青木ゼミ青木大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

2019九州大　理系数学1

第1問

　　nを自然数とする。x、yがすべての実数を動くとき、定積分
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\big(\sin\left(2n\pi t\right)-xt-y\big)^2dt \end{align*}}$
　　の最小値をI_nとおく。極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\rm I_{\sf n}\end{align*}}$

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　与えられた定積分をIとおくと　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I=\sf\int_{0}^1\big\{\sin^2\left(2n\pi t\right)-2\left(xt+y\right)\sin\left(2n\pi t\right)+\left(xt+y\right)^2\big\}dt \end{align*}}$
　　　　sinの半角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\sin^2\left(2n\pi t\right)dt&=\sf \int_0^1\frac{1-\cos(4n\pi t)}{2}dt \\ &=\sf \frac{1}{2}\left[t-\frac{1}{4n\pi}\sin\left(4n\pi t\right)\right]_0^1\\ &=\sf\frac{1}{2} \end{align*}}$
　　　　部分積分法より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int_0^1\left(xt+y\right)\sin\left(2n\pi t\right)dt &=\sf\left[-\frac{1}{2n\pi}(xt+y)\cos(2n\pi t)\right]_0^1+\int_0^1\frac{x}{2n\pi}\cos(2n\pi t)dt \\ &=\sf -\frac{1}{2n\pi}\big\{(x+y)\cos (2n\pi)-y\cos 0\big\}+\left[\frac{x}{(2n\pi)^2}\sin(2n\pi t)\right]_0^1\\ &=\sf -\frac{x}{2n\pi}\end{align*}}$
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int_0^1\left(xt+y\right)^2dt &=\sf\left[\frac{1}{3x}\left(xt+y\right)^3\right]_0^1 \\ &=\sf\frac{1}{3x}\big\{\left(x+y\right)^3-y^3\big\} \\ &=\sf \frac{1}{3}x^2+xy+y^2\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I &=\sf \frac{1}{2}-2\cdot\left(-\frac{x}{2n\pi}\right)+\frac{1}{3}x^2+xy+y^2 \\ &=\sf y^2+xy+\frac{1}{3}x^2+\frac{x}{n\pi}+\frac{1}{2}\\ &=\sf \left(y+\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{1}{12}x^2+\frac{x}{n\pi}+\frac{1}{2}\\ &=\sf \left(y+\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{1}{12}\left(x+\frac{6}{n\pi}\right)^2+\frac{1}{2}-\frac{3}{n^2\pi^2}\end{align*}}$
　　　　ここで、x、yは実数より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(y+\frac{1}{2}x\right)^2\geqq 0\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(x+\frac{6}{n\pi}\right)^2\geqq 0 \end{align*}}$
　　　　なので、Iの最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}=\sf \frac{1}{2}-\frac{3}{n^2\pi^2}\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\rm I_{\sf n}=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{n^2\pi^2}\right)=\underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/03/09(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

| トラックバック:0

| コメント:0

2019九州大　理系数学2

第4問

　　0でない2つの整式$\small\sf{f(x),\ g(x)}$ が以下の恒等式を満たすとする。
　　　　　　　　$\small\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7}$
　　　　　　　　$\small\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2}$

　(1) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ の次数はともに2以下であることを示せ。

　(2) $\small\sf{f(x)}$ と$\small\sf{g(x)}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{g(x^3)=x^4f(x)-3x^2g(x)-6x^2-2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)}$

　(1)
　　　　$\scriptsize\sf{f(x),\ g(x)}$ の次数をそれぞれn、mとおくと、　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^n+F(x)\end{align*}}$　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(a\ne 0\ ,\ F(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=px^m+G(x)\end{align*}}$　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \big(p\ne 0\ ,\ G(x)\end{align*}}$ は高々$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m-1\end{align*}}$ 次の整式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\big) \end{align*}}$
　　　　と表すことができる。　　　　
　　　　(ⅰ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^{2n}+F(x^2)&=\sf (x^2+2)\{px^{m}+G(x)\}+7 \\ &=\sf px^{m+2}+x^2G(x)+2px^m+2G(x)+7 \end{align*}}$
　　　　最高次の項の指数と係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p \end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n=m+2\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$

　　　　また、(ⅱ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^{3m}+G(x^3)&=\sf x^4\{ax^n+F(x)\}-2x^2\{px^m+G(x)\}-6x^2-2 \\ &=\sf ax^{n+4}-2px^{m+2}+x^4F(x)-2x^2G(x)-6x^2-2\end{align*}}$
　　　　最高次の項の指数と係数を比較すると、
　　　　　　・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\gt m+2\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a \end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4\end{align*}}$
　　　　　　　　これと、(*)より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=m=2\end{align*}}$
　　　　　　・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4\lt m+2\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=-2p \end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=m+2\end{align*}}$　　　　　
　　　　　　　　となるが、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\ne 0\end{align*}}$ に反する
　　　　　　・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+4=m+2\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a-2p \end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m=n+4=m+2\end{align*}}$
　　　　　　　これと、(*)を同時に満たすm、nは存在しない。
　　　　以上より、$\scriptsize\sf{f(x)}$ と$\scriptsize\sf{g(x)}$ の次数はともに2である

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2+bx+c\ ,\ \ g(x)=px^2+qx+r\end{align*}}$
　　　　とおくと、(ⅰ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax^4+bx^2+c&=\sf (x^2+2)(px^2+qx+r)+7 \\ &=\sf px^4+qx^3+(2p+r)x^2+2qx+2r+7\end{align*}}$
　　　　となり、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=0\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=2p+r\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=2r+7\end{align*}}$

　　　　一方、(ⅱ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf px^6+qx^3+r&=\sf x^4(ax^2+bx+c)-3x^2(px^2+qx+r)-6x^2-2 \\ &=\sf ax^6+bx^5+(c-3p)x^4-3qx^3-(3r+6)x^2-2\end{align*}}$
　　　　となり、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=p\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=0\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c-3p=0\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=-3q\end{align*}}$かつ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -(3r+6)=0\end{align*}}$かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-2\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=1\ ,\ \ b=0\ ,\ \ c=-3\ ,\ \ p=1\ ,\ \ q=0\ ,\ \ r=-2\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{f(x)=x^2+3\ ,\ \ g(x)=x^2-2}\end{align*}}$

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/03/10(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

| トラックバック:0

| コメント:0

2019九州大　理系数学3

第3問

　　1個のサイコロを3回投げて出た目を順にa、b、cとする。2次方程式
　　　　　　　　ax²+bx+c=0
　　の2つの解z₁、z₂を表す複素数平面上の点をそれぞれP₁(z₁)、P₂(z₂)とする。
　　また、複素数平面上の原点をOとする。以下の問いに答えよ。

　(1) P₁とP₂が一致する確率を求めよ。

　(2) P₁とP₂がともに単位円の周上にある確率を求めよ。

　(3) P₁とOを通る直線をL₁とし、とP₂とOを通る直線をL₂とする。L₁とL₂のなす
　　　鋭角が60°である確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{ax^2+bx+c=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)}$

　(1)
　　　　(*)が重解をもつときなので、判別式を考えると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=b^2-4ac=0\end{align*}}$
　　　　これを満たすようなa、b、cの組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,2,1),\ (1,4,4),\ (2,4,2),\ (4,4,1),\ (3,6,3)\end{align*}}$
　　　　の5通りあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{6^3}=\underline{\frac{5}{216}}\end{align*}}$

　(2)
　　　　・(*)が実数解をもつとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=z_2=1\end{align*}}$　または　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=z_2=-1\end{align*}}$　または　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=1,\ z_2=-1\end{align*}}$
　　　　　であればよいので、これを満たすようなa、b、cの組(a，b，c)は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,2,1),\ (2,4,2),\ (3,6,3)\end{align*}}$
　　　　　の3通りある。

　　　　・(*)が虚数解をもつとき　　　　
　　　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=b^2-4ac\lt 0\end{align*}}$
　　　　　であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{z_1}=z_2\end{align*}}$ なので、解と係数の関係より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z_1|^2=z_\overline{z_1}=z_1z_2=\frac{c}{a}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ c=a\end{align*}}$
　　　　　これらより、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt 2a\ \ \left(\because\ a,b\gt 0\right) \end{align*}}$
　　　　　これを満たさないようなa、bの組(a，b)は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (1,5),\ (1,6), (2,4),\ (2,5),\ (2,6),\ (3,6)\end{align*}}$
　　　　　の9通りあるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6^2-9=27 \end{align*}}$ 通り。
　　　　以上より、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3+27}{6^3}=\underline{\frac{5}{36}}\end{align*}}$

　(3)
　　　　・(*)が実数解をもつとき
　　　　　　2直線L₁、L₂が一致するので題意を満たさない。

　　　　・(*)が虚数解をもつとき　　　　
　　　　　　2解を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=\frac{-b+\sqrt{4ac-b^2}\ i}{2a}\ ,\ \ z_2=\frac{-b-\sqrt{4ac-b^2}\ i}{2a}\end{align*}}$
　　　　　　とすると、これらは互いに共役なので、2点P₁、P₂は実軸について対称である。
　　　　　　また、a、b＞0より、複数平面において、P₁は第2象限の点、P₂は第3象限の点である。
　　　　　　2直線L₁、L₂のなす鋭角が60°になるのは、
　　　　　　　　　　　(ア) ∠P₁OP₂=60°　　(イ) ∠P₁OP₂=120°
　　　　　　の2つの場合がある。
　　　　　　(ア)の場合
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf arg(z_1)=\frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ となるので、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b:\sqrt{4ac-b^2}=\sqrt3:1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=3(4ac-b^2) \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=3ac\end{align*}}$
　　　　　　　　これを満たすようなa、b、cの組(a，b，c)は
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,3,3),\ (3,3,1),\ (2,6,6),\ (3,6,4),\ (4,6,3),\ (6,6,2)\end{align*}}$
　　　　　　　　の6通り

　　　　　　(イ)の場合
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf arg(z_1)=\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ となるので、
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b:\sqrt{4ac-b^2}=1:\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 3b^2=4ac-b^2 \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=ac\end{align*}}$
　　　　　　　　これを満たすようなa、b、cの組(a，b，c)は
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,1,1),\ (2,2,1),\ (3,3,3),\ (4,4,4),\ (5,5,5),\ (6,6,6),\ \end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (1,2,4),\ (4,2,1)\ \end{align*}}$
　　　　　　　　の8通り
　　　　以上より、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6+8}{6^3}=\underline{\frac{7}{108}} \end{align*}}$

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/03/11(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

| トラックバック:0

| コメント:0

2019九州大　理系数学4

第4問

　　座標平面上の3点O(0，0)、A(2，0)、B(1，$\small\sf{\sqrt3}$ )を考える。点P₁は線分AB上にあり、
　　A、Bとは異なる点とする。線分AB上の点P₂、P₃、･･･を以下のように定める。点P_nが定まっ
　　たとき、点P_nから線分OBに下した垂線とOBとの交点をQ_nとし、点Q_nから線分OAに下した
　　垂線とOAとの交点をR_nとし、点R_nから線分ABに下した垂線とABとの交点をP_n+1とする。
　　n→∞のとき、P_nが限りなく近づく点の座標を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　△OABは一辺2の正三角形である。
　　　　$\scriptsize\sf{AP_n=a_n}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_1\lt 2\end{align*}}$
　　　　右図より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BP_n=2-AP_n=2-a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BQ_n=\frac{1}{2}BP_n=1-\frac{1}{2}a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ_n=2-BQ_n=1+\frac{1}{2}a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OR_n=\frac{1}{2}OQ_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AR_n=2-OR_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP_{n+1}=\frac{1}{2}AR_n=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}a_n\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{8}\left(a_n-\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left\{a_n-\frac{2}{3}\right\} \end{align*}}$ は公比$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{8}\end{align*}}$ の等比数列をなすので、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n}-\frac{2}{3}=\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n}=\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt -\frac{1}{8}\lt 1\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}=0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　よって、Pが限りなく近づく点をP_∞とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AP_{\infty}:BP_{\infty}=\frac{2}{3}:\left(2-\frac{2}{3}\right)=1:2\end{align*}}$
　　　　より、P_∞は線分ABを1:2に内分する点である。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{\infty}\left(\frac{4+1}{1+2},\ \frac{0+\sqrt3}{1+2}\right)=\underline{\left(\frac{5}{3},\ \frac{\sqrt3}{3}\right)}\end{align*}}$

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/03/12(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

| トラックバック:0

| コメント:0

2019九州大　理系数学5

第5問

　　a、bを複素数、cを純虚数でない複素数とし、iを虚数単位とする。複素数平面において、
　　点zが虚軸全体を動くとき、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{az+b}{cz+1}\end{align*}}$
　　で定まる点wの軌跡をCとする。次の3条件が満たされているとする。
　　　　(ア) z=iのときにw=iとなり、z=-iのときにw=-iとなる。
　　　　(イ) Cは単位円の周に含まれる。
　　　　(ウ) 点-1はCに属さない。
　　このとき、a、b、cの値を求めよ。さらにCを求め、複素数平面上に図示せよ。
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　条件　(ア）について
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf i=\frac{ai+b}{ci+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ -c+i=ai+b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -i=\frac{-ai+b}{-ci+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ -c-i=-ai+b\end{align*}}$
　　　　　これら2式の和と差を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=-c\ ,\ \ a=1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i) \end{align*}}$　　
　　　　　また、zは虚軸上の点なので実数tを用いて $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=ti \end{align*}}$ と表すことができるので、
　　　　　これらより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{ti-c}{cti+1}\end{align*}}$

　　　条件　(イ）について
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |w|=\left|\frac{ti-c}{cti+1}\right|=1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |ti-c|^2=|cti+1|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(ti-c\right)\left(-ti-\overline{c}\right)=\left(cti+1\right)\left(-\overline{c}ti+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-\overline{c}ti+cti+c\overline{c}=c\overline{c}t^2+cti-\overline{c}ti+1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-c\overline{c}t^2+c\overline{c}-1=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t^2-1\right)\left(1-c\overline{c}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　これが任意の実数tに対して成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c\overline{c}=|c|^2=1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii) \end{align*}}$

　　　条件　(ウ）について
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\frac{ti-c}{cti+1}=-1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf ti-c=-cti-1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (c+1)ti=c-1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (iii) \end{align*}}$
　　　　　これを満たす実数tが存在しなければよい。
　　　　　　　・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=-1\end{align*}}$ のときは明らかに、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ \ \Leftrightarrow\ \ 0ti=-2\end{align*}}$ を満たす実数tは存在しない。
　　　　　　　・ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c\ne -1\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{c-1}{(c+1)i}\end{align*}}$
　　　　　　　　であり、このtに対して
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{t}&=\sf \overline{\left\{\frac{c-1}{(c+1)i}\right\}} \\ &=\sf \frac{\overline{c}-1}{(\overline{c}+1)\cdot (-i)}\\ &=\sf \frac{\frac{1}{c}-1}{(\frac{1}{c}+1)\cdot (-i)}\ \ \ \ \left(\because\ (ii)\right)\\ &=\sf -\frac{1-c}{(c+1)i}\\ &=\sf t\end{align*}}$
　　　　　　　　が成り立つので、tは実数となり条件(ウ)に反する。
　　　　よって、これと(i)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=1\ ,\ \ b=1\ ,\ \ c=-1}\end{align*}}$

　　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=-\frac{ti+1}{ti-1}=-\frac{(ti+1)(-ti-1)}{(ti-1)(-ti-1)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}i\end{align*}}$
　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\tan\frac{\theta}{2}\ \ \left(-\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とおくと、
　　　　半角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2=\tan^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t^2+t^2\cos\theta=1-\cos\theta \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{align*}}$
　　　　また、倍角公式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2t}{1+t^2}=\frac{2t}{1-t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}=\tan\theta\cos\theta=\sin\theta\end{align*}}$
　　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=\cos\theta+i\sin\theta\ \ \left(-\pi\lt\theta\lt\pi\right)\end{align*}}$
　　　　となるので、Cは下図のようになる。

　　　　　　　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2019/03/13(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.全国の大学　.九州大　理系　2019

| トラックバック:0

| コメント:0

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2019九州大　理系数学1

2019九州大　理系数学2

2019九州大　理系数学3

2019九州大　理系数学4

2019九州大　理系数学5

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

日	月	火	水	木	金	土
-	-	-	-	-	1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31	-	-	-	-	-	-

日	月	火	水	木	金	土
-	-	-	-	-	1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31	-	-	-	-	-	-

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019九州大 理系数学1

2019九州大 理系数学2

2019九州大 理系数学3

2019九州大 理系数学4

2019九州大 理系数学5

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2019九州大　理系数学1

2019九州大　理系数学2

2019九州大　理系数学3

2019九州大　理系数学4

2019九州大　理系数学5

日	月	火	水	木	金	土
-	-	-	-	-	1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31	-	-	-	-	-	-