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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019名古屋大 理系数学1



第1問

  正の整数nに対し
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d\theta}{\cos^n\theta} \end{align*}}$
  とする。

 (1) I1を求めよ。必要ならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)\end{align*}}$ を使ってよい。

 (2) n≧3のとき、InをIn-2とnで表せ。

 (3) xyz空間においてxy平面愛の原点を中心とする半径1の円板をDとする。
    Dを底面とし、点(0,0,1)を頂点とする円錐をCとする。Cを平面$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$
    で2つの部分に切断したとき、小さい方をSとする。z軸に平行な平面による
    切り口を考えてSの体積を求めよ。




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  1. 2019/03/17(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2019
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2019名古屋大 理系数学2



第2問

  空間内に$\small\sf{\begin{align*}\sf \angle BAC=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の直角二等辺三角形ABCとPがある。点AはP上にあり、
  点Bと点CはP上にはなく、Pに関して同じ側に位置している。点B、CからPに
  下した垂線とPとの交点をそれぞれB'、C'とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB'}\cdot\overrightarrow{\sf AC'}+\overrightarrow{\sf B'B}\cdot\overrightarrow{\sf C'C}=0\end{align*}}$ を示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \angle B'AC'\gt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を示せ。

 (3) P上の三角形AB'C'の辺の長さは短いものから$\small\sf{4,\ \sqrt{21},\ 7}$ であった。
    このとき、辺ABの長さを求めよ。




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  1. 2019/03/18(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2019
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2019名古屋大 理系数学3



第3問

  正の整数nの正の平方根$\small\sf{\sqrt{n}}$ は整数ではなく、それを10進法で表すと、小数第1位は
  0であり、第2位は0以外の数であるとする。

 (1) このようなnの中で最小のものを求めよ。

 (2) このようなnを小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。
        



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  1. 2019/03/19(火) 23:57:00|
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2019名古屋大 理系数学4



第4問

  正の整数nに対して$\small\sf{1,2,\cdots ,n}$ を一列に並べた順列を考える。そのような順列はn!個ある。
  このうち1つを等確率で選んだものを$\small\sf{(a_1,a_2,\cdots a_n)}$ に対し、各添字$\small\sf{i=1,2,\cdots ,n}$ について、
  $\small\sf{a_i}$ の値がjであるとき、そのjを添字にもつ$\small\sf{a_j}$ の値がkであることを$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k}$ と書くこと
  にする。ここで、$\small\sf{a_i=j\rightarrow a_j=k\rightarrow a_k=\ell\sf\rightarrow \cdots}$ のようにたどり、それを続けていく。例えば
  $\small\sf{(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(2,5,6,1,4,3,7)}$ のとき、
    $\small\sf{(i)\ a_1=2\rightarrow a_2=5\rightarrow a_5=4\rightarrow a_4=1\rightarrow a_1=2}$
    $\small\sf{(ii)\ a_3=6\rightarrow a_6=3\rightarrow a_3=6}$
    $\small\sf{(iii)\ a_7=7\rightarrow a_=7}$
  となり、どのiから始めても列は必ず一巡する。この一巡するそれぞれの列をサイクル、列に
  現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ。上の$\small\sf{(i),\ (ii),\ (iii)}$ は長さがそれぞれ
  4,2,1のサイクルになっている。

 (1) n=3とする。選んだ順列が長さ1のサイクルを含む確率を求めよ。

 (2) n=4とする。長さ4のサイクルを含む順列をすべて挙げよ。

 (3) n以下の正の整数kに対して、        
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{j=k}^n\frac{1}{j}\gt\log\left(n+1\right)-\log k\end{align*}}$
    を示せ。

 (4) nを奇数とする。選んだ順列が長さ$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{n+1}{2}\end{align*}}$ 以上のサイクルを含む確率pは$\small\sf{p\gt\log 2}$ を
    みたすことを示せ。





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  1. 2019/03/20(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2019
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