青木ゼミ青木大学入試(数学)　.全国の大学　.名古屋大　文系　2019

2019名古屋大　文系数学1

第1問

　　aを実数とし、関数$\small\sf{f(x)=x^2+ax-a}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf F(x)=\int_0^xf(t)dt\end{align*}}$ を考える。関数$\small\sf{y=F(x)-f(x)}$
　　のグラフがx軸と異なる3点で交わるためのaの条件を求めよ。

解答はこちら↓

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【解答】

　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(x)&=\sf\int_0^x\left(t^2+at-a\right)dt \\ &=\sf\left[\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{2}at^2-at\right]_0^1 \\ &=\sf\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2-ax \end{align*}}$
　　　　関数$\scriptsize\sf{g(x)}$ を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)&=\sf F(x)-f(x) \\ &=\sf\frac{1}{3}x^3+\left(\frac{1}{2}a-1\right)x^2-2ax\end{align*}}$
　　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)&=\sf x^2+(a-2)x-2a\\ &=\sf (x-2)(x+a) \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-a,\ 2\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -a\ne 2\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-a\end{align*}}$ および$\scriptsize\sf{x=2}$ で$\scriptsize\sf{g'(x)}$ の符号が変化するので、
　　　　$\scriptsize\sf{g(x)}$ は$\scriptsize\sf{x=-a,\ 2}$ で極値をとる。
　　　　関数$\scriptsize\sf{y=g(x)}$ のグラフがx軸と異なる3点で交わるためには
　　　　　　　　極大値＞0　かつ　極小値＜0
　　　　であればよいので、$\scriptsize\sf{g(-a)}$ と$\scriptsize\sf{g(2)}$ が異符号であればよい。
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(2)\cdot g(-a)&=\sf \left\{\frac{8}{3}+4\left(\frac{1}{2}a-1\right)-4a+a\right\}\cdot\left\{\frac{1}{3}\cdot (-a)^3+\left(\frac{1}{2}a-1\right)a^2+2a^2+a\right\} \\ &=\sf -\frac{1}{6}a\left(a+\frac{4}{3}\right)\left(a^2+6a+6\right)\lt 0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a\lt-3-\sqrt3\ ,\ \ -\frac{4}{3}\lt a\lt -3+\sqrt3\ ,\ \ 0\lt a}\end{align*}}$
　　　　　　　　（これは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -a\ne 2\end{align*}}$ を満たす）

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2019/03/14(木) 23:57:00|

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2019名古屋大　文系数学2

第2問

　　非負の整数nに対してP_nをxy平面上の点とする。P₀の座標を$\small\sf{(1,0)}$ とし、P_nの座標
　　$\small\sf{(x_n,y_n)}$ とP_n+1の座標$\small\sf{(x_{n+1},y_{n+1})}$ は
　　　　　　　　$\small\sf{x_{n+1}=x_n-k\left(y_n+y_{n+1}\right)}$
　　　　　　　　$\small\sf{y_{n+1}=y_n+k\left(x_n+x_{n+1}\right)}$
　　をみたすとする。ただしkを正の実数とする。

　(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf k=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$ とする。ただし$\small\sf{0\lt\alpha\lt \pi}$ とする。このときP₁、P₂の座標$\small\sf{(x_1,y_1)\ ,\ (x_2,y_2)}$
　　　を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

　(2) P_nの座標$\small\sf{(x_n,y_n)}$ を(1)の$\small\sf{\alpha}$ とnを用いて表せ。

　(3) Oをxy平面の原点とするとき、三角形P_nOP_n+1の面積をkを用いて表せ。

解答はこちら↓

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{x_{n+1}=x_n-k\left(y_n+y_{n+1}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x_{n+1}+ky_{n+1}=x_n-ky_n}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{y_{n+1}=y_n+k\left(x_n+x_{n+1}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ -kx_{n+1}+y_{n+1}=kx_n+ky_n}$
　　　　これら2式を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=\frac{1-k^2}{1+k^2}x_n-\frac{2k}{1+k^2}y_n\ ,\ \ \ y_{n+1}=\frac{2k}{1+k^2}x_n+\frac{1-k^2}{1+k^2}y_n\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$

　(1)
　　　　tanの半角公式より　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k^2=\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\frac{1-k^2}{1+k^2} \end{align*}}$
　　　　tanの倍角公式より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2k}{1-k^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2k}{1+k^2}=\frac{2k}{1-k^2}\cdot\frac{1-k^2}{1+k^2}=\tan\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\end{align*}}$
　　　　これらと(*)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{x_{n+1}=x_n\cos\alpha-y_n\sin\alpha\ ,\ \ y_{n+1}=x_n\sin\alpha+y_n\cos\alpha\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**)}$
　　　　となるので、$\scriptsize\sf{x_0=1,\ y_0=0}$ より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{x_{1}=x_0\cos\alpha-y_0\sin\alpha=\cos\alpha}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{y_{1}=x_0\sin\alpha+y_0\cos\alpha=\sin\alpha}$
　　　　倍角公式より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_2&=\sf x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha \\ &=\sf\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &=\sf\cos 2\alpha \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_2&=\sf x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha \\ &=\sf 2\sin\alpha\cos\alpha\\ &=\sf \sin 2\alpha\end{align*}}$
　　　　以上より、点P₁、P₂の座標は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_1\left(\cos\alpha,\ \sin\alpha\right)\ ,\ \ P_2\left(\cos 2\alpha,\ \sin 2\alpha\right)}\end{align*}}$

　(2)
　　　　P_nの座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)\end{align*}}$ と類推できるので、これを数学的帰納法で示す。
　　　　(ⅰ) n=1のときは(１)より成り立つ
　　　　(ⅱ) n=kのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_k\left(\cos k\alpha,\ \sin k\alpha\right)\end{align*}}$ が成り立つと仮定すると、(**)と加法定理より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{k+1}&=\sf x_k\cos\alpha-y_k\sin\alpha \\ &=\sf\cos k\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\sf\cos (k+1)\alpha \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{k+1}&=\sf x_k\sin\alpha+y_k\cos\alpha \\ &=\sf \sin k\alpha\cos\alpha+\cos k\alpha\sin\alpha\\ &=\sf \sin (k+1)\alpha\end{align*}}$
　　　　　　　となるので、n=k+1のときも成り立つ。
　　　　よって、任意の自然数nに対してP_nの座標は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)}\end{align*}}$
　　　　となる。

　(3)
　　　　(2)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n\left(\cos n\alpha,\ \sin n\alpha\right)\ ,\ \ P_{n+1}\left(\cos (n+1)\alpha,\ \sin (n+1)\alpha\right)\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP_n=OP_{n+1}=1 \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_nOP_{n+1}=(n+1)\alpha-n\alpha=alpha\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\triangle P_nOP_{n+1} &=\sf \frac{1}{2}\cdot OP_n\cdot OP_{n+1}\sin\angle P_nOP_{n+1} \\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin\alpha\\ &=\sf \underline{\frac{k}{1+k^2}}\end{align*}}$

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2019/03/15(金) 23:57:00|

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2019名古屋大　文系数学3

第3問

　　1つのサイコロを3回投げる。1回目に出る目をa、2回目に出る目をb、3回目に出る目をcとする。
　　なお、サイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする。

　(1) 2次方程式$\small\sf{x^2-bx+c=0}$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。

　(2) 2次方程式$\small\sf{ax^2-bx+c=0}$ のすべての解が整数である確率を求めよ。

　(3) 2次方程式$\small\sf{ax^2-bx+c=0}$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　2次方程式$\scriptsize\sf{ax^2-bx+c=0}$ が整数解nをもつとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{an^2-bn+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ n(-an+b)=c}$
　　　　となるので、nはcの約数である。cはサイコロの目なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{n=1,2,3,4,5,6}$

　　　　(ⅰ) n=1のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{a-b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=a+c}$
　　　　　　となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,2,1)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (2,3,1)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,4,3),\ (2,4,2),\ (3,4,1)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,5,4),\ (2,5,3),\ (3,5,2),\ (4,5,1)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,6,5),\ (2,6,4),\ (3,6,3),\ (4,6,2),\ (5,6,1)}$
　　　　　　　　　
　　　　(ⅱ) n=2のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4a-2b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=2a+\frac{c}{2} \end{align*}}$
　　　　　　となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (1,4,4),\ (1,5,6),\ (2,5,2),\ (2,6,4)}$

　　　　(ⅲ) n=3のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9a-3b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=3a+\frac{c}{3} \end{align*}}$
　　　　　　となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,4,3),\ (1,5,6)}$

　　　　(ⅳ) n=4のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 16a-4b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=4a+\frac{c}{4} \end{align*}}$
　　　　　　となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は$\scriptsize\sf{(1,5,4)}$

　　　　(ⅴ) n=5のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 25a-5b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=5a+\frac{c}{5} \end{align*}}$
　　　　　　となるので、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は$\scriptsize\sf{(1,6,5)}$

　　　　(ⅵ) n=6のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 36a-6b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=6a+\frac{c}{6} \end{align*}}$
　　　　　　となり、これを満たすサイコロの目の組(a，b，c)は存在しない。

　(1)
　　　　$\scriptsize\sf{a=1}$ であるようなサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,2,1),\ (1,3,2),\ (1,4,3),\ (1,5,4),\ (1,6,5),\ (1,4,4),\ (1,5,6)}$
　　　　の7組なので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{6^2}=\underline{\frac{7}{36}}\end{align*}}$

　(2)
　　　　整数の重解をもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,2,1),\ (2,4,2),\ (3,6,3),\ (1,4,4)}$ の4組
　　　　異なる2つの整数解をもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(1,3,2),\ (1,4,3),\ (1,5,4),\ (1,6,5),\ (1,5,6),\ (2,6,4)}$ の6組
　　　　よって、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4+6}{6^3}=\underline{\frac{5}{108}}\end{align*}}$

　(3)
　　　　整数解を1つだけもつようなサイコロの目の組(a，b，c)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(2,3,1),\ (3,4,1),\ (2,5,3),\ (3,5,2)}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4,5,1),\ (4,6,2),\ (5,6,1),\ (2,5,2)}$ の8組
　　　　これと(2)の10組を合わせると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{8+10}{6^3}=\underline{\frac{1}{12}}\end{align*}}$

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