}}$
これと、(*)より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=m=2\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\lt m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=-2p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=m+2\end{align*}}$
となるが、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\ne 0\end{align*}}$ に反する
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4=m+2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a-2p \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4=m+2\end{align*}}$
これと、(*)を同時に満たすm、nは存在しない。
以上より、$\scriptsize\sf{f(x)}$ と$\scriptsize\sf{g(x)}$ の次数はともに2である
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2+bx+c\ ,\ \ g(x)=px^2+qx+r\end{align*}}$
とおくと、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^4+bx^2+c&=\sf (x^2+2)(px^2+qx+r)+7 \\ &=\sf px^4+qx^3+(2p+r)x^2+2qx+2r+7\end{align*}}$
となり、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=2p+r\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2r+7\end{align*}}$
一方、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^6+qx^3+r&=\sf x^4(ax^2+bx+c)-3x^2(px^2+qx+r)-6x^2-2 \\ &=\sf ax^6+bx^5+(c-3p)x^4-3qx^3-(3r+6)x^2-2\end{align*}}$
となり、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c-3p=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=-3q\end{align*}}$かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -(3r+6)=0\end{align*}}$かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-2\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=1\ ,\ \ b=0\ ,\ \ c=-3\ ,\ \ p=1\ ,\ \ q=0\ ,\ \ r=-2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{f(x)=x^2+3\ ,\ \ g(x)=x^2-2}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
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