第1問
正の整数nに対し
$\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^n\theta} \end{align*}}$
とする。
(1) I1を求めよ。必要ならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)\end{align*}}$ を使ってよい。
(2) n≧3のとき、InをIn-2とnで表せ。
(3) xyz空間においてxy平面愛の原点を中心とする半径1の円板をDとする。
Dを底面とし、点(0，0，1)を頂点とする円錐をCとする。Cを平面$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$
で2つの部分に切断したとき、小さい方をSとする。z軸に平行な平面による
切り口を考えてSの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf 1} &=\sf\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^n\theta} \\ &=\sf\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)d\theta\\ &=\sf\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left\{\frac{(1+\sin\theta})'{1+\sin\theta}+\frac{-(1-\sin\theta)'}{1-\sin\theta}\right\} d\theta\\ &=\sf\frac{1}{2}\big[\log\left| 1+\sin\theta\right|-\log\left| 1-\sin\theta\right|\big]_0^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\sf\frac{1}{2}\left\{\log\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)-\log\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}-\frac{1}{2}\left(\log 1-\log 1\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}\log\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\\ &=\sf\frac{1}{2}\log\frac{\left(2+\sqrt3\right)^2}{2^2-\left(\sqrt3\right)^2} \\ &=\sf \underline{\log\left(2+\sqrt3\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^n\theta} \\ &=\sf\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^2\theta\ \cos^{n-2}\theta} \\ &=\sf\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\left(\tan\theta\right)'}{\cos^{n-2}\theta}d\theta \\ &=\sf \left[\frac{\tan\theta}{\cos^{n-2}\theta}\right]_0^{\frac{\pi}{3}}-\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\tan\theta\right)\cdot\left(-n+2\right)\cdot \frac{-\sin\theta}{\cos^{n-1}\theta}d\theta \\ &=\sf \frac{\sqrt3}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}-(n-2)\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2\theta}{\cos^n\theta}d\theta\\ &=\sf\sqrt3\cdot 2^{n-1}-(n-2)\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^n\theta}-\frac{1}{\cos^{n-2}\theta}\right)d\theta\ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta\right) \\ &=\sf\sqrt3\cdot 2^{n-2}-\left(n-2\right)\left(\rm I_{\sf n}-\rm I_{\sf n-2}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (n-1)\rm I_{\sf n}=\sqrt3\cdot 2^{n-2}+\left(n-2\right)\rm I_{\sf n-2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n}=\underline{\frac{\sqrt3\cdot 2^{n-2}+\left(n-2\right)\rm I_{\sf n-2}}{n-1}} \end{align*}}$
(3)
2点A、Bを$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A(0,0,1)\ ,\ B(1,0,0)\end{align*}}$ とおくと、△OABは直角二等辺三角形なので、
平面$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$ とCの母線ABとの交点の座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ である。
z軸上の点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(0,0,t\right)\ \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ を通り、z軸と垂直な平面を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha\end{align*}}$ とし、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha\end{align*}}$ によるCの切断面を円板D'とする。
D'と母線ABとの交点をB'とすると、△PAB'も直角二等辺三角形なので、D'の半径は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PB'=AP=1-t \end{align*}}$
また、D'が平面$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$ と交わる線分の端点を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_1,\ Q_2\end{align*}}$ とし、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_1,\ Q_2\end{align*}}$ の中点をR、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle Q_1PR=\theta \end{align*}}$ とおく。
平面$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\alpha\end{align*}}$ によるSの断面は右図の水色部分になり、この面積をTとすると、
Tは扇形$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_1PQ_2-\triangle Q_1PQ_2\end{align*}}$ として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf \frac{1}{2}(1-t)^2\cdot 2\theta-\frac{1}{2}(1-t)^2\sin 2\theta \\ &=\sf \frac{1}{2}(1-t)^2(2\theta-\sin 2\theta) \end{align*}}$
よって、Sの体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \int_0^{\frac{1}{2}}T\ dt \\ &=\sf\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}}(1-t)^2(2\theta-\sin 2\theta)dt \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PR=PQ_1\cos\theta&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{2}=(1-t)\cos\theta \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1-t=\frac{1}{2\cos\theta} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t=1-\frac{1}{2\cos\theta}\end{align*}}$
両辺を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{2}\cdot \left\{-\frac{(\cos\theta)'}{\cos^2\theta}\right\}=-\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=0\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\theta=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\theta=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=0 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^0\left(\frac{1}{2\cos\theta}\right)^2\cdot\left(2\theta-\sin 2\theta\right)\cdot\left(-\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}\right)d\theta \\ &=\sf\frac{1}{8}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\theta\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta-\frac{1}{16}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\theta\sin 2\theta}{\cos^4\theta}d\theta \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\theta\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta&=\sf -\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\theta\left(\cos\theta\right)'}{\cos^4\theta}d\theta \\ &=\sf\int_0^{\frac{\pi}{3}}\theta\left(\frac{1}{3\cos^3\theta}\right)'d\theta\\ &=\sf\left[\theta\left(\frac{1}{3\cos^3\theta}\right)\right]_0^{\frac{\pi}{3}}-\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{3\cos^3\theta}d\theta \\ &=\sf \frac{8}{9}\pi-\frac{1}{3}\rm I_{\sf 3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\theta\sin 2\theta}{\cos^4\theta}d\theta&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin^2\theta\cos\theta}{\cos^4\theta}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{\cos\theta-\cos^3\theta}{\cos^4\theta}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^3\theta}-2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos\theta}-\\ &=\sf 2\rm I_{\sf 3}-\sf 2\rm I_{\sf 1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\frac{1}{8}\left(\frac{8}{9}\pi-\frac{1}{3}\rm I_{\sf 3}\right)-\frac{1}{16}\left(2\rm I_{\sf 3}-\sf 2\rm I_{\sf 1}\right) \\ &=\sf\frac{\pi}{9}-\frac{1}{6}\rm I_{\sf 3}+\frac{1}{8}\rm I_{\sf 1} \\ &=\sf \frac{\pi}{9}-\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt3\cdot 2^{3-2}+(3-2)\rm I_{\sf 1}}{3-1}+\frac{1}{8}\rm I_{\sf 1}\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt3}{6}+\frac{1}{24}\rm I_{\sf 1}\\ &=\sf \underline{ \frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt3}{6}+\frac{1}{24}\log\left(2+\sqrt3\right)\ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{}$
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- 2019/03/17(日) 23:57:00|
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第2問
空間内に$\small\sf{\begin{align*}\sf \angle BAC=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の直角二等辺三角形ABCとPがある。点AはP上にあり、
点Bと点CはP上にはなく、Pに関して同じ側に位置している。点B、CからPに
下した垂線とPとの交点をそれぞれB'、C'とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}=0\end{align*}}$ を示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \angle B'AC'\gt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を示せ。
(3) P上の三角形AB'C'の辺の長さは短いものから$\small\sf{4,\ \sqrt{21},\ 7}$ であった。
このとき、辺ABの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}\\ =&\sf\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AB'}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AC'}\right)\\ =&\sf \overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}-\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC}+\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} \\ =&\sf\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AC'}\right)+\overrightarrow{\sf AC'}\cdot\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AB'}\right)+\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} \\ =&\sf\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}+\overrightarrow{\sf AC'}\cdot\overrightarrow{\sf B'B}+\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC} \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB\bot AC\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BB'\bot P \end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BB'\bot AC' \end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AC'}\cdot\overrightarrow{\sf B'B}=0\end{align*}}$
同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}=0 \end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle B'AC'=\frac{\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}}{|\overrightarrow{\sf AB'}||\overrightarrow{\sf AC'}|}=-\frac{\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}}{|\overrightarrow{\sf AB'}||\overrightarrow{\sf AC'}|}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B'B}//\overrightarrow{\sf C'C}\end{align*}}$ であり、B'とC'はPに関して同じ側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}=|\overrightarrow{\sf B'B}||\overrightarrow{\sf C'C}|\gt 0\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle B'AC'\gt 0\end{align*}}$ より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\angle B'AC'\gt\frac{\pi}{2} \end{align*}}$ となる。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=AC=x\ ,\ \ B'B=y\ ,\ \ C'C=z\end{align*}}$
とおく。
(2)より、△AB'C'において、∠B'AC'は最大角なので、最大辺は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B'C'=7 \end{align*}}$ .
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB'=4\ ,\ \ AC'=\sqrt{21}\end{align*}}$ としても一般性を失わない。
△AB'C'に余弦定理を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle B'AC'=\frac{-7^2+4^2+\left(\sqrt{21}\right)^2}{2\cdot 4\cdot\sqrt{21}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}} \end{align*}}$
となるので、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf xy&=\sf |\overrightarrow{\sf B'B}||\overrightarrow{\sf C'C}| \\ &=\sf\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C} \\ &=\sf -\overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}\\ &=\sf -4\cdot\sqrt{21}\cdot\left(-\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)\\ &=\sf 6\end{align*}}$
また、△ABB'と△ACC'に三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-y^2=4^2\ ,\ \ x^2-z^2=\left(\sqrt{21}\right)^2 \end{align*}}$
これら3式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=5\ ,\ y=3\ ,\ z=2 \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{AB=5}\end{align*}}$
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- 2019/03/18(月) 23:57:00|
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第3問
正の整数nの正の平方根$\small\sf{\sqrt{n}}$ は整数ではなく、それを10進法で表すと、小数第1位は
0であり、第2位は0以外の数であるとする。
(1) このようなnの中で最小のものを求めよ。
(2) このようなnを小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sqrt{n}}$ の整数部分をmとすると、
$\scriptsize\sf{m\lt \sqrt{n}\lt m+0.1}$
と表すことができ、両辺を2乗すると
$\scriptsize\sf{m^2\lt n\lt m^2+0.2m+0.01}$
これを満たすm、nが存在するためには
$\scriptsize\sf{m^2\lt m^2+1\lt m^2+0.2m+0.01}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ m\gt 4.95}$
である必要があるので、nが最小となるのは$\scriptsize\sf{m=5}$ のときである。
このとき
$\scriptsize\sf{n=5^2+1=\underline{26}}$
(2)
$\scriptsize\sf{m^2\lt m^2+1\lt m^2+2\lt m^2+0.2m+0.01}$
を満たすmは$\scriptsize\sf{m\gt 9.95}$ のときである。
$\scriptsize\sf{m=5,6,7,8,9}$ のとき$\scriptsize\sf{n=m^2+1}$
$\scriptsize\sf{m=10,11,12,\cdots }$ のとき$\scriptsize\sf{n=m^2+1,\ m^2+2}$
となるので、nを小さい方から順に並べると、
$\scriptsize\sf{n=5^2+1=26}$
$\scriptsize\sf{n=6^2+1=37}$
$\scriptsize\sf{n=7^2+1=50}$
$\scriptsize\sf{n=8^2+1=65}$
$\scriptsize\sf{n=9^2+1=82}$
$\scriptsize\sf{n=10^2+1=101}$
$\scriptsize\sf{n=10^2+2=102}$
$\scriptsize\sf{n=11^2+1=122}$
$\scriptsize\sf{n=11^2+2=123}$
$\scriptsize\sf{n=12^2+1=145}$
よって、小さい方から10番目の数は$\scriptsize\sf{n=\underline{145}}$
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- 2019/03/19(火) 23:57:00|
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第4問
正の整数nに対して$\small\sf{1,2,\cdots ,n}$ を一列に並べた順列を考える。そのような順列はn!個ある。
このうち1つを等確率で選んだものを$\small\sf{(a_1,a_2,\cdots a_n)}$ に対し、各添字$\small\sf{i=1,2,\cdots ,n}$ について、
$\small\sf{a_i}$ の値がjであるとき、そのjを添字にもつ$\small\sf{a_j}$ の値がkであることを$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k}$ と書くこと
にする。ここで、$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k\rightarrow a_k=\ell\sf\rightarrow \cdots}$ のようにたどり、それを続けていく。例えば
$\small\sf{(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(2,5,6,1,4,3,7)}$ のとき、
$\small\sf{(i)\ a_1=2\rightarrow a_2=5\rightarrow a_5=4\rightarrow a_4=1\rightarrow a_1=2}$
$\small\sf{(ii)\ a_3=6\rightarrow a_6=3\rightarrow a_3=6}$
$\small\sf{(iii)\ a_7=7\rightarrow a_=7}$
となり、どのiから始めても列は必ず一巡する。この一巡するそれぞれの列をサイクル、列に
現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ。上の$\small\sf{(i),\ (ii),\ (iii)}$ は長さがそれぞれ
4，2，1のサイクルになっている。
(1) n=3とする。選んだ順列が長さ1のサイクルを含む確率を求めよ。
(2) n=4とする。長さ4のサイクルを含む順列をすべて挙げよ。
(3) n以下の正の整数kに対して、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{j=k}^n\frac{1}{j}\gt\log\left(n+1\right)-\log k\end{align*}}$
を示せ。
(4) nを奇数とする。選んだ順列が長さ$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{n+1}{2}\end{align*}}$ 以上のサイクルを含む確率pは$\small\sf{p\gt\log 2}$ を
みたすことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
長さ1のサイクルを含むものは
$\scriptsize\sf{(a_1,a_2,a_3)=(1,2,3)\ ,\ (1,3,2)\ ,\ (3,2,1)\ ,\ (2,1,3)}$
の4個あるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{3!}=\underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
(2)
n=4のとき、長さ4のサイクルは
$\scriptsize\sf{a_1=i\rightarrow\ a_i=j\rightarrow\ a_j=k\rightarrow\ a_k=1\rightarrow\ a_1=i}$
であり、$\scriptsize\sf{i,\ j,\ k}$ は$\scriptsize\sf{2,3,4}$ のいずれかなので、順列は$\scriptsize\sf{3!}$ 通りある。
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3!}{4!}=\underline{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(3)
自然数jに対して$\scriptsize\sf{j\leqq x\leqq j+1}$ を満たす実数xを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{j+1}\leqq \frac{1}{x}\leqq\frac{1}{j}\end{align*}}$
となり、これが$\scriptsize\sf{j\leqq x\leqq j+1}$ で成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_j^{j+1}\frac{1}{j+1}dx\lt \int_j^{j+1}\frac{1}{x}dx\lt\int_j^{j+1}\frac{1}{j}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{j+1}\lt \int_j^{j+1}\frac{1}{x}dx\lt\frac{1}{j}\end{align*}}$
これは、$\scriptsize\sf{j=k,k+1,k+2,\cdots ,n}$ に対して成り立つので、和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sum_{j=k}^n\frac{1}{j+1}\lt \sum_{j=k}^n\int_j^{j+1}\frac{1}{x}dx\lt\sum_{j=k}^n\frac{1}{j}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{j=k}^n\int_j^{j+1}\frac{1}{x}dx&=\sf\int_k^{n+1}\frac{1}{x}dx \\ &=\sf \bigg[\ \log |x|\ \bigg]_k^{n+1}\\ &=\sf \log(n+1)\log k\end{align*}}$
なので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{j=k}^n\frac{1}{j}\gt\log(n+1)\log k\end{align*}}$
が成り立つ。
(4)
nは奇数なので、自然数Lを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=2L-1\ \ \Leftrightarrow\ \ L=\frac{n+1}{2}\end{align*}}$
と表すことができ、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\gt\frac{n}{2}\end{align*}}$ より、
長さLのサイクル（Aとする）はただ1つだけ存在する。
Aに含まれるL個の数の選び方は$\scriptsize\sf{_nC_L}$ 通りあり、これらを$\scriptsize\sf{b_1,\ b_2,\ \cdots ,b_L}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{b_1}=b_2\rightarrow\ a_{b_2}=b_3\rightarrow\ a_{b_3}=b_4\rightarrow\ \cdots \rightarrow\ a_{b_{L-1}}=b_L\rightarrow\ a_{b_L}=b_1\end{align*}}$
を満たすような$\scriptsize\sf{b_1,\ b_2,\ \cdots ,b_L}$ の順列は$\scriptsize\sf{(L-1)!}$ 通りある。
また、Aに含まれない残りの数の順列は$\scriptsize\sf{(n-L)!}$ 通りあるので、
長さLのサイクルを含む確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_nC_L\cdot (L-1)!\cdot (n-L)!}{n!}=\frac{n!}{L!\ (n-L)!}\cdot\frac{ (L-1)!\cdot (n-L)!}{n!}=\frac{1}{L} \end{align*}}$
よって、長さL以上のサイクルを含む確率pは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p&=\sf\sum_{j=L}^n\frac{1}{j} \\ &\gt\sf\log(n+1)-\log L\ \ \ \ \left(\because\ (3)\right) \\ &=\sf \log 2L-\log L\\ &=\sf \log 2\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
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- 2019/03/20(水) 23:57:00|
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